2021年高考数学三轮冲刺 数列课时提升训练(7)

2021年高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（7）
1、已知定义域为（O,)的函数满足：①对任意，恒有②当.记区间，其中，当时.的取值构成区
间，定义区间(a,b)的区间长度为b-a，设区间在区间上的补集的区间长度为，则a
1
=____________=____________
2、已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则
3、已知等差数列的前n项和为，若，，则
4、设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，则使得为数列中的项的所有正整数的值为
5、已知等差数列的前项和为，若且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则。

6、数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：
有如下运算和结论：①
②数列是等比数列；
③数列前n项和为
④若存在正整数，使则.其中正确的结论有▲.(请填上所有正确结论的序号)
7、已知等比数列{a n}，首项为2，公比为3，则＝_________ (n∈N*)．
8、有以下四个命题：①中，“”是“”的充要条件；
②若数列为等比数列，且；③不等式的解集为；
④若P是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且其中真命题的序号为_____________．（把正确的序号都填上）
9、数列满足，则的整数部分是▲。

10、数列中, ,成等差数列; 成等比数列；的倒数成等差数列．则①成等差数列;②成等比数列; ③的倒数成等差数列; ④的倒数成等比数列．则其中正确的结论是．
11、已知数列满足：，我们把使a1·a2·…·a k为整数的数k（）叫做数列的理想数，给出下列关于数列的几个结论：①数列的最小理想数是2；②数列的理想数k的形式可以表示为；③在区间(1,1000)内数列的所有理想数之和为1004；④对任意，有＞。

其中正确结论的序号为。

12、已知数列中，，前项和为，并且对于任意的且，总成等差数列，则的通项公
式
13、设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：
①若既是等差数列又是等比数列，则；②若，则是等差数列；
③若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是。

14、设函数，，数列满足，则数列的通项等于________
15、设，，，，则数列的通项公式= ．
16、已知数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；
（2）设，求适合方程的正整数的值．
17、已知为锐角，且，函数，数列
的首项，.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．
18、已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求证：.
19、已知不等式++…+>[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。

设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：an≤，n=2,3,4,5,…;
(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0,都有an<.
20、已知数列的首项为，且为公差是1的等差数列。

（1）求数列的通项公式；（2）当时，求数列的前项和。

21、已知数列的前n项和为，且是与2的等差中项，而数列的首项为1，．
(1)求和的值；(2)求数列，的通项和；(3)设，求数列的前n项和。

22、已知数列满足：，且（I）求数列的前7项和；
（Ⅱ）设数列中：，求数列的前20项和．
23、等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，。

（1）求与的通项公式（2）求
24、已知数列{a n}是首项为-1，公差d 0的等差数列，且它的第2、3、6项依次构成等比数列{ b n}的前3项。

(1)求{a n}的通项公式；(2)若C n=a n·b n，求数列{C n}的前n项和S n。

25、已知数列的前项和满足，（1）求数列的前三项
（2）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。

26、在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．
27、已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{b n}的前n项和．
28、已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{b n}的前n项和．
29、有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
（1）证明（，是的多项式），并求的值；
（2）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．（3）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．
30、已知数列是等差数列，且
（1）求数列的通项公式（2）令，求数列前n项和
31、在数列{a n}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－a k，a2k－1＝(－1)k+1a k，k∈N*. 记数列{a n}的前n项和为S n. （1）求S5，S7的值；（2）求证：对任意n∈N*，S n≥0.
32、设非常数数列{a n}满足a n+2＝，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.
（1）证明：数列{a n}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；
（2）已知α＝1，β＝，a1＝1，a2＝，求证：数列{| a n＋1－a n－1|} (n∈N*，n≥2)与数列{n＋} (n∈N*)中没有相同数值的项.
33、已知数列满足（)，其中为数列的前n项和．
(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列满足： ()，求的前n项和公式.
34、已知数列是等差数列，且.
（1）求数列的通项公式; （2）令，求数列前n项和.
35、已知{}是一个公差大于0的等差数列，且满足
（Ⅰ）求数列{}的通项公式：（Ⅱ）若数列{}和等比数列{}满足等式：（n为正整数）求数列{}的前n项和
36
37、设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。

（2）求数列的前n项和.
38、已知正数数列的前项和为，满足。

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出通项公式；
（Ⅱ）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围。

39、已知等差数列满足：．
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）若等比数列的前项和为，且，求．
40、已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使恒成立的实数的取值范围．
1、；
2、.
3、;
4、2
5、
6、①③④
7、
8、①④
9、10、;(理)2,4 11、①③ 12、13、①②③14、 15、
16、（1）当时，，由，得当时，∵，，
∴，即∴∴是以为首项，为公比的等比数列．故
（2），
解方程，得
17、（1）由，是锐角，
（2），, （常数）
是首项为,公比的等比数列, ，∴
18、
19、（Ⅰ）证法1：∵当n≥2时，0<an≤∴,于是有
20、
21、22、解：（1）（2）23、①设{a n}公差为d，{b n}公比为q
②S n=3+5+……+(2n+1)=n(n+2)
24、
25、解：⑴在S n=2a n+(-1)n中分别令n=1，2，3得
（2分）解得（4分）⑵由S n=2a n+(-1)n，n≥1得S n-1=2a n-1+(-1)n-1，n≥2
两式想减得a n=2a a-2a n-1+2(-1)n,即a n=2a n-1-2(-1)n（6分）∴a n+(-1)n=2a n-1+(-1)n-2(-1)n=2a n-1+(-1)n-1 =2[a n-1+(-1)n-1](n≥2) （9分）即b n=2b n-1(n≥2),b1=a1-=∴{b n}是首项为，公比为2的等比数列. （10分）
∴b n=×2n-1= a n+(-1)n a n=×2n-1-(-1)n (12分)
26、解析：（Ⅰ）当时，；当时，，经验证，满足上式．
故数列的通项公式．
（Ⅱ）可知，则，
两式相减，得，所以．
由于，则单调递增，故，又，故的取值范围是．
27、．解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1= ，又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，
∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴ q=+q2，解得q=1或q=，
又由{a n}为递减数列，于是q=，∴ a n=a1=( )n．
（Ⅱ）由于b n=a n log2a n=-n∙( )n，∴，
于是，
两式相减得：整理得．
28、．解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1= ，又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴ q=+q2，解得q=1或q=，又由{a n}为递减数列，于是q=，∴ a n=a1=( )n．
（Ⅱ）由于b n=a n log2a n=-n∙( )n，∴，
于是，两式相减得：整理得．
29、解：（1）由题意知．，
同理，，，…，．
又因为成等差数列，所以.
故，即是公差为的等差数列．
所以，．
令，则，此时．
（3）由（2）得，.
故不等式就是．考虑函数．
当时，都有，即．而，
注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．所以,满足条件的所有正整数．30、解：（1）由已知
（2）
31、故有
故可知S5＝3，S7＝1. 2分
32、从而有n≥2时，，.
33、解：(Ⅰ)∵Sn＝1－an，①∴Sn＋1＝1－an＋1，②-②－①得，an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝an(n∈N ＋)．-
又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.∴an＝·n－1＝n，n∈N＋. -
(2)∵bn＝＝n·2n(n∈N＋)，-∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③
∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.④-
③－④得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，整理得，Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋. --
34、解：（1）由已知
（2）
35、（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则依题设d>0由，得①
由得②由①得将其代入②得，
即-
（Ⅱ） -
36、
（2）
37、解：（1）对于任意的正整数都成立，
两式相减，得∴，即
，即对一切正整数都成立。

∴数列是等比数列。

由已知得即
∴首项，公比，。

38、解：（Ⅰ）当时，
当时，
两式相减得为正数数列
又由得
所以，当时，有所以，数列是以1为首项，公差为1的等差数列。

（Ⅱ）法一：所以所以对任意恒成立即的取值范围为
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法二：令，则
当时，即时，在上为减函数，且当时，即时，不符合题意
综上，的取值范围为
39、（Ⅰ）设等差数列的公差为,由题设得:，即，解得．
，．
（Ⅱ）设等比数列的公比为,由（Ⅰ）和题设得:, ．
，．数列是以为首项,公比的等比数列.
．
40、解：（I）由可得，∵，∴，
∴，即，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴．
（Ⅱ）
∴
由对任意恒成立，即实数恒成立；
设，，
∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；
又，∴数列最大项的值为∴39963 9C1B 鰛Q]j38708 9734 霴B430225 7611 瘑22103 5657 噗25760 64A0 撠 27908 6D04 洄X31118 798E 禎K
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