湘教版九年级数学下册第一章《15二次函数的应用》课课练同步练习2课时(含答案解析).docx

1.5笫1课时 利用二次函数解决拱桥问题、面积问题
知识点1利用二次函数解决拱桥问题
1・河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1—5 拱顶部的距离DO 是4加时，水面宽度AB 为（ ）
—20加 B. 10 加 C ・ 20 加 D. — 10加
2.如图1-5-2，已知桥拱形状为抛物线，其函数表达式为y = -|x 2
，当水
位线在AB 位置时，水面的宽度为12 m ，这时水面离桥拱
顶部的距离是 _______
图1—5—2
3.如图1 —5 — 3 ,
小河上有一拱桥，拱桥及河道的截而轮廓线由 抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成.已知河底ED 是水平的，ED=16加，AE = 8加‘抛物线的顶点C 到ED 的距离是11 A 知识要点分类练
夯实基础
—1②所示的平而直角坐标系，其函数表达式为y=—
丄 9
25x " •当水面离桥 ① ②
图1—5—1
y
o
九试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平而直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式.
E D
图1—5—3
知识点2利用二次函数解决面积问题
4・某种止方形合金板材的成木y（元）与它的面积成止比，设其边长为x厘米，当x = 3时，y=18，那么当正方形合金板材的成本为72 元时，其边长为（）
A・6厘米 B. 12厘米
C・24厘米 D. 36厘米
5•用一条长为40 cm的绳了围成一个面积为a c肿的长方形，a 的值不可能为（）
A ・ 20 B. 40 C・ 100 D・ 120
6•把一根长为100 cm的铁丝分为两段，并把每一段都弯成一个
正方形,设其中一个正方形的边长为x cm»则另一个正方形的边长为cm5设这两个正方形的面积的和为y cm ，则y与x之
间的函数表达式为 _______________ ;当两个止方形的边长分别为
_______ ，______ 时，两个正方形的面积的和最小，最小是
_______ ・
7•某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米.围成的花坛是图1—5—4所示的直角三角形ABC，其中ZACB = 90°•设AC边的长为x 米，直角三角形ABC的面积为S平方米.
（1）求S和x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范
围）;
（2）根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛的面积是30平方米，则直角三角形的两条直角边的长各为多少米?
图1一5—4
______________ 能力
8・图1—5—5是一个长100 m>宽80 m的矩形草坪，现欲在草坪中间修两条互相垂直且宽为x m的小路，这时草坪的面积y （加彳）与宽x（加）之间的函数表达式是（）
图1—5—5
A ・ y = x? —20x —8000（0vx<80）
B・ y = x2—180x —8OOO（Ovxv8O）
C・ y=x?—180x+8000（0vx<80）
D・ y = x_ 20x + 8000（0vxv80）
9 •某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段防护栏需要每隔0.4加加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5加（如图1—5—6），则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为（）
图］_5_6
A. 50 m B・ 100 加C - 160 m D・ 200 m
10・小明在某次投篮中，球的运行路线是抛物线y=—長2 + 3・5的一部分，如图1 —5—7所示，若该球命中篮圈中心‘则他与篮底的
距离1是()
图1—5—7
4. 4.6 m B. 4.5 m C ・ 4 加D・ 3.5 m
11 •某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50加.设饲养室的长为x(zn)，占地面积为y(m2).
(1)女口图1一5 — 8①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2加宽的门，月.仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2加就行了・”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.
图1_5_8
12・如图1-5-9，隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成，
矩形的长是12 m，宽是4 m・按照图中所示的直角坐标系，抛物线可
以用牙+加+c表示，且抛物线上的点C到墙面0B的水平距
17
离为3m 到地面0A的距离为㊁m.
(1)求该抛物线表示的函数的表达式，并计算出拱顶D到地面0A 的距离.
(2)—辆货车装载一长方体集装箱后高为6 m ＞宽为4 m »如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
图1_5_9
教师详解详析
1. c
2 • 9 m ［解析］根据题意，当x=6时5原式=—^X62=—9，即水面离桥拱顶部的距离是9 m.
3・解：如图所示.由题，知抛物线的顶点坐标为（0，11），
5（8，8），设抛物线的函数表达式为y=ar-\~ii，
V
C
A B
■ M M M
E O - D x
3
将点B（8，8）代入抛物线的函数表达式得—诂，所以抛物线的函数表达式为y=—扃亍+ii.
4• A ［解析］设y与兀之间的函数表达式为y^hc，把x—3，y =18 代入可得9k=18，k=2，.••y=2/•把y=72 代入上式得2x2 = 72，解得x=±6.
・・•正方形的边长不能为负数，・・」=6・
故选A.
5・D ［解析］设围成的长方形的长为x cm，则由题意，得
420-%） = -x2+20%.•.* -1 <0，・・虫有最大值，即当x=10时，a最大= 100.V120>100，・・・d的值不可能为120•故选D.
6・（25-x） j = 2?-50x+625 12.5 cm 12.5 cm 312.5 cm2
［解析］一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为*100—
4x) = (25-x)cm，则y=*+(25一兀)2 = 2兀2—50兀+625・・.・y=2/ —
50x+
625=2(X-12.5)2+312.5，・••当一个正方形的边长为12.5 cm，另一个正方形的边长为25-12.5=12・5(cm)时，两个正方形的面积的和最小，最小为312.5 cm2.
7•解：(1)・・・两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米，围成的花坛是直角三角形ABC，其中ZACB=90° > AC边的长为无米，ABC=(17-x)米.
乂・••直角三角形A3C的面积为S平方米，
.•・S=*ACBC=*x(17-x)=-券+夢兀.
1 |7
(2)当5=30 时，—2^2+^~X=305
整理，Wx2-17x+60 = 0，解得 %! = 12，X2=5.
・••直角三角形的两条直角边的长分别为12米和5米.
8・ C 9.C 10.B 11 ・解：⑴丁尸尤刊? X=_*_25)2+^|^,
/.当无=25时，y最大，
即当饲养室的长为25 m时，占地面积y最大.
⑵・・了=上5()_ 丫_2)=-|(X-26)2+338，
・••当兀=26时，y最大，即当饲养室的长为26 m时，占地面积y 最大.
T26—25 = 1H2，・•・小敏的说法不正确.
一一（17）
12 •解：（1）由题意，得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为
3，丁，
r 1 9
4=一gxo+xo+c，
••「17 解得
~Y=—^X32+bX3 + c，
.•・该抛物线表示的函数的表达式为丿=一牙+2卄4.
•.)=—右?+2x+4=—*(x—6)?+10，
・•・拱顶D到地面OA的距离为10 m・
(2)当兀=6+4= 10 时，y=—*<+2x+4=—*X 102+2X 10+4 =
22
T>6
・••这辆货车能安全通过.
(3)当y=8 时5—^%2+2%+4 = 8，即x2—12x+24 = 0，
•+ 无2= 12
・•・两排灯的水平距离最小是
\X] — x^\ = V~(X] ~- = yj~(兀]+ ~4%1%2 = 12~ 4 X 24 —寸144一96=4 羽(m)・
第2课时利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
A 知识要点分类练夯实基础
知识点1利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
I・一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足函数表达式h=—5（t—1尸+6，则小球距离地面的最大高度是（）
A・1米B. 5米C. 6米D. 7米
2.竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（Q的函数表达式为h = at2+bt，其图象如图1—5 — 10所示.若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）
0 ®
图1—5 — 10
A •第3秒B.第3.5秒C •第4.2秒D.第6.5秒
3 •若销售一种服装的盈利y（万元）与销售量x（万件）满足函
数表达
式『=—2x?+4x + 5 ,则盈利的最大值是__________ ・
4・2017•仙桃飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间
t（单位：秒）的函数表达式是s = 60t-jt2，则飞机着陆后滑行的最长时
间为 _______ 秒.
5•教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24
元，规定售价不低于进价.当售价为每箱36元时，每月可销售60箱.经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每刀的销售量为y箱.
(1)写出y与X之间的函数表达式和自变量X的取值范围；
(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？
6-2017-德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来
越美丽.小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了…根高为2米的喷水管，如图1 —5 — 11，它喷出的抛物
线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；
(2)求水柱的最大髙度是多少？
图1 —5— 11
知识点2利用二次函数解决其他问题
7.公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形.水流的高度h（单位沏）与水流运动时间1（单位⑶之间的函数表达式为h = 30t-5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）
A - 6s B・4s C・3$ D. 2 s
8 •心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=—0.1/+ 2.6x+43（0WxW30） y的值越大，表示学生的接受能力越强.
（1）若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？
（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答.
-------------- 能力
9・2017・临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢岀，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：加）与足球被踢出后经过的时间t（单位：Q之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出l・5s 时，距离地面的高度是11加.其中正确结论的个数是（）
A ・ 1 B. 2 C. 3 D. 4
10・2017-沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件.当销售单价是 ___________ 元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润.
11・2018•滨州如图1—5—12，—小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：米）与飞行时间x（单位：秒）之间的函数关系为y =-5X2+20X，请根据要求解答下列问题.
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少?
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少?
一一■
图1一5 — 12
輕广探究创新练________________ 生刺满分
12・2018•仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图1 一5 — 13,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格刃（元）、生产成本力（元）与产量兀（千克）之间的函数关系.
（1）求该产品销售价格刃（元）与产量x（千克）之间的函数表达
式；
（2）直接写出生产成本乃（元）与产量兀（千克）之间的函数表达式；
（3）当产量为多少吋，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
图1-5-13
教师详解详析
1. C ［解析］:•高度力(米)和飞行时间/(秒)满足函数表达式力= -5(Z-l)2+6，・••当f=l吋，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米.
2・C
3-7 万兀［解析］y=—2X2+4X+5= —2(x2-2x)+5 = — 2［(x— I)2 -1］+5=-2(X-1)2+7，则盈利的最大值为7万元.
3 3
4・ 20 ［解析］$=60/_討=_应_20)2+600，・••当1=20 时、s 取得最大值.故答案为20.
5・解：⑴根据题意，得y=60+10x，
由36—兀224，得%^12，
・・・1W%W12，且无为整数.
(2)设所获利润为W(元厂
贝9 W=(36-x-24)(60+ 10x)= — 10?+60x+720= — 10(%-3)2+ 810，・••当无=3时，W取得最大值，最大值为810.
答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获
得的利润最大，最大利润是810元.
6・解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为兀轴，喷水管所在直线为y轴，建
立平面直角坐标系.
设抛物线的函数表达式为y=a(x~l)2+h，
・••抛物线的函数表达式为^=—|(x —1)2+|， 即y=—务?+扌无
+2(0WxW3)・
(2)由(1) 得y=—|(兀一 1)2+'|(0W X W3)，
・：当x=l 时，y 最大=亍5
即水柱的最大高度为§米・ 7・A ［解析］水流回落到地面时的高度/z 为0，把h=0代入h = 30r —5?，得30?—5^=0，解得/)=0(舍去)，耳=6・故水流从喷出至 冋落到地面所需要的时间是6 s ・故选A.
8 ・解：⑴当兀=10 时，y=-0.1 X 102
+2.6X 10+43 = 59・
(2)当 x=8 时，-0.1 X82 + 2.6X8+43 = 57.4， ・••用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力 减弱了；
当 x=15 时，v=-0.1 X 152
+2.6X 15+43 = 59.5， ・••用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力 增强了.
——2丄
4G +/Z =0 、
将(0，2)和(3 ‘ 0)代入，得 G +/I =2，
解得
h=l •卜 I 仿一I
9・B ［解析］由题意，得抛物线的函数表达式为h=at(t_9)，把(1 5 8)代入可得a=— 1 » /.A= —/2+9z= —(Z-4.5)2 + 20.25，二足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；.••足球飞行路线的对称轴是直线/=4.5 »故②正确；：•当t=9时5y=0，•:足球被踢出9 s 时落地，故③正确；•••当/=1・5时，y= 11.25，故④错误・・・.正确的有②③，故选B.
10• 35 ［解析］设销售单价为X元/件，销售利润为y元.根据题意'得^=(x-20)［400-20(x-30)l = (x-20)«(1000-20^) =
一20?+1400兀一20000=—20(兀一35)2+4500.・.・一20V0，・•・当x =35时，y有最大值，故答案为35.
11•解：⑴当y=15 时，有一5r+20x=15，化简得/-4x+3 = 0，因式分解，得(%—l)(x—3)=0，故x=l或x=3，即飞行时间是1 秒或者3秒.
(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，
即y=0，所以0=—5”+20兀，
解得兀=0或x—4，
所以小球从飞出到落地所用时间是4—0=4(秒).
(3)当x= ~2^=—2\ (—5) =2时，小球的飞行高度最大'最大高度为20米.
12•解：(1)设yi与兀之间的函数表达式为y\=kx~\~b，
•••图象过点(0，168)与点(180，60)，
■少=168 ‘
・・[180£+方=60，
^=-0.6，
解方程组，得b=168 、
・・・刃=一0・6尢+ 168(0^x^180)・
(2)力与兀之间的函数表达式为
‘70 (O0W5O)，
y>2=<— 0.2x+80 (50<x<130)、
.54 (130^x^180)・
(3)设产量为x千克时，销售这种产品获得的利润为W元.
①当0WxW50吋，
-o.6x+168-70)= -o.6x2+98%.
245
・••该函数图象的对称轴为直线x=^y，
・•・当0WxW50时，W随兀的增大而增大，
・••当兀=50时，W的值最大，最大值为3400.
②当50<x<130 时，W=(-0.6X+168+0.2^-80)X=-0.4X2+88X
=-0.4(X-110)2+4840，
・••当兀=110时，W有最大值4840.
③当130WxW180 时，W= (-0.6x+168-54)x= -0.6x2 +114%・
・••该函数图象的对称轴为直线x=95，
・••当13O0W180时，W随兀的增大而减小，
・•・当x=130时，W的值最大，最大值为4680.
综上，当产量为110千克时，销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元.。