为什么在中点处面积最大——小议坐标三角形面积的求法

为什么在中点处面积最大——小议坐标三角
形面积的求法
在三角形中，面积是一个重要的概念，它能够帮助我们理解和计算
各种形状的三角形的大小。

其中，对于坐标三角形，也就是以坐标轴
上的点为顶点所构成的三角形，我们可以利用坐标的几何性质来求解
其面积。

在这篇文章中，我们将探讨为什么在三角形的中点处，其面
积最大。

首先，我们需要了解坐标三角形的面积计算公式。

对于任意一个坐
标三角形，其面积公式可以表示为：S = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y1 -
x1y3 - x2y1 - x3y2)|，其中，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)分别是三角形的
三个顶点的坐标。

这个公式基于行列式的性质，通过坐标点的差值计
算出三角形的有向面积。

接下来，我们来推导一下为什么在三角形的中点处，面积最大。

假
设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，三角形的中点为
M((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。

根据坐标三角形面积公式，S = 1/2 *
|(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2)|。

我们将S表示为点A、B、
C的函数：S = f(x1, y1, x2, y2, x3, y3)。

我们观察到，当我们固定A和C两个顶点不变，只改变B的位置时，点M的坐标也会随之改变。

因此，我们可以将S表示为M的函数：S = g((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。

现在，我们需要证明当M位于三角形的中点时，面积S取得最大值。

为了简化计算，我们可以使用向量的方法来证明。

设向量BA = (u1, v1)，向量BC = (u2, v2)，则向量BM = (u1+u2, v1+v2)。

根据向量的性质，向量BA与向量BM的夹角θ满足cosθ = ((u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1) / ((|BA| * |BM|))。

根据向量的点积公式，cosθ = (u1^2 + v1^2 + u2*u1 +
v2*v1) / (√(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2))。

同理，向量BM
与向量BC的夹角满足cosθ = ((u1+u2)*u2 + (v1+v2)*v2) / ((|BM| *
|BC|))。

根据点积公式，cosθ = (u2^2 + v2^2 + u2*u1 + v2*v1) /
(√((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) * √(u2^2 + v2^2))。

接下来，我们来比较两个夹角的余弦值。

由于余弦函数的取值范围
为[-1, 1]，所以我们可以得到 -1 ≤ ((u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1) / (√(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2)) ≤ 1， -1 ≤ ((u1+u2)*u2 + (v1+v2)*v2) / (√((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) * √(u2^2 + v2^2)) ≤ 1。

我们可以进一步化简不等式，得到 -√(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) ≤ (u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1 ≤ √(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2)，以及 -√((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) * √(u2^2 + v2^2) ≤
(u1+u2)*u2 + (v1+v2)*v2 ≤ √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) * √(u2^2 + v2^2)。

对于上述不等式的左侧和右侧两个不等式，我们可以得到下述关系：-√(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2) ≤ ((u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1) + ((u1+u2)*u2 + (v1+v2)*v2) ≤ √(u1^2 + v1^2) * √((u1+u2)^2 +
(v1+v2)^2)。

根据向量的性质，|BA| = √(u1^2 + v1^2)，|BC| = √(u2^2 + v2^2)，
|BM| = √((u1+u2)^2 + (v1+v2)^2)。

因此，我们可以进一步得到 -|BA| *
|BM| ≤ (u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1 + (u1+u2)*u2 + (v1+v2)*v2 ≤ |BA| *
|BM|。

现在，我们回到面积的计算公式中，S = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2)|。

将上式的不等式代入到面积公式中，我们可以得
到 -1/2 * |BA| * |BM| ≤ S ≤ 1/2 * |BA| * |BM|。

根据三角形面积的性质，面积必然为正值，因此我们可以去掉绝对
值符号，得到 -1/2 * |BA| * |BM| ≤ S ≤ 1/2 * |BA| * |BM|。

由于面积S是一个非负数，所以我们可以去掉负数部分，得到0 ≤
S ≤ 1/2 * |BA| * |BM|。

根据向量的定义，向量BA与向量BM的夹角θ满足cosθ =
((u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1) / ((|BA| * |BM|))。

由于夹角θ的余弦值范围
在[-1, 1]之间，所以 ((u1+u2)*u1 + (v1+v2)*v1) / ((|BA| * |BM|))的范围也在[-1, 1]之间。

因此，当(BA * BM)的模等于0时，也就是当向量BA与向量BM
垂直时，面积取得最大值，即S = 1/2 * |BA| * |BM|。

综上所述，我们可以得出结论：在坐标三角形中，面积最大的情况
发生在三角形的中点处。

这是因为中点对应的向量BA与向量BM垂直，使得面积公式中的乘积项取得最大值。

这个结论为我们求解坐标三角
形的面积提供了一种简便的方法。

通过以上的讨论和推导，我们对坐标三角形面积的求法有了更深入
的认识。

无论是在理论研究还是在实际计算中，了解和掌握这个求解
面积的方法都是非常重要的。

希望本文对读者们在求解坐标三角形面积时有所帮助，并能够加深对三角形面积计算的理解。