2016-2017学年高中数学人教B版必修二学业分层测评 第

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
【答案】 D
2．如图1-2-47，三棱锥P-ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，则直线PB和平面ABC 所成的角是()
图1-2-47
A．∠BP A B．∠PBA
C．∠PBC D．以上都不对
【解析】由P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，
得P A⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】 B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】 B
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()
A.23
B.33
C.23
D.63
【解析】 如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连
接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝2
2，D 1O ＝62，
∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26
＝6
3.
∴BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为6
3. 【答案】 D
5．(2016·成都高二检测)已知ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( )
A ．BD ∥平面C
B 1D 1 B ．A
C 1⊥B
D C ．AC 1⊥平面CB 1D 1
D ．AC 1⊥BD 1
【解析】 正方体中由BD ∥B
1D 1，易知A 正确； 由BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1可得BD ⊥平面ACC 1， 从而BD ⊥AC 1，即B 正确；
由以上可得AC 1⊥B 1D 1，同理AC 1⊥D 1C ， 因此AC 1⊥平面CB 1D 1，即C 正确；
由于四边形ABC 1D 1不是菱形，所以AC 1⊥BD 1不正确．故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．(2016·太原高一检测)如图1-2-48，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．
图1-2-48
【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .
又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 【答案】 CD ⊥AB
7．如图1-2-49所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．
图1-2-49
【解析】
⎭
⎬⎫
P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒
⎭
⎬⎫
P A ⊥BC
AC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC . 【答案】 4
8．(2016·淮安高二检测)如图1-2-50，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有________个．
图1-2-50
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
【答案】 4
三、解答题
9．如图1-2-51，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
【导学号：60870043】
图1-2-51
【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE .
又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .
∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF . 又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .
又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .
10．如图1-2-52所示，三棱锥A -SBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC .求直线AS 与平面SBC 所成的角．
图1-2-52
【解】 因为∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ， 所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形．因此AB ＝AC .
如图所示，取BC 的中点D ， 连接AD ，SD ，则AD ⊥BC .
设SA ＝a ，则在Rt △SBC 中，BC ＝2a ，CD ＝SD ＝2
2a .
在Rt △ADC 中，AD ＝AC 2－CD 2＝2
2a . 则AD 2＋SD 2＝SA 2， 所以AD ⊥SD . 又BC ∩SD ＝D ， 所以AD ⊥平面SBC .
因此∠ASD 即为直线AS 与平面SBC 所成的角． 在Rt △ASD 中，SD ＝AD ＝2
2a ， 所以∠ASD ＝45°，
即直线AS 与平面SBC 所成的角为45°.
[能力提升]
1．已知三条相交于点P 的线段P A ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是三角形ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
【解析】 如图，∵P A 、PB 、PC 两两垂直，
∴P A ⊥平面PBC ，∴P A ⊥BC . 又BC ⊥PH ，P A ∩PH ＝P ， ∴BC ⊥平面P AH ， ∴BC ⊥AH .
同理AB ⊥CH ，AC ⊥BH . ∴点H 为△ABC 的垂心． 【答案】 C
2．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6，则PC 与平面ABCD 所成角的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解析】 如图，连接AC .
∵P A ⊥平面ABCD ，
∴∠PCA 就是PC 与平面ABCD 所成的角． ∵AC ＝2，P A ＝6， ∴tan ∠PCA ＝P A AC ＝6
2＝ 3.
∴∠PCA ＝60°. 【答案】 C
3．如图1-2-53，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，点P 到角的两边AC 、BC 的距离都等于2 3 cm ，那么PC 与平面ABC 所成角的大小为________．
图1-2-53
【解析】 过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接CO ，
则CO 为∠ACB 的平分线，且∠PCO 为PC 与平面ABC 所成的角，设其为θ，连接OF ，易知△CFO 为直角三角形，
又PC ＝4，PF ＝23， ∴CF ＝2，∴CO ＝22，
在Rt △PCO 中，cos θ＝CO PC ＝2
2， ∴θ＝45°. 【答案】 45°
4．如图1-2-54，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足．
图1-2-54
(1)求证：AN ⊥平面PBM ；
(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 【证明】 (1)∵AB 为⊙O 的直径，
∴AM⊥BM.
又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.
又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.
又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。