高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第3课时练习 理

专题1 第3课时
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一、选择题
1．(2011·山东卷)若点(a,9)在函数y ＝3x
的图象上，则tan a π
6
的值为( )
A ．0 B.
33
C ．1
D. 3
解析： ∵点(a,9)在函数y ＝3x
的图象上，∴9＝3a
，∴a ＝2， ∴tan
a π
6＝tan π
3
＝ 3. 答案： D
2．设a ＝30.5
，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．a <b <c
D ．b <c <a
解析： 因为30.5>30
＝1,0＝log 31<log 32<log 33＝1，cos 2π3＝－12<0，因此有c <b <a ，选
A.
答案： A
3．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x
与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )
解析： 由题意知，a ＝1b
，则f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x ＝b －x
，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单增，
g (x )单增，B 正确；当b >1时，f (x )单减，g (x )单减．故选B.
答案： B
4．(2011·全国新课标卷)在下列区间中，函数f (x )＝e x
＋4x －3的零点所在的区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，34 解析： ∵f (x )＝e x
＋4x －3， ∴f ′(x )＝e x
＋4＞0.
∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝e －14－4＜0，f (0)＝e 0
＋4×0－3＝－2＜0，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝e 14
－2＜0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
＝e 12
－1＞0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0. 答案： C
5．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x
x
在此区间上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
解析： ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值， ∴a ＜1.∴g (x )＝
f x x ＝x ＋a
x
－2a ， g ′(x )＝1－a
x
2＞0，即函数g (x )在区间上为增函数．
答案： D
6．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给量
( )
A ．(2.4,2.5)
B ．(2.5,2.8)
C ．(2.8,3)
D ．(3,3.2)
解析： 由表1、表2可知，当市场供给量为60～70时，市场单价为2.5～3，当市场需
求量为65～70时，市场单价为2.8～3.2，
∴市场供需平衡点应在2.8～3内，故选C. 答案： C 二、填空题
7．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2
的焦点的横坐标，则a ＝________. 解析： 令f (x )＝log 2(x ＋1)－1＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1，于是抛物线x ＝ay 2
的
焦点的坐标是(1,0)，因为x ＝ay 2可化为y 2
＝1a
x ，所以⎩⎨
⎧
1a
14a
＝1，解得a ＝1
4
.
答案： 1
4
8．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2
，则总利润L (Q )的最大值是
________．
解析： 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2
－10Q －2 000
＝－120
(Q －300)2
＋2 500.
故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元． 答案： 2 500万元
9．如图是用二分法求方程2x
＋3x ＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．
解析： 由二分法求解的过程及程序框图的运行过程知： (1)处填f (a )·f (m )<0， (2)处填|a －b |<0.01或f (m )＝0.
答案： (1)f (a )·f (m )<0 (2)|a －b |<0.01或f (m )＝0 三、解答题
10．已知函数f (x )＝2x 2
＋2x ＋a (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解析： (1)f (x )＝2(x ＋1)2
＋a －1(－2≤x ≤2)， ∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数， 在[－1,2]上，f (x )为增函数． 即f (x )的减区间是[－2，－1]，
f (x )的增区间是[－1,2]．
(2)设U (x )＝(x ＋1)2
＋a －1(－2≤x ≤2)． 则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ， 最小值为U (－1)＝a －1. ∴f (x )的最大值为f (2)＝28＋a
，
最小值为f (－1)＝2a －1
.
∵2
8＋a
＝64，∴a ＝－2.
∴f (x )的最小值f (－1)＝2
－2－1
＝18
. 11．某地方政府为保护地方电子业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税，已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，
每年可销售40万件，若政府征收附加税率为每百件t 元时，则每年销售将减少8
5t 万件．
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围内？
解析： (1)设每年国内销售量为x 万件，则销售量收入为每年250x 万件，征收附加税金为y ＝250x ·t %，这里x ＝40－8
5
t .
∴所求函数关系为y ＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫40－85t ·t %(t >0) (2)依题意，250⎝ ⎛⎭⎪⎫40－85t ·t %≥600，
即t 2
－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15. 所以税率应控制在10%～15%之间．
12．已知函数f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围． 解析： (1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )． ∴log 4(4x
＋1)＋kx ＝log 4(4－x
＋1)－kx . 即log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，log 44x
＝－2kx ，
∴x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－1
2.
(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x
＋1)－12
x ，
∴m ＝log 44x
＋12＝log 4⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .
∵2x
＋12x ≥2，∴m ≥12
.
故要使方程f (x )－m ＝0有解，m 的取值范围为m ≥12.。