∥3套精选试卷∥2020年北京市九年级上学期期末复习检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD 垂足为F ．则下列结论错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，
∴AB ∥CD ∥EF
∴△ABE ∽△DCE ， ∴，故选项B 正确，
∵EF ∥AB ， ∴， ∴，故选项C ，D 正确，
故选：A ．
【点睛】
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．小明使用电脑软件探究函数2
()ax y x b =-的图象，他输入了一组a ，b 的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a ，b 的值满足（ ）
A ．0a >，0b >
B ．0a >，0b <
C ．0a <，0b >
D ．0a <，0b <
【答案】D 【分析】由图象可知，当x ＞0时，y ＜0，可知a ＜0；图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，则b ＜0；
【详解】由图象可知，当x ＞0时，y ＜0，
∴a ＜0；
∵图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，
∴b ＜0；
故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b 的取值是解题的关键．
3．某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x ，则下列所列方程正确的是（ ）
A ．()2401145.6x +=
B ．()2
40401145.6x ++= C ．()40401145.6x ++=
D ．()()240401401145.6x x ++++= 【答案】D
【分析】根据题意，第二月获得利润()401x +万元，第三月获得利润240(1)x +万元，根据第一季度共获利145.6万元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】设二、三月份利润的月增长率为x ，则第二月获得利润()401x +万元，第三月获得利润2
40(1)x +万元，
依题意，得：()24040140(1)145.6x x ++++=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法为：若变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关
系为2
(1)a x b ±=．
4．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有( )
A ．6个
B ．16个
C ．18个
D ．24个 【答案】B
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，
故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．平行四边形
B ．圆
C ．等边三角形
D ．正五边形 【答案】B
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.
【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A 错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C 错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D 错误.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.
6．已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为（ ）
A ．（1，2）
B ．（2，9）
C ．（5，3）
D ．（–9，–4） 【答案】A
【解析】∵线段CD 是由线段AB 平移得到的，
而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴由A 平移到C 点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4,−1)的对应点D 的坐标为(1,2).
故选A
7．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1
C．与x 轴有两个交点D．顶点坐标是（1，2）
【答案】D
【分析】根据题意从y＝2（x﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：y＝2（x﹣1）2+2，
（1）函数的对称轴为x＝1；
（2）a＝2＞0，故函数开口向上；
（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x轴没有交点；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的开口方向与x轴的交点，以及函数顶点坐标等基本性质，是函数的基础题注意掌握．
8．在反比例函数y＝13k
x
的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．若x1＜0＜x2，y1＜y2则k的取值范
围是（）
A．k≥1
3
B．k＞
1
3
C．k＜﹣
1
3
D．k＜
1
3
【答案】D
【分析】利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1﹣3k＞0，然后解不等式即可．
【详解】∵x1＜0＜x2，y1＜y2，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴1﹣3k＞0，
∴k＜1
3
．
故选：D．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，根据点的横纵坐标的关系即可确定函数图象所在的象限，由此得到k的取值范围.
9．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】B
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
10．如图，A 、B是曲线
5
y
x
=上的点，经过A、B两点向x 轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1 则S1+S2 =( )
A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D
【分析】B是曲线
5
y
x
=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，从而求
出S1和S2的值即可
【详解】∵A、B是曲线
5
y
x
=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，
,∵S阴影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8，
故选D
【点睛】
本题主要考查反比例函数上的点向坐标轴作垂线围成的矩形面积问题，难度不大
11．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形
【答案】C
【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
详解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选C ．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 12．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，连接AF 、DE 相交于点M ，则cos ∠CDM 等于
A 5
B 25
C ．12
D 3【答案】A
【分析】根据正方形的特点可知∠CDM=∠DEA,利用勾股定理求出DE ，根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵CD ∥AB ，∴∠CDM=∠DEA,
∵E 是AB 中点，
∴AE=
12AB=1 ∴225AD AE +=∴cos ∠CDM=cos ∠DEA=
5AE DE =5 故选A.
【点睛】
此题主要考查余弦的求解，解题的关键是熟知余弦的定义.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．2x =是方程230ax bx +-=的解，则21a b +-的值__________． 【答案】12
【分析】先根据2x =是方程230ax bx +-=的解求出322
a b +=
的值，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵2x =是方程230ax bx +-=的解，
∴4230a b +-=，
∴2(2)3a b +=， ∴322
a b +=
， ∴3121122a b +-=-=，
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，解题时，逆用一元二次方程的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
14．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于________cm．
【答案】1
【解析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到AD
AB
=
AB
AC
，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．
【详解】∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴AD
AB
=
AB
AC
，即
2
4
=
4
AC
，解得：AC=8，
∴CD=8﹣2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．15．一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．
【答案】x1＝5，x2＝7
【分析】根据题意利用ab=0得到a=0或b=0，求出解即可.
【详解】解：方程（x﹣5）（x﹣7）＝0，
可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝5，x2＝7，
故答案为：x1＝5，x2＝7.
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF
是梯形ABCD的“比例中线”，那么DF
FC
=_____．
【答案】2 3
【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到
DF AE AD EF
FC EB EF BC
===，即可得到答案.
【详解】解：如图，
∵EF 是梯形的比例中线，
∴2EF AD BC =•， ∴496EF =⨯=，
∵AD//BC ，
∴梯形ADFE 相似与梯形EFCB ， ∴23DF AE AD EF FC EB EF BC ====； 故答案为：
23
. 【点睛】 本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质.
17．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC ＝22
，则BC ＝_______. 【答案】12 【分析】作CD ⊥AB 于点D ，先在Rt △ACD 中求得CD 的长，再解Rt △BCD 即得结果．
【详解】如图，作CD ⊥AB 于点D ：
sin CD A AC
=，∠A ＝30°， 1222
∴=24CD =， sin CD B BC
=，∠B ＝45°， 2
24
BC
=， 解得12
BC = 考点：本题考查的是解直角三角形
点评：解答本题的关键是作高，构造直角三角形，正确把握公共边CD的作用．
18．如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD 的度数是_____．
【答案】30°
【解析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【详解】连接CD.
由题意得∠COD=90°，
∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C3，0），
∴OD=1，3
∴22
（），
13
∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
【点睛】
本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC＝1米，CD＝6米，求电视塔的高ED．
【答案】电视塔的高度为12米．
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，交ED于H；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【详解】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．
由题意可得：△AFG∽△AEH，AG=BC=1米，GH=CD=6米，HD=CG=AB=1.1米，
∴AH=AG+GH=7米，FG=FC－CG=1.1米
∴AG
AH
＝
FG
EH
即1
7
＝
1.5
EH
，
解得：EH＝10.1．
∴ED＝EH+ HD =10.1+1.1＝12（米）．
∴电视塔的高度为12米．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的应用，掌握构造相似三角形的方法和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC 不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M 点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）求当线段AM最短时的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=1或11
6
；（3）
16
5
．
【解析】试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-1
5
（x-3）2+
9
5
，利用
二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．试题解析：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴CE AC
AC CB
=
∴CE=
225
6 CB
AC
=
∴BE=6-251166= ∴BE=1或116 （3）解：设BE=x ，
又∵△ABE ∽△ECM ，
∴
CM CE BE AB
= 即：65CM x x -= ∴CM=22619(3)555
x x x s -+=--+ ∴AM=-5-CM=2116(3)5
5
x -+ ∴当x=3时，AM 最短为165． 考点：相似形综合题．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE 的长．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）DE=125
． 【分析】（1）连接AD ，OD ，根据已知条件证得OD ⊥DE 即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）相切，
理由如下：
连接AD ，OD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD ⊥BC ．
∵AB=AC ，
∴CD=BD=12BC ． ∵OA=OB ，
∴OD ∥AC ．
∴∠ODE=∠CED ．
∵DE ⊥AC ，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD ⊥DE ．
∴DE 与⊙O 相切．
（2）由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt △ADC 中，由勾股定理得,
AD=222211()5(6)22
AC BC -=-⨯=1． ∵S ACD =
12AD•CD=12
AC•DE ， ∴12×1×3=12×5DE ． ∴DE=125
． 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．
22．阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
（问题解决）
若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500N 和0.4m ．
（1）动力F （N ）与动力臂l （m ）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时，撬动石头需要多大的力？ （2）若想使动力F （N ）不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（数学思考）
（3）请用数学知识解释：我们使用棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
【答案】（1）400N；（2）1.5米；（3）见解析
【分析】(1)根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l=1.5求得力的大小即可；
(2)将求得的函数解析式变形后求得动力臂的大小，然后即可求得增加的长度；
(3)利用反比例函数的知识结合杠杆定律进行说明即可．
【详解】试题解析：(1)、根据“杠杆定律”有FL=1500×0.4，
∴函数的解析式为F=600
L
，
当L=1.5时，F=600
1.5
=400，因此，撬动石头需要400N的力；
(2)、由(1)知FL=600，
∴函数解析式可以表示为：L=600
F
，
当F=400×1
2
=200时，L=3，3﹣1.5=1.5（m），
因此若用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5米；
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动
力臂L的函数关系式为F=K
L
，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力
臂越长越省力．
考点：反比例函数的应用
23．如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使道路的面积比草坪面积少4402
cm．
（1）求草坪面积；
（2）求道路的宽．
【答案】（1）5402
cm；（2）2m
【分析】(1)根据地面的长宽得到地面的面积，再根据草坪面积加道路面积等于地面面积列方程，求解即可得到答案；
(2) 设道路的宽为ym ，根据题意列方程求解即可得到答案；
【详解】解: （1）设草坪面积为xcm ，
得(440)3220x x +-=⨯，
解得540x = ，
所以，草坪面积为5402cm ．
(2) 设道路的宽为ym ，
原图经过平移转化为图1．
因此，根据题意得(32)(20)540y y --=
整理得(2)(50)0y y --=
解得2x =或50x =(不合题意，舍去)
因此，道路的宽为2m ．
【点睛】
考查了一元二次方程、一元一次方程的实际应用应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 24．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列人第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，古塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得 1.28EC =米，将标杆向后平移到点G 处，这时地面上的点F ，标杆的顶端点H ，古塔的塔尖点B 正好在同一直线上(点F ，点G ，点E ，点C 与古塔底处的点A 在同一直线上) ，这时测得 1.92FG =米，20GG =米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB .
【答案】古塔的高度AB 为64.5米.
【分析】根据CD//AB ，HG//AB 可证明△EDC ∽△EBA ，△FHG ∽△FBA ，根据相似三角形的性质求出AB 的长即可.
【详解】∵CD//AB ，HG//AB ，
∴△EDC ∽△EBA ，△FHG ∽△FBA ， ∴,DC EC GH FG BA EA AB FA
==， ∵DC HG = ∴
FG EC FA EA =，即 1.92 1.281.9220 1.28CA CA =+++ ∴40CA =（米）， ∵
CD EC AB EA
=， ∴2 1.281.2840AB =+， ∴AB=64.5.
答：古塔的高度AB 为64.5米.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
25．已知二次函数22y x bx c =-+（,b c 是常数）.
（1）当2,5b c ==时，求二次函数的最小值；
（2）当3c =，函数值6y =-时，以之对应的自变量x 的值只有一个，求b 的值；
（3）当3c b =，自变量15x ≤≤时，函数有最小值为-10，求此时二次函数的表达式．
【答案】 (1)当x=2时，1y =最小；(2) b=±3； (3)22233y x x =+-或21015y x x =-+
【分析】（1）将2,5b c ==代入2
2y x bx c =-+并化简，从而求出二次函数的最小值；
（2）根据自变量x 的值只有一个，得出根的判别式0= ，从而求出b 的值；
（3）当3c b =，对称轴为x=b ，分b<1、15b ≤≤、5b >三种情况进行讨论，从而得出二次函数的表达式．
【详解】（1）当b=2，c=5时，2245(2)1y x x x =-+=-+
∴ 当x=2时，1y =最小
（2） 当c=3，函数值6y =-时，2236x bx -+=-
∴ 2290x bx -+=
∵对应的自变量x 的值只有一个，
∴ 2(2)4190b ∆=--⨯⨯= ，
∴ b=±3
（3） 当c=3b 时，22223()3y x bx b x b b b =-+=-+-
∴ 抛物线对称轴为：x=b
① b<1时，在自变量x 的值满足1≤x≤5的情况下，y 随x 的增大而增大，
∴ 当x=1时，y 最小.
∴
22
1)310b b b -+-=-（ ∴ b=﹣11
② 15b ≤≤，当x=b 时， y 最小.
∴ 22)310b b b b -+-=-（
∴ 15b =，22b =- （舍去）
③ 5b >时，在自变量x 的值满足1≤x≤5的情况下，y 随x 的增大而 减小，
∴当x=5时， y 最小. ∴
22
5)310b b b -+-=-（， ∴ b=5（舍去）
综上可得： b=﹣11或b=5
∴二次函数的表达式：22233y x x =+-或21015y x x =-+
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和应用，掌握根的判别式、二次函数的性质和解二次函数的方法是解题的关键． 26．青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30°.已知AC=50米，若灰太狼以5米/秒的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果保留根号）
【答案】灰太狼3
【分析】根据已知得出AC=BC ，进而利用解直角三角形得出BD 的长进一步可得到结果．
【详解】解；在Rt △BCD 中
∵∠BCD=90-30=60，∠CBD=30
∴AC=BC=50m ，
在Rt△BCD中
∴sin60=BD BC
∴BD=BCsin60=50
2
⨯=，
设追赶时间为ts,由题意得：5t=
∴t=s
答：灰太狼秒钟后能抓到懒羊羊．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
27．已知反比例函数
3
k
y
x
-
=，（k为常数，3
k≠）．
（1）若点(2,3)
A在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围．【答案】（1）k=9；（2）k<3
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-3=2×3，然后解方程即可；（2）根据反比例函数的性质得30
k-<，然后解不等式即可；
【详解】解：（1）∵点(2,3)
A在这个函数的图象上，
323
k
∴-=⨯，
解得9
k=；
（2）∵在函数
3
k
y
x
-
=图象的每一支上，y随x的增大而增大，
30
k
∴-<，得3
k<．【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数
k
y
x
=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图
象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数的性质．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝513
，则小车上升的高度是：
A ．5米
B ．6米
C ．6.5米
D ．7米
【答案】A
【分析】在Rt ABC ∆，直接根据正弦的定义求解即可.
【详解】如图：
AB=13，作BC ⊥AC ，
∵5sin 13BC AB ∴551351313BC AB .
故小车上升了5米，选A.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造Rt ABC ∆，在Rt ABC ∆中解决问题.
2．已知二次函数26y x x m =-+(m 是实数)，当自变量任取1x ，2x 时，分别与之对应的函数值1y ，2y 满足12y y >，则1x ，2x 应满足的关系式是( )
A ．1233x x -<-
B ．1233x x ->-
C ．1233x x -<-
D ．1233x x ->-
【答案】D
【解析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得到|x 1-3|＞|x 2-3|． 【详解】抛物线的对称轴为直线x=-621
-⨯=3， ∵y 1＞y 2，
∴点（x 1，y 1）比点（x 2，y 2）到直线x=3的距离要大，
∴|x1-3|＞|x2-3|．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
3．下列四个几何体中，主视图为圆的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先依次判断每个几何体的主视图，然后即可得到答案．
【详解】解：A、主视图是矩形，
B、主视图是三角形，
C、主视图为圆，
D、主视图是正方形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键．
4．某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排10场比赛，则参加比赛的班级有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】设共有x个班级参赛，根据每两班之间都比赛一场可知每个班要进行(x-1)场比赛，根据计划安排10场比赛列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设共有x个班级参赛，
∵每两班之间都比赛一场，
∴每个班要进行(x-1)场比赛，
∵计划安排10场比赛，
∴x(1)
10
2
x-
=，
解得：x1=5，x2=-4(不合题意，舍去)，∴参加比赛的班级有5个，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
5．已知x=﹣2是一元二次方程x 2+mx+4=0的一个解，则m 的值是（ ）
A ．﹣4
B ．4
C ．0
D ．0或4
【答案】B
【分析】直接把x=﹣2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可．
【详解】∵x=﹣2是一元二次方程x 2+mx+4=0的一个解，
∴4−2m+4=0，
∴m=4.
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=﹣2代入已知方程.
6．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．2(1)6x -=
B ．2(1)6x +=
C ．2(1)9x +=
D ．2(1)9x -= 【答案】A
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】方程移项得：x 2−2x ＝5，
配方得：x 2−2x ＋1＝1，
即（x−1）2＝1．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43
【答案】A
【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC=2222
=108=6
AB AC
--，
∴sinA=
63
105 BC
AB
==.
故选：A．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．8．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则cosB的值为（）
A．1
3
B．22C．
22
3
D．3
【答案】A
【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【详解】如图所示：
∵AB＝3，BC＝1，
∴cosB＝BC
AB ＝
1
3
．
故选：A．
【点睛】
考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.
9．四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（）
A．1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．1
【答案】B
【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．【详解】解：∵四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共2个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为21 =
42
，
故选B．
【点睛】
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A 的概率P （A ）=m n
，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB 、OD ，若∠BOD= ∠BCD ，则∠A 的度数为（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．50°
D ．45°
【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．
【详解】设∠BAD=x ，则∠BOD=2x ，
∵∠BCD=∠BOD=2x ，∠BAD ＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°.
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 11．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x 2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A ．15或12
B ．12
C ．15
D ．以上都不对 【答案】B
【解析】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x －5）（x －8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=1．
考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系
12．如图，Rt ABC ∆中，901,ACB AC BC ︒∠===，将Rt ABC ∆绕A 点逆时针旋转30︒后得到Rt ADE ∆，点B 经过的路径为,BD 则图中涂色部分的面积为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．122π--
D ．13
【答案】A
【分析】先根据勾股定理得到AB ，再根据扇形的面积公式计算出ABD S 扇形，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是ADE ABC ABD ABD S
S S S S =+-=阴影部分扇形扇形． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB =
∴22ABD 30 3603606
n r S πππ⨯===扇形，
又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ， ∴ADE ABC ABD ABD S
S S S 6S π=+-==阴影部分扇形扇形． 故选：A
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD 的面积是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，另一个根为 _______． 【答案】34
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m 的值；把m 的值代入一元二次方程中，求出x 的值，即可得出答案．
【详解】解：把x=0代入方程（m+2）x 2+3x+m 2-4=0得到m 2-4=0，
解得：m=±2，
∵m-2≠0,
∴m=-2，
当m=-2时，原方程为：-4x 2+3x=0
解得：x 1=0，x 2=
34
， 则方程的另一根为x=34． 【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m 的值是解此题的关键．
14．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5
B =，将AB
C ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆，点A 、。