课时跟踪检测(三十三) 等差数列及其前n项和

课时跟踪检测(三十三) 等差数列及其前n 项和
一、题点全面练
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.1
4 B.12 C ．2
D ．－12
解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝1
4
.
2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11
的值是( )
A ．55
B ．11
C ．50
D ．60
解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋
11×10
2
d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )
A ．99
B ．66
C ．144
D ．297
解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3
＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝
9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×22
2
＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )
A ．2 020
B ．4 032
C ．5 041
D ．3 019
解析：选B 由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
a m
＝a 1＋(m －1)d ＝4，
S m
＝ma 1
＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2
－S m
＝a m ＋1
＋a m ＋2
＝2a 1
＋(m ＋m ＋1)d ＝14，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－4，m ＝5，
d ＝2，
∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，
∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.
5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d
2
＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11
S 5＝______.
解析：S 11S 5＝11
2(a 1＋a 11)
52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝22
5
.
答案：
225
7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 7
7＝2，则S 10＝________.
解析：设公差为d ，∵S 99－S 7
7＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，
∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×9
2
×2＝0. 答案：0
8．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 2
2＋…
＋a n
n ＝________.
解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4， 又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①
所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2
，所以a n n ＝4n 2
n
＝4n ，
则⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列． 所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n
2＝2n 2＋2n .
答案：2n 2＋2n
9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 2
1－2a 1－3＝0，
所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．
当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，
所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 即(a n －1)2＝a 2n －1，
因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.
若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }为等差数列．
(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.
10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n;
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.
因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．
(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，
故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5，k ＝4.
即所求m 的值为5，k 的值为4.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )
A ．2 018
B ．2 019
C ．4 036
D ．4 037
解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019
＜0，所以S 4 036＝
4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)
2
＝4 037·a 2 019
＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036.
2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )
A ．－10
B ．－12
C ．－9
D ．－13
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，
联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，
a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小
值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝46，d ＝－7，
此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.
3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.
答案：130
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 1
4a 1 011＝
________.
解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019
成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－1
2
.
答案：－1
2
5．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)设公差为d ， 则5a 1＋
5×4
2
d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.
∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4. (2)由题意知S n ＝－n ＋
3n (n －1)
2
，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9
n
对所有的正整数n 都成立．
∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9
n 恒成立； 当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9
n 恒成立． 又∵n ＋1＋9
n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号， ∴当n 为奇数时，n ＋1＋9
n 在n ＝3上取最小值7， 当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值29
4
，
∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。