人教版八年级第二学期 第二次段考数学试卷含答案

一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE 的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．23
2．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD
⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE ，
FA AE
⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC ，下列结论：①ABE ADF
≅；②FB =AB ；③CF PD
⊥；④FC =EF . 其中正确的是（）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
3．如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F 的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；
②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=5
a；④当C△AGB = (2)
6a
+时，S四边形
GEDF =1
6
a2，其中正确的是( )
A．①③B．①②③C．①③④D．①④
4．如图，正方形ABCD 中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作
FH⊥AE于F，过H 作HG⊥BD 于 G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）
A ．233-
B ．322-
C ．2
D ．23
6．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：
①CE BG =；
②EC BG ⊥
③22222FG BF BD BC +=+
④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）
A ．②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
7．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ：②GC 平分∠BGD ；③S 四边形BCDG 32；④∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知菱形ABCD 的面积为83，对角线AC 的长为43，∠BCD=60°，M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB+PM 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
10．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB 延AE 折叠刀AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF ；③FC ∥AG ；④S △GFC =14.4；其中结论正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
12．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．
13．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
14．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．
16．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
17．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接
DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
18．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
19．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
20．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
三、解答题
21．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:
（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
22．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．
(1)求证: ADE FEM ∠=∠;
(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
23．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；
（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
24．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．25．已知正方形ABCD与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E在上，点在的延长线上，
求证：DM=ME，DM⊥.ME
简析：由是的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌ .由全等三角形性质，易证△DNE是三角形,进而得出结论.
（2）如图2，在DC的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
26．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.
(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
27．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．
28．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止
后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：
（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？
29．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
30．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴
1
2
2
DE AB
==，故选：D.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出
AF ⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ,ABG S = 即可求解.
【详解】
①证明：∵E 在AD 边上(不与A.D 重合),点F 在DC 边上(不与D.C 重合).
又∵点E.F 分别同时从A. D 出发以相同的速度运动， ∴AE =DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴,90AB DA BAE D =∠=∠=，
在△BAE 和△ADF 中，
90AE DE
BAE ADF AB AD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=
⎩，
∴△BAE ≌△ADF (SAS )，
∴∠1=∠2，
∵2390∠+∠=
∴1390∠+∠=
即90AGB ∠=
90,BGF ∠=
∠BGF 是定值；正确.
②无法判断GBF ∠与CBF ∠的大小，
BF
平分∠CBE ；错误. ③当E 运动到AD 中点时，
点F 运动到CD 中点，
1
,2CF CD a ==
225,BF BC CF a =+= GH=1
5
,2BF ==正确.
④△BAE ≌△ADF,
则S 四边形GEDF ,ABG S =
当C △AGB =)62a 时，
6,AG GB a +=
()222226,AG GB AG AG GB GB a +=+⋅+=
22224,AG BG AB a +==
222,AG GB a ∴⋅=
211,22
ABG S AG GB a =⋅= S 四边形GEDF =
12
a 2 ，故S 四边形GEDF =16a 2 ，错误. 故选A.
【点睛】 考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
①作辅助线，延长HF 交AD 于点L ，连接CF ，通过证明△ADF ≌△CDF ，可得：AF=CF ，故需证明FC=FH ，可证：AF=FH ；
②由FH ⊥AE ，AF=FH ，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC 交BD 于点O ，证BD=2FG ，只需证OA=GF 即可，根据△AOF ≌△FGH ，可证OA=GF ，故可证BD=2FG ；
④作辅助线，延长AD 至点M ，使AD=DM ，过点C 作CI ∥HL ，则IL=HC ，可证AL=HE ，再根据△MEC ≌△MIC ，可证：CE=IM ，故△CEH 的周长为边AM 的长．
【详解】
①连接FC ，延长HF 交AD 于点L ，
∵BD 为正方形ABCD 的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD ，DF=DF ，
∴△ADF ≌△CDF ．
∴FC=AF ，∠ECF=∠DAF ．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF ，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE ，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH 的周长为8，为定值．
故①②③④结论都正确．
故选D ．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
5．A
解析：A
【分析】
根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，
∴FB=AB=2，BM=
12
BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，
FM ==
∴2FN MN FM =-=-
设AE=FE=x ，则EN=1x -，
∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，
∴()(22212x x -+=，
解得：4x =-
∴EN=13x -=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．
【详解】
∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴AC=AG ，AB=AE ，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，
在△AGB 和△ACE 中，
∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AGB ≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE ，故①正确；
设BA 、CE 相交于点M ，
∵△AGB ≌△ACE ，
∴∠GBA=∠CEA ，
又∵∠BMN=∠EMA ，
∴∠BNM=∠MAE=90︒，
∴EC BG ⊥，故②正确；
设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,
∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，
∴22222AB AC b a BC -=-=，
假设22222FG BF BD BC +=+成立，
则有()22222a a BC b BC ++=+，
整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，
∴a BC =，即AC BC =，
∵AC 与BC 不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，
∵EC BG ⊥，
∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴222BE AB =，222CG AC =，
∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ∆的周长等于AB+AD ，代入求出即可．
【详解】
∵10ABCD C cm =
∴=5AB AD cm +
∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥
∴EB=ED
∴AEB C
AB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
①先证明△ABD 为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;
②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B 、C 、D 、G 四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒; ③过点C 作CM⊥GB 于M,CN⊥GD 于N.证明△CBM≌△CDN,所以S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ,易求后者的面积;
④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.
【详解】
解：①∵ABCD 为菱形,
∴AB＝AD,
∵AB＝BD,
∴△ABD 为等边三角形,
∴∠A＝∠BDF＝60︒
又∵AE＝DF,AD＝BD,
∴△AED≌△DFB（SAS）,
故本选项正确;
②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠BCD＝180︒,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,
∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,
故本选项正确;
③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,
则△CBM≌△CDN（AAS）,
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN
S四边形CMGN＝2S△CMG,
∵∠CGM＝60︒,
∴GM＝1
2
CG,CM＝
3
2
CG,
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×1
2
×
1
2
CG×
3
2
32
,
故本选项正确;
④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,
故本选项正确;
综上所述,正确的结论有①②③④,
故选：D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9．C
解析：C
【分析】
作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM⊥BC，CM=BM=2，由勾股定理可求3
【详解】
解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；
∵菱形ABCD的面积为83，对角线AC长为43，
∴BD=4，
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵M是BC的中点，
∴DM⊥BC，CM=BM=2，
在Rt△CDM中，CM=2，CD=4，
∴DM=2216423
CD CM=-=
-，
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明
DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
【详解】
解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=1
2
(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(4+x)2=82+(12-x)2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG=1
2
×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
=14.4，故④正确，
故①③④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题
11．2
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=1
2
PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+
1
2
（CP+PD）
=1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值
最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，
∴EF=12PD ， ∴C △CEF =CE+CF+EF=CE+
12（CP+PD ）=12（CD+PC+PD ）=12C △CDP ∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；
即PC+PD 的值最小时，△CEF 的周长最小；
如图，作D 关于AB 的对称点T ，连接CT ，则PD=PT ，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°， ∴22224442CT CD DT ++=
∵△CDP 的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC ，
∵PT+PC ≥CT ，
∴PT+PC ≥42
∴PT+PC 的最小值为2，
∴△PDC 的最小值为4+42
∴C △CEF =12
C △CDP =222． 故答案为：222．
【点睛】 本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
1221
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点， 112,122AM AD EN CE ∴=
===， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
2212,232
EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =
+=+=，
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
13．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．
【详解】
解：连接AP ，
∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122
BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
14．24
【分析】
由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可
得OH ＝
12
BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解． 【详解】 【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，
∵DH ⊥AB ，
∴OH ＝12
BD ＝OB ， ∴∠OHB ＝∠OBH ，
又∵AB ∥CD ，
∴∠OBH ＝∠ODC ，
在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，
在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，
∴∠DHO ＝∠DCO ＝
12
∠DCB ＝24°， 故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．
15．33或3或
572 【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点，
132
AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，
1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122
DN AD ∴==，323AN DN == //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==，
22
957
12
4
2
EF ME MF
∴=+=+=；
当3
AE EF
==时，如图3，
图3
3
EF
∴=，
综上所述：EF的长为33或3或
57
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．25
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
BEA BFC
ABE CBF
AB CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，
∴BE=DE，BE2=10 cm2，
∴(cm)，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=
12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，
即有：CD≠HF ，所以③不正确；
如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
18．4
2
a
-3
3
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=3，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=a，
∴CG=4a
-，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-
，
23
3
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
19．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝18
3
CD=，AG=DH=8，
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′12，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D10
=
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．20．663
【分析】
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
==，
∵CE CB BE
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，=
∴NE=NK+KE=6+
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+
∴6
=+
∴BC=BE=66
3，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
三、解答题
21．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒
【分析】
（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．
【详解】
解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90︒,
∴∠ABC=∠ACB=45︒,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD 和△CAF 中,
BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,
∵∠ACB=45︒,
∴∠FCB=90︒,
∴CF⊥BD,CF=BD,
故答案为CF⊥BD,CF=BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．理由:
由正方形ADEF得 AD=AF,∠DAF=90︒．
∵∠BAC=90︒,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB≌△FAC（SAS）,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90︒,AB=AC,
∴∠ABC=45︒,
∴∠ACF=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF⊥BD．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD．
理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG,
由（1）可知:△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,
即CF⊥BD．
故答案为45︒．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
22．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析
【分析】
（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．
【详解】
(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，
∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴ADE FEM ∠=∠;
(2) ;DE EF =理由如下:
如图，取AD 的中点N ，连接NE ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD AB = ，
∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴1
1
,22AN DN AD AE EB AB ====，
∴,DN BE AN AE ==
又∵90A ∠=︒
∴45ANE ∠=︒
∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，
又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠
∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．
∴DNE EBF ∠=∠
在DNE △和EBF △中
ADE FEB
DN EB
DNE EBF
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()DNE EBF ASA ≌，
∴DE EF =。