分解因式及在实数范围内分解因式

因式分解的常用方法
一、提公因式法.
二、运用公式法.
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式(二)分组后能直接运用公式
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。

(二)二次项系数不为1的二次三项式ax2bxc
(三)二次项系数为1的齐次多项式
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
五、换元法。

六、添项、拆项、配方法。

七、待定系数法。

八、在实数范围内分解因式
因式分解巩固提高
一.填空题
1.如果二次三项式x2-ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为(只填写一
个你认为正确的答案即可).
2.把x2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k可以取的整数是.(写
出符合要求的三个整数).
3.分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4=.
4.因式分解(x+1)4+(x+3)4-272=.
5.分解因式：(1—7t―7t2—3t3)(1-2t-2t2-13)—(t+1)6=.
6.分解因式：18ax2-21axy+5ay2=.
7.若对于一切实数x,等式x2-px+q=(x+1)(x-2)均成立，则p2-4q的值是.
8.在实数范围内分解因式：2x2-8x+5=2(x-)(x-).此结论是：—的.
二.解答题
9.分解因式
(1)8a3b2-12ab3c(2)-3mc i+6msi-12ma
(3)2(x-y)2-x(x-y)(4)3ax2-6axy+3ay2(5)p2-5P-36
(6)x5-x3(7)(x-1)(x-2)-6(8)a2-2ab+b2-c2
10.已知x2-7xy+12y2=0(yw0)，求x：y的值.
11.(1)因式分解(2x+y)2-(x+2y)2(2)在实数范围内分解因式x4-9.
12.把a4-6a2+9在实数范围内分解因式.
42
13.把多项式9mx-6mx+m在头数氾围内因式分解.
14.已知x2-x-1=0,求—x3+2x2+2007的值.
15.已知四个实数a,b,c,d,且awb,c*d.若四个关系式：a2+ac=4,b2+bc=4,c2+ac=8,d2+ad=8同时成立，试求a,c的值.
16.已知整数a,b满足6ab=9a-10b+16,求a+b的值.
17.试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除.
18.计算：.
19.计算：.
20.已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+・・・+a2012的值.
21.证明：58-1能被20至30之间的两个整数整除.
22.用因式分解进行计算
（1）（2）X+X25+X.
三.选择题
23.对二次三项式4x2—6xy—3y2分解因式正确的是（）
A.B.C.
D.
24.将4x2-4x-1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是（）
A.B.
C.D.
25.把4x4-9在实数范围内分解因式，结果正确的是（）
A.（2x2+3）（2x2—3）
B.
C.D.
26.已知a+b=2,则a2-b2+4b的值是（）
A.2
B.3
C.4
D.6
27.如果x2+x-1=0,那么代数式x3+2x2-7的值为（）
A.6
B.8
C.-6
D.-8
28.如果x2+3x-3=0,则代数式x3+3x2―3x+3的值为（）
A.0B.-3C.3D.
29.4ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.锐角三角形
30.已知，那么多项式x3-x2—7x+5的值是（）
A.11
B.9
C.7
D.5
因式分解答案
1.答案不唯一.
2.k的值是土17,土10,±8.
3.解：(x十2)(x+4)十x2—4=x2十6x+8十x2—4=2x2+6x+4=2(x2+3x+2)=2(x+2)(x+1).
4.解：令x+2=t,原式=(t—1)4+(t+1)4-272=2(t4+6t2—135)=2(t2+15)(t2-9)=2(t2+15)(t+3)(t—3)
将x+2=t代入:原式=2[(x+2)2+15](x+2+3)(x+2-3)=2(x2+4x+19)(x+5)(x-1).
5.解：设(t+1)3=x,y=t2+t+2,则
原式=[(2t2+t+2)-3(1+3t+3t2+t3)]-[(t2+t+2)—(1+3t+3t2+t3)]—[(t+1)3]2=(2y
-3x)(y-x)-x2=2x2-5xy+2y2=(2x-y)(x-2y)=[2(13+3t2+3t+1)-(t2+t+2)][(t3+3t2+3t+1)-2(t2+t+2)]=(2t3+5t2+5t)(t3+t2 +t-3)=t(2t2+5t+5)(t—1)(2t2+2t+3).
6.解：18ax2-21axy+5ay2=a(18x2-21xy+5y2)=a(3x-y)(6x-5y).
7.若对于一切实数x,等式x2-px+q=(x+1)(x-2)均成立，则p2-4q的值是9.
8.解：.12x2-8x+5=0,，XI=,x2=,•1-2x2-8x+5=2(x—)(x一),
9.解：(1)8a3b2—12ab3c=4ab2(2a2—3bc);
(2)—3ma+6ma2—12ma=-3ma(a2—2a+4)=-3ma(a—2)2;
(3)2(x-y)2-x(x-y)=(x-y)(2x-2y-x)=(x-y)(x-2y);
(4)3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2;
⑸p2-5p-36=(p-9)(p+4);(6)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1);
(7)(x—1)(x—2)—6=x2—3x+2—6=(x—4)(x+1);
(8)a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).
10.解：.1x2-7xy+12y2=0,(x—3y)(x—4y)=0,•.x=3y或x=4y,，x：y=3或x：y=4.
11解：(1)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=3(x+y)(x-y).
(2)原式=(x2+3)(x2-3)=(x+)(x-).
12.解：a4—6a2+9=(a2—3)2'=(a+)2(a—)2.
13.解：原式=m(9x4—6x2+1)=m(3x2-1)2=m(x+1)2(x—1)2.
14.解：x3+2x2+2007=-x3+x2+x2+2007=x(—x2+x)+x2+2007CD;又「x2—x-1=0,
・•.-x2+x=-1②，将②代入①得，原式=x(-1)+x2+2007=-x+x2+2007=-(-x2+x)+2007D;
将②代入③得，原式=-(-1)+2007=2008.
15.解：由(a2+ac)—(b2+bc)=4—4=0,(c2+ac)—(d2+ad)=8-8=0,
得(a—b)(a+b+c)=0,(c—d)(a+c+d)=0,「awb,cwd,a+b+c=O,a+c+d=0,b=d=
-(a+c).又(a2+ac)+(c2+ac)=4+8=12,(a2+ac)-(c2+ac)=4-8=-4,得，(a-c)
(a+c)=-4.当时，，解得，，
当，，解得，.
16.解：由6ab=9a-10b+16,得6ab-9a+10b-15=16-15，(3a+5)(2b-3)=1.-.-3a+5,2b-3都为整数，
或，，，或.丁a,b为整数取，故a+b=-1.
17.解：设两个连续偶数为2n,2n+2,则有(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)x2=4(2n+1),因为n 为整数，所以4(2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4(2n+1)
是4的倍数，不是8的倍数.故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除.
18.解：，
=x XXX…XXXX=x=.
19.解：原式==298「100=.
20.解：a3+a2+a+1=0,1+a+a2+a3+…+a2012=1+a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3)…+a2009
(1+a+a2+a3)=1.
21.解：.「58T=(54+1)(54—1)=(54+1)(52+1)(52—1)=(54+1)X26X24.
.•-58-1能被20至30之间的26和24两个整数整除.
22.解：(1)原式==;(2)原式=X(++)=X100=250.
23.解：4x2-6xy—3y2=4[x2—xy+(y)2]-3y2-y2=4(x-y)2—y2
=(2x-y-y)(2x-y+y)=(2x-y)(2x-)
24.解：因为4x2—4x—1=0的根为X I=,x2=,所以4x2—4x—1=.
25.解：4x4-9=(2x2+3)(2x2—3)=(2x2+3)(x+)(x-).
26.解：=a+b=2,1-a2-b2+4b=(a-b)(a+b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2(a+b)=2X2=4.
27解：由x2+x-1=0得x2+x=1,I-x3+2x2-7=x3+x2+x2-7=x(x2+x)+x2-7=x+x2-7=-6.
28.解：当x2+3x—3=0时，x3+3x2-3x+3=x(x2+3x—3)+3=3.
29解：对等式可变形为：a2-2bc—c2+2ab=0,(a2—c2)+(2ab—2bc)=0,(a+c)(a—c)
+2b(a—c)=0,(a—c)(a+c+2b)=0,.a,b,c是^ABC的三边，，a+c+2b>0,a-c=0,…a=c.
…2
30.解：•・・・・・x-3x=1
x3-x2-7x+5=x(x2-3x)+2x2-7x+5=2x2-6x+5=2(x2-3x)+5=2+5=7。