流体力学4

第四章
流体动力学基础
u f ( x, y, z, t ), x, y, z f (t )
u x u x u x 1 p dux 1 u x ※则： X dt dx dy dz x dt dt t x y z u y u x u x u z ux uy uz t x y z
— 推导惯性和非惯性参考 1 p a b p dy 2 y 系（相对一个惯性系如 dz dy 物体转动或匀加速运动 z o 参照系）中伯努力方程。
z
c
dx
p
1 p dy 2 y
设：六面体中心 a 点压 力为 p( xyz) ，平均密度 ( xyz)，加速度 a( xyz) 。
u z dz u z ) ( p 2 ) z 下面 ( p 2 z 2 z
zx dz zx z 2
zy dz zy z 2
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二、粘性流体运动方程 根据：
F
x
max ,
F
y
may ,
F
z
maz
u x ( p 2 ) u x dx x 则： Xdxdydz [( p 2 ) ]d ydz x x 2 u x ( p 2 ) u x dx x [( p 2 ) ) d ydz x x 2 zx dz zx dz [( zx )dxdy ( zx ) dxdy ] z 2 x 2 yx dy yx dy dux [( yx ) ( yx ) dxdy ] m y 2 y 2 dt
u z 2 x ( y u x 2 y ( z
2
u x ) y u y ) z u z ) x
2ux dux 1 p u x u x uz X [2 2 ( 2 2 )] x x z xz xy y dt
2 2 2 u u uz duz 1 p z z Z ( 2 2 ) 2 z x y z dt
注：（1）单位质量流体粘性（阻）力的分力； （2）用此式可推导粘性流体伯氏方程（见张也影编P165）。
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一、各面上受力大小分析 x 方向： Xdxdydz 1、质量力： y 方向： Ydxdydz z 方向： Zdxdydz 法向力： 用压力表示，方向垂直作用面； 2、表面力： 切向力： 用切应力表示，在作用面上可 分解成两个相互垂直的切应力。
dx
p
1 p dy 2 y
☆ 推导伯努力方程（惯性 参考系：能使牛顿第一 定律成立的参考系。如 研究地面物体运动时， x 地面参考系为惯性系）。
o
y
z
x
y
稳定流中取微元六面体
既能推导惯性又能推非惯性参考系中伯氏方程？ —用运动微分方程推导。
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dp ( Xdx Ydy Zdz)
F
y
may ,
F
z
maz
dux 1 p 2 u x 2 u x 2 u x 则：X ( 2 2 2 ) x x y z dt
2 2 2 u u uy duy 1 p y y Y ( 2 2 2 ) y x y z dt
X ax dux dt , Y ay , Z (az g)
y duy dux duz dp ( dx dy dz gdz) dt dt dt
z
az
a
ay

ax
x
(ux dux u y duy uz duz gdz)
1 2 1 2 1 2 ( du x du y du z gdz ) 2 2 2
X , Y , Z ：含惯性力的质量力（参考本教材 P105 ）；
ux , u y , uz ：为相对非惯性参考系 K 的速度。
2、该方程有何用处：推导伯努力方程。
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§ 4－ 2
粘性流体运动方程式
研究质量力、压力、粘性力与惯性力平衡关系（可用 来推导缝隙流速度）。 ●设隔离体中心 a点，平均压力为 p，速度 u ，边长 dx, dy, dz ●受力分析：粘性 运动流体隔离体 各对应面上存在 压应力和切 应力，大小 相等，方向 z 相反。 o
后面 左面
z 2 z 2 z xz dx xy dx u x dx u x xz ( p 2 ) ( p 2 ) x xy x 2 x 2 x 2 x u y dy u y yx dy yz dy yz ( p 2 ) ( p 2 ) y yx y 2 y 2 y y 2
注意：
的下标意义（见图4-2）：
第一个下标：表示作用面的法线方向； 第二个下标：表示作用面上的应力方向。
表1： 表面应力（各面上的压应力和切应力）
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面
压应力
切应力
dx 2 dy 2
dz 2
u x dx u x xy dx xz ( p 2 ) ( p 2 ) x xy xz 前面 x 2 x x 2 x u y dy u y yx dy yz yz ) ( p 2 ) y yx 右面 ( p 2 y y 2 y y 2 u z dz u z zx dz zy zx ) ( p 2 ) z zy 上面 ( p 2 z
u x , 即： 2 x
2 u y y ,
u z 2 z
方向：与线变形方向相反。
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2 u y y
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dy
p a
dx
u x 2 x
x 方向： p 2 ux x
则： a 点 压 力
(dx, dy, dz 0)
y 方向：
p 2 u y y 或： p 2 u y y (dy 0)
1 p dux 则： X x dt
z
1 p p dy 2 y
dz
1 p duy Y y dt
1 p duz Z z dt

dy
b

a
c
dx
p
1 p dy 2 y
o
y
z
x
Байду номын сангаас
y
x
稳定流中取微元六面体
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规定（推导伯努力方程时P31）：
则微元体的平衡条件为：
x
y
x
y
稳定流中取微元六面体
z
az
a
Fx ma x , Fy may , Fz maz
ay
y

ax
x
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duy 1 p 1 p 则： ( p dy)dxdz ( p dy)dxdz dxdydzY m 2 y 2 y dt
F 0, F
x
y
0,
F 0
z
1 p 则： X 0 x
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
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则：dp ( Xdx Ydy Zdz)
z
1 p p dy dz 2 y
☆ 推导静力学方程。

dy
b

a
c
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( p 2 u x x ) zx yx dux 则： X [ ] x z y dt 1
xy yx 2 z (
可以证明 （另证明） 则：
u y x
yz zy xz zx
2 2
1、在运动微分方程中，关于质量力和速度问题：
（1）惯性参考系中：能使牛顿第一定律成立的参考系。 （如研究地面物体运动时，地面参考系为惯性系）。
X , Y , Z ：不含直线和离心惯性力（参考江苏理工大 P20）；
u x , u y , uz ：为绝对速度。
（注：在用“流体平衡微分方程”替代“流体运动微 分
☆ 惯性参考系中：质量力不考虑惯性力，只有重力。
即 ： X 0, Y 0, Z g 。
☆ 非惯性参考系：质量力 X , Y , Z 要考虑惯性力及重力；
而 u x , u y , uz为相对非惯性参考系的速度。
结论：流体运动时，（单位质量的）质量力与表 面力的合力之差等于加速度 a 。
1 2 ( du gdz ) 2
dp 1 2 gdz du 0 则： 2
uz
u
uy
ux
2 2 (ux uy uz2 u 2 )
p 1 2 gz u c 积分： 2
u2 z c 即： 2g p
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● 流体运动微分方程
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静力学— 研究静止流体内部压力分布规律。 动力学—研究运动参数的关系和作用力、力矩及动量矩。 § 4－ 1 理想流体运动微分方程式
运动学—研究运动流体 ( s, u, a, p, ) 随空间和时间变化规律。
复习：流体平衡微分方程 设：六面体中心 a 点压力为 p( xyz) ，平均密度为 ( xyz), 根据：
X ,Y , Z
方程”推导伯努力方程时，则：
是含直线和离心
惯性力的质量力；但在非惯性参考系中，“流体平衡
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（2）非惯性参考系中：相对一个惯性系如物体转动或匀
加速运动的参照系。（如研究旋转叶轮内的流体运 动，旋转叶轮为非惯性系 K ；研究加速运动火车内 物体的运动，加速运动火车为 K ）。
（1）各面上的法向力（压力）： u y 2 (dy 0) y y u 由于是运动流体，a 点 2 x (dx 0) x 各方向上的压力是不相 a 等的；
x
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a 点压力包括分子运动统计平均压力和附加 应力两部分。
● a 点分子运动统计的平均压力为 p ； ● a 点线变形引起附加应力（存在液体内部）： 产生原因：沿 x 向拉长，必遇阻力阻其拉长； 沿 y 向缩短，必遇阻力阻其缩短。 大小：用牛顿内摩擦定律扩展式求得；
z 方向： p 2 uz z
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则：各面上法向力（压力）： a 点压应力分别为 p 2 ux x , p 2 u y y ,
p 2 uz z 则各面上压应力用多元函数泰
勒级数展开式求出，见表1。
（2）各面上的切向力：
a 点切应力为 ，则各面上切应力同样用多 元函数泰勒级数展开式求出，见表1。
E A
dz
H
D
F
a ( xyz)
dx
dy
B
C
1 yz yz dy 2 y 1 p p dy 2 y G 1 yx yx dy 2 y
y
图4-2 粘性运动流体微元六面隔离体
x
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粘性不可压缩流体运动方程（证明见后）： 可用来推导缝隙流速度（后面应用）。 根据： Fx max ,
2u y
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p p 2 p 高级偏导: ( x ) x ( x ) x 2
注意：
p 对 x求偏导 x
p y 求偏导 对 x
p 2 p ( ) 混合偏导: y x xy
1 p 2u x 2u x 2u x 则： X ( 2 2 ) 2 x x y z dux ux uz ( 2 2 ) x xy z dt
u y u y u y 1 p duy u y Y ux uy uz y dt t x y z
u z u z u z 1 p duz u z Z ux uy uz z dt t x y z
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