浙教版九年级上专题复习二：相似的综合应用(含答案)

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4
专题复习二 相似的综合应用
相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联， 应用转化化归思想化繁为简．
1.如图所示，将△ABC 沿 DE 翻折，折痕 DE ∥BC ，若
A.2
B.3
C.4
D.4.5
AD 1
= ，BC=9，则 DE 等于(B ).
BD 2
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）
2.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AB 边上有一点 D ，且 AD=AC ，过点 D 作 DE ⊥AB 交 BC 于点 E ，则△BDE 的周长是(B ). A.3B.4C.5D.6
3.如图所示，E 为 ABCD 的边 CB 的延长线上一点，若
EB 1 AF
= ，则 的值为(C ).
BC 2 BF
A. 1 1
B. C.2D.3
2 3
4.如图所示，已知在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线 AC 与 BD 交于点 O ，△AOB ， △BOC ，△COD ，△DOA 的面积分别记作 S 1，S 2，S 3，S 4，那么下列结论中，不正确的是(B ). A.S 1=S 3B.S 2=2S 4C.S 2=2S 1D.S 1·S=S 2·S
（第 4 题）
（第 5 题） （第 6 题）
5.如图所示，在△ABC 中，BC=3，G 是△ABC 的重心，如果 DG ∥BC ，那么 DG= 1 ．
6.如图所示，四边形 ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AC 和 BD 交于点 E ，AC=BC ，DE=2cm ，
AD=5cm ，则⊙O 的半径为
10
3
cm ．
（第 7 题）
7.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，过点 C 作 CF ∥AB 交△ABC 的中位线 DE 的延长线于点 F ， 连结 BF ，交 AC 于点 G.
（1）求证： AE ∴ GHC △∽ CHF.∴ CH
△
∽ P
EG
= .
AC CG
（2）若 AH 平分∠BAC ，交 BF 于点 H ，求证：BH 是 HG 和 HF 的比例中项.
【 答 案 】 (1)∵CF ∥AB ， DE 是 中 位 线 ， ∴ 四 边 形 BCFD 是 平 行 四 边 形.∴DE=EF.∴
.
（第 7 题答图）
(2) 如 答 图 所 示 ， 连 结 CH.∵AH 平 分 ∠BAC ， ∴∠BAH=∠CAH. 在 △ABH 与 △ACH 中 ，
,∴△ABH ≌ △ ACH.∴BH=CH ， ∠HCG=∠DBH=∠HFC. 又 ∠GHC=∠CHF ，
HG
= .∴CH 2=HG·HF.又BH=CH ，∴BH 2=HG·HF.∴BH 是 HG 和 HF 的比
HF CH
例中项.
8.如图所示，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点（不与点 A ，B 重合），EF ⊥DE 交 BC 于点 F ． （1）求证： ADE △∽ BEF ．
（2）设正方形的边长为 4，AE=x ，BF=y.求 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围． （3）当 x 取什么值时，y 有最大值？求出这个最大值，并指出该函数图象的变化情况．
（第 8 题）
【答案】(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°.∴∠ADE+∠AED=90°.∵EF ⊥DE ， ∴∠AED+∠BEF=90°.∴∠ADE=∠BEF.∴ ADE BEF.
(2)∵ ADE △∽△BEF ，∴
BF BE y 4 x 1
= .∴ = ，即 y=- x 2+x.∴y 关于 x 的函数表达式
AE AD x 4 4
为 y=- 1 4
x 2+x(0<x<4).
1 1 1
(3)y=- x 2+x=- (x 2-4x)=- (x-2)2+1.当 x=2 时，y 有最大值，y 的最大值为 1.该函数
4 4 4
图象在对称轴 x=2 的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.
9.在 Rt △ABC 中，∠C=90°，是 BC 边上不同于点 B ，C 的一动点，过点 P 作 PQ ⊥AB 于点 Q ，
连结 AP ．
（1）试说明不论点 P 在 BC 边上何处，都有△PBQ 与△ABC 相似．
（2）若 AC=3，BC=4，当 BP 为何值时，△APQ 面积最大？求出最大值． （3）在 Rt △ABC 中，两条直角边 BC ，AC 满足关系式 BC=λAC ，是否存在一个λ的值，使 Rt △AQP 既与 Rt △ACP 全等，也与 Rt △BQP 全等？
△
∽
△=
E，连结BE.若△S
=
6△，S BDE=，则AC=2.
（第9题）
【答案】(1)∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴PBQ ABC.
(2)设BP=x（0＜x＜4）.AB=AC2BC2=5.∵△PBQ∽△ABC，∴
..∴S
APQ
∴当x=
25
8时，△
APQ的面积最大，最大值是
75
32.
(3)存在.∵Rt△AQP≌R t△ACP，∴AQ=AC.∵Rt△AQP≌R t△BQP，∴AQ=BQ.∴AQ=QB=AC.在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.∴BC=3AC.∴当λ=3时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等.
10.如图所示，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE，BF，DF，DG，CG分别相交于
点P，Q，K，M，N.设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S
1
，S
2
，S
3
.若S
1
+S
3
=20，则S
2
的值为(B).
A.6
B.8
C.10
D.12
（第10题）（第11题）（第12题）
11.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为(C).
12.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点
连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）
的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(B).
13.如图所示，AC⊥BC于点C，AC=BC，D是BC上一点，连结AD，与∠ACB的平分线交于点
3
714
点 F ，ME 交 BC 于点 G ，连结 FG ，若 AB=4 2 ，AF=3，则 BG= 8 AE=BE.∴∠EAB=∠ABC.∴∠DAC=∠ABC.∴
ACD △∽AC
（第 13 题）
（第 14 题）
14.如图所示，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C ，∠DME=∠A=∠B=45°，且DM 交 AC 于 5 ，FG=
．
3
3
15.如图所示，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD ，AC ⊥AB ，E 是 BC 的中点，AD ⊥AE. （1）求证：AC 2=CD·BC.
（2）过点 E 作 EG ⊥AB ，并延长 EG 至点 K ，使 EK=EB.
①若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FH ⊥GH. ②若∠B=30°，求证：四边形AKEC 是菱形.
（第 15 题）
【答案】(1)∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA=∠ACB.又∵AC ⊥AB ，AD ⊥AE ，∴∠DAC+∠CAE=90°， ∠CAE+∠EAB=90°.∴∠DAC=∠EAB. 又 ∵E 是 BC 的 中 点 ， ∴ CD
= .∴AC 2=CD·BC.
BC AC
（第 15 题答图）
(2)①如答图所示，连结 AH.由(1)知 ACD △∽ BCA,∴∠ADC=∠BAC=90°.∵点H ，D 关于 AC
对称，∴AH ⊥BC.∵EG ⊥AB ，AE=BE ，∴G 是 AB 的中点.∴HG=AG.∴∠GAH=∠GHA.∵点 F 为 AC 的 中 点 ， ∴ AF=FH.∴∠HAF=∠FHA.∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°.∴FH ⊥GH. 1
②∵EK ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴EK ∥AC.又∵∠B=30°，∴AC= BC=EB=EC.又 EK=EB ，∴EK=AC.
2
∴四边形 AKEC 是平行四边形.又 AC=EC ，∴平行四边形 AKEC 是菱形.
16.矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 P 处． （1）如图 1 所示，已知折痕与边 BC 交于点 O ，连结 AP ，OP ，OA ． ①求证： OCP △∽ PDA.
②若△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4，求边 AB 的长．
（2）如图 2 所示，在（1）的条件下，擦去AO 和 OP ，连结 BP .动点 M 在线段 AP 上（不与点
QB.∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.由(1)得PC=4，BC=8，
∴PB=82
P，A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于
点E.试问动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF
的长度；若变化，请说明理由．
（第16题）（第16题答图）
【答案】(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°.∴∠DPA+∠DAP=90°.∵∠APO=∠B=90°∴∠DPA+∠CPO=90°.∴∠CPO=∠DAP.
∵∠C=∠D，∴OCP△∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴.∴CP=
1
2AD=4.∵CO=CB-BO,
∴CO=8-OP，在Rt△PCO中，OP2=CO2+CP2,即OP2=(8-OP)2+16,解得OP=5.∴AB=AP=2OP=10.∴
边AB的长为10.
(2)如答图所示，作MQ∥AN交PB于点Q.∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP.∴MP=MQ.
1
∵BN=PM，∴BN=QM.∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ.∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF.∴MFQ△≌
2
NFB.∴QF
=
1111
2222
42=45.
∴EF=
1
2PB=2
5.∴在(1)的条件下，点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的
长度为25.
（第17题）
17.【东营】如图所示，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别
交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H，有下列结论：①BE=2AE；②△
DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC.其中正确的是(C).
A.①②③④
B.②③
C.①②④
D.①③④
【解析】∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.在正方形
ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠ABE=∠DCF=30°.∴BE=2AE.
故①正确.∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°.∴∠FDP=15°.∵∠DBA=45°，∴∠
PBD=15°.∴∠FDP=∠PBD.∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH.故②正确.∵∠FDP=
∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°.而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB.∴△PFD
与△PDB不会相似.故③错误.∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD.
∴
DP
DC=1，BD=4，∴BH=DH=2.∵GH∥AD，∴
GM
【答案】(1)∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC.∴AC
PH
=.∴DP2=PH·PC.故④正确.故选C.
PC DP
图1图2
（第18题）
18.【常德】如图所示，在△Rt ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，连结AD，作BF⊥AD分别交AD于点E，交AC于点F.
（1）如图1所示，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE.
（2）如图2所示，若BD=4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于点M，求证：
①GM=2MC.
②AG2=AF·AC.
【答案】(1)在△Rt ABE和△Rt DBE中，∵BA=BD,BE=BE,∴△Rt ABE≌△Rt DBE.
（第18题答图）
(2)①如答图所示，过点G作GH∥AD交BC于点H.∵AG=BG，∴BH=DH.∵BD=4DC，设
HD2
==.∴GM=2MC.
MC DC1
②过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，则CN∥AG.∴△AGM∽△NCM.∴AG NC
=GM
MC.由①知GM=2MC，∴2NC=AG.∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°-∠
AF AB AF
BAE.又∠BAF=∠ACN=90°△∴BAF∽△ACN.∴=.∵AB=2AG，∴
NC AC CN
2AG
=.∴2CN·AG=AF·AC.∴AG2=AF·AC.
AC
19.在△ABC中，P为边AB上一点.
（1）如图1所示，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP·AB.
（2）若M为CP的中点，AC=2.
①如图2所示，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长.
②如图3所示，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，求BP的长.
图1图图3（第19题）图1图2（第19题答图）
AB
=.∴AC2=AP·AB.
AP AC
(2)①如答图1所示，取AP在中点G，连结MG，设AG=x，则PG=x，BG=3-x.∵M是PC
∴
AP
EAC.∴CE
13-x
的中点，∴MG∥AC，MG=1
2
AC=1.∴∠BGM=∠A.又∵∠ACP=∠PBM，∴△APC∽△GMB.
AC2x23-53+5
=，即=，解得x=或x=(不合题意，舍去).∴MG BG22
BP=AB-AP=5.
②如答图2所示，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB到点E，使BE=BP.设BP=x.∵∠ABC=45°，∠A=60°，∴AH=1,BH=CH=3.∴HE=3+x.∴CE2=（3)2+（3+x）2.
∵PB=BE，PM=CM，∴BM∥CE.∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A.又∠E=∠E，∴△ECP∽△AE
=
EP CE
.∴CE2=EP·AE.∴(3)2+(3+x)2=2x（x+3+1），解得x=7-1或x=-1-7(不合题意，舍去).∴PB=7-1.。