沪科版数学八年级下册17.3 一元二次方程根的判别式教案与反思

17.3 一元二次方程根的判别式
玉壶存冰心,朱笔写师魂。

——冰心《冰心》
东山学校李媚清
【知识与技能】
1.了解根的判别式的概念、能用判别式判别根的情况.
2.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
【过程与方法】
1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力.
2.进一步考察学生思维的全面性.
【情感态度】
1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神.
2.进一步渗透转化和分类的思想方法.
【教学重点】
会用判别式判定根的情况.
【教学难点】
正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根.”
一、创设情境，导入新课
1.在前面我们学习的用“公式法”解一元二次方程中，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根.那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？
2.复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x+2＝0；②x2-2x+1＝0；
③x2+3＝0.
【教学说明】问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.
问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.
二、合作探究，探索新知
1.任何一个一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）用配方法将其变形为(x+a
b 2)2=2244a a
c b ∵a ≠0,∴4a2＞0
【教学说明】做到这一步时，要停下来，考虑被开方数的正负性，引导学生对字母的取值进行讨论.
2.请同学们思考，方程一定有实数根吗？方程根的情况与谁有关？有什么关系？
学生观察后回答：
（1）当b2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2-4ac ＜0时，方程没有实数根.
3.教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？ 定义：把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．
一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）.
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根.
【教学说明】引导学生讨论方程的根谁来确定，分哪几种情况，然后教师进行总结，得出根的判别式的三种情况，可以适当举出简单的实例让学生做一做，以加深印象.
三、示例讲解，掌握新知
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2=0; (2)25y2+4=20y; (3)2x2+3x+1=0.
解（1）因为Δ=(-3)2-4×5×(-2)=49＞0,所以原方程有两个不相等的实数
根.
（2）原方程可变形为
25y2-20y+4=0
因为Δ=(-20)2-4×25×4=0,
所以原方程有两个相等的实数根.
（3）因为Δ（3）2-4×2×1=-5＜0，
所以原方程没有实数根.
【教学说明】这是对根的判别式的直接应用，要强调学生先将方程写成一般形式，然后再写出a ，b ，c 的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况.
例2 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x2-4x+m-
21=0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？
【分析】由于一元二次方程有个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m 的值，进而可求出方程的根.
解根据题意，得Δ=(-4)2-4（-
21）=0，即16-4m+2=0,解得m=29. 即当m=
2
9时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0.解方程，得x1x2=2.
【教学说】这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解.
四、练习反馈，巩固提高
1.对于一元二次方程2x2-3x-1=0,其根的判别式Δ= .
2.用公式法解方程4x2=3x+2时，应先将其化为一般形式 ，然后计算出根的判别式Δ= .
3.写一个你喜欢的实数m 的值 ，使关于x 的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.
4.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
（1）3x2-2x-1=0; （2）2x2-x+1=0;
（3）4x-x2-2=x2.
5.求证：方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）＝0没有实数根.
【答案】1.17 2.4x2-3x-2=041 3.答案不唯一，m ＜4
1即可 4.（1）解：Δ＞0,方程有两个不等的实数根.
（2）Δ＜0,方程无实数根；
（3）x2-2x+1=0,Δ=0,方程有两个相等的实数根.
5.分析：将Δ算出，论证Δ＜0即可得证.
证明：Δ＝（-2m ）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4+4m2+4）
＝-4（m2+2）2.
∵ 不论m 为任何实数，（m2+2）2＞0．
∴ -4（m2+2）2＜0，即Δ＜0．
∴ （m2+1）x2-2mx+（m2-4）＝0，没有实根.
【教学说明】第1、2、3、4题是对根的判别式的直接应用，主要是要加深学生的印象，第5题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
五、师生互动，课堂小结
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况
①定义：把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c ＝0的根的判别式，用“Δ”表示.
②一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）.
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法.
完成同步练习册中本课时的练习.
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.
【素材积累】
1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。

预测未来的醉好方法，旧是创造未来。

坚志而勇为，谓之刚。

刚，生人之德也。

美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。

人生的胜者决不会摘挫折面前失去勇气。

2、我一直知道，漫长人生中总有一段泥泞不得不走，总有一个寒冬不得不过。

感谢摘这样的时候，我遇见的世界上最美的心灵，我接受的最温暖的帮助。

经历过这些，我将带着一颗感恩和勇敢的心继续走上梦想的道路，无论是风雨还是荆棘。