-山东省学业水平考试数学真题+答案

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2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷(附详解)

2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷1. 设集合A ={x ∈N|−1≤x ≤3}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a =f(log 32),b =f(log 1512)，c =f(20.2)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c4. 已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2√3 B. 3C. 6D. 与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+⋯+a n =242，则(x +λx )4展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87. 在棱长为1的正四面体A −BCD 中，E 是BD 上一点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A. π8B. 3π16C. π4D. 5π168. 若定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x ，f(3)=27e 3，则不等式f(x)9>xe x 的解集是( )A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)9. 已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n <2019时，n 的取值可以是下面选项中的( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)=x 1，则关于x 的方程f 2(x)+af(x)+b =0的不同实根个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P −QEF 的体积D. △QEF 的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A ，B 两点间距离，定义φ(A,B)=|k A −k B ||AB|为曲线f(x)在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A. 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B. 函数f(x)=x 3−x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A,B)>√3C. 函数f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A,B)≤2aD. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)=e x上不同两点，且x1−x2=1，若t⋅φ(A,B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞,1)13.已知复数z=1+3i1−i，则复数z−的虚部为______．14.函数f(x)=alnxx 的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是______．15.设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为______．16.过点M(0,1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为______，此时△ABF的面积为______．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)=3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3=b4−2b1，b6=a4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式：(2)求数列{(−1)n b n2}的前2n项和T2n⋅19. 在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD =2BC =2AD =4，∠DAB =60°，AE =BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． (1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21.设函数f(x)=x2−alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n)成立，②若存在x1，x2，…，x n∈[1e求n的最大值．22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K20.010.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0,1,2,3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】D【解析】解：f(x)在(0,π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴0<1log25<1log 23<1；∴0<log 1512<log 32<1；又1<20.2<2；∴0<log 1512<log 32<20.2<π；∴b <a <c ．故选：D ．容易看出f(x)在(0,π)上单调递增，且可得出log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且1<20.2<2，从而得出0<log 1512<log 32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】C【解析】解：由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，即点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，故选：C ．由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，得解：本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．6.【答案】B【解析】解：(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则C n2=C n3，求得n=5，令x=0，则a0=1令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a n=(1+λ)5=242+1=243，解得λ=2，则(x+2x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r2r x4−2r，令4−2r=0，解得r=2，故(x+2x)4的展开式中的常数项为C4222=24故选：B．先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7.【答案】B【解析】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵正四面体ABCD 的棱长为1，∴正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵cos∠ODB =1√62=√63，OD=√64，DE =14， ∴OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．故选：B ．根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f′(x)−f(x)e x −9>0，∴[f(x)e x−9x]′>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵f(3)=27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3,+∞)．故选：A．构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9.【答案】AB【解析】解：由题意，a n=1+2(n−1)=2n−1，b n=2n−1，c n=a bn=2⋅2n−1−1=2n−1，则数列{c n}为递增数列，其前n项和T n=(21−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n−1)=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n．当n=9时，T n=1013<2019；当n=10时，T n=2036>2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB．由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n}的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n}的前n项和T n，验证得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨假设x1<x2，∴f′(x)=x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴Δ=a2−4b>0．由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判别式△′=Δ=a2−4b>0，故此方程有两解为f(x)=x1或f(x)=x2．由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f(x)=x1的解个数；由于函数y=f(x)的图象和直线y=x2的交点个数，即为方程f(x)=x2的解个数．根据f(x1)=x1，画出图形，如图所示：由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数为2，函数y=f(x)的图象和直线y= x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：B．由题意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得Δ=a2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11.【答案】B【解析】解：A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即×√2a为定值；到对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF|为定D.∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=12值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对×√2a为定值；角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF| D.由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12为定值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．12.【答案】AC【解析】解：对于A，当函数f(x)=kx+b(k≠0)时，f′(x)=k，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1,1)，B(2,5)，f′(x)=3x2−2x，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√1+16=√17<√3，故B错误；对于C，f′(x)=2ax，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=12√(x1−x2)2+(ax1−ax1)2=√1+a2(x1+x2)2≤2a，故C正确；对于D，由f(x)=e x，得f′(x)=e x，由A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=e x上两点，且x1−x2=1，可得φ(A,B)=|k A−k B||AB|=x1x2√(x1−x2)2+(e x1−e x2)2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．故选：AC．考虑一次函数，求出导数，可得φ(A,B)=0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A,B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A,B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A,B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z−=−1−2i，∴复数z−的虚部为−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】x =e【解析】解：f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a =1，故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，解得：x =e ，经检验x =e 是函数的极值点，故答案为：x =e ．求出函数的导数，根据f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，求出a 的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.【答案】16【解析】解：由题意可得2ln √2=(x +y)ln2，所以x +y =1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)=10+yx +9x y≥10+6=16，当且仅当yx =9xy且x +y =1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16．故答案为：16结合等比数列的性质可得x +y =1，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】8√2 4√103【解析】解：设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2,0)，F 1(−2,0)，则AF =4√2−AF 1，BF 1=4√2−BF 1，所以AF +BF +AB =8√2+AB −(AF 1+BF 1)，显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立，所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2，此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2=0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8，可得：3y 2+4y −2=0，设A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，|y 1−y 2|=√(43)2+4×23=2√103．△ABF 的面积为：12×4×2√103=4√103，故答案为：8√2；4√103．根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2,0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可．本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，∴a 2+b 2−c 2=ab ，由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12；又∵C ∈(0,π)， ∴C =π3；(Ⅱ)由c =2，C =π3，根据正弦定理得， asinA=bsinB =csinC =2sin π3=4√33， ∴a +b =4√33(sinA +sinB) =4√33[sinA +sin(2π3−A)] =2√3sinA +2cosA=4sin(A +π6)；又∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<2π3−A <π2，解得π6<A <π2； ∴π3<A +π6<2π3，∴2√3<4sin(A +π6)≤4，综上，a +b 的取值范围是(2√3,4]．【解析】(Ⅰ)化简(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，利用余弦定理求得C 的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a +b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A 的取值范围，从而求出a +b 的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)S n =2a n −2，当n =1时，得a 1=2，当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2，作差得a n =2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 3=b 4−2b 1，b 6=a 4，所以8=3d −b 1，16=5d +b 1，所以3=d ，b 1=1，所以b n =3n −2．(2)T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )，=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n ) 又因为b n =3n −2，所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【解析】(1)根据由S n 求a n 的方法可求{a n }的通项公式，由题意可得{b n }为等差数列，由条件求其公差d ，可得结果；(2)由T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n )，即可求出答案．本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了转化与化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60°， ∴△ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，E(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，设平面PEC 法向量为n⃗ =(x,y,z)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −√3z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1,1)，平面EDC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√22， ∴二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，所以|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗|DM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6√10λ2−10λ+4=√68，所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．【解析】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，求出λ即可判断M 的位置．20.【答案】解：(1)由已知a =2，c a =√22可得c =√2，∴a 2−b 2=2，即4−b 2=2， ∴b 2=2， ∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3=0，显然△>0，∴y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2， ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，=(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9，=−9t 2−3t 2+2+9 =15t 2+2≤152，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，此时A(1,√62)，B(1,−√62)，∴|AB|=√6，|MN|=3，∴S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【解析】(1)由已知a =2，ca=√22可得c =√2，由a 2−b 2=2，可得b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，即可求出三角形的面积本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx ，可得f′(x)=2x −a x =2x 2−ax，故当a ≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，令f′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a 2)上单调递减．综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． (2)①当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增．故f(x)min =f(1)=1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)=e 2−2<2.82−2=5.84，故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2=f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥(n −1)f(1)=n −1，故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]，取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2，故n 的最大值为6．【解析】(1)求出f′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．(2)①当a =2时，利用函数的导数，求出f(x)min =f(1)=1，f(x)max =f(e)=e 2−2， ②推出n 2≤e 2−1<7.取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．22.【答案】解：(1)依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5，所以中位数位于[15,20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．(2)依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5=0.35，所以“网购迷”人数为100×0.35=35人，非网购迷的人数为100−35=65人．所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ=0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ=1)=C 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16，P(ξ=2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×23×(1−23)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ=3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，第21页，共21页 P(ξ=4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的分布列和期望．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．(1)根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；(2)根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．。

山东省学业水平考试数学试题(2015-2017会考)附答案

y k ( x 1) 2 代入y 2 x 2得2x2 kx k 2 0 k k2 k k2 A( 1, 2k 2), 用 k 换k 得B ( 1, 2k 2) 2 2 2 2 k k k2 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 1 , x1 1, y1 k ( x1 1) 2 2k 2 2 2 2 k AB k k 1 ( 1) 4k 2 2 2 4 (定值) 2 k k k 2k 2 ( 2k 2) 2 2
22.已知 tan 2, 则 tan( ) 的值是___________ 4
23.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主(正)视图和左(侧)视图都是边长为 2 的正三角形,那么该四棱锥的底面积为__________
8
x 2 24.已知实数 x,y 满足约束条件 y 2 , 则目标函数 z x 2 y x y 2 0 的最小值是 ______
9
山东省普通高中学业水平考试数学试题参考答案
1~5 DABAC 21. 12 22. 6~10 BBDDA 11~15 CAACD 16~20 BCDBC -3 23. 4 24. 2 25.
2

26 f ( x)的定义域是( , 2), 零点是x 2 27. (1) an n, (2) S100 5050 28.解(1) 设直线MA的斜率为k , 则MB的斜率为-k,则直线MA的方程为
1 1 a b
11.设 a, b, c R, 且a b ,则下列不等式正确的是( A. a 2 b 2 B. ac 2 bc 2 C. a c b c D.
13.甲、乙、丙 3 人站成一排,则甲恰好在中间的概率为( A.

2024年山东省潍坊市数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

2024年山东省潍坊市数学九年级第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列各式中，正确的是（）A ．＝﹣8B ．﹣＝﹣8C ．＝±8D ．＝±82、（4分）若式子2x -有意义，则x 的取值范围为（）．A ．x≥2B ．x≠2C ．x≤2D ．x ＜23、（4分）在ABCD 中，∠A ：∠B:∠C ：∠D 的度数比值可能是（）A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:1:2:2D ．2:1:2:14、（4分）用配方法解一元二次方程2430x x ++=，下列配方正确的是（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)1x -=C ．2(2)7x +=D ．2(2)7x -=5、（4分）下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（）A ．a =1.5b =2c =2.5B ．a ：b ：c =5：12：13C ．∠A ＋∠B =∠C D ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：56、（4分）一组数据：﹣3，1，2，6，6，8，16，99，这组数据的中位数和众数分别是（）A ．6和6B ．8和6C ．6和8D ．8和167、（4分）已知关于x 的不等式（2﹣a ）x ＞1的解集是x ＜12a -；则a 的取值范围是（）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＜2D ．a ＞28、（4分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A ．10B ．9C ．8D ．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）直线32y x =-+关于y 轴对称的直线的解析式为______.10、（4分）某校四个绿化小组一天植树棵数分别是10、10、x 、8，已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是_____．11、（4分）对于函数y ＝（m ﹣2）x +1，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围_____．12、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝_____度．13、（4分）如图，EF 为ABC △的中位线，BD 平分ABC ∠，交EF 于D ，8,12AB BC ==，则DF 的长为_______。

山东烟台市2023-2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学试题及答案

2023—2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（）A.12B.18C.20D.1202.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.36B.45C.72D.903.已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（）A.-2B.-1C.1D.24.已知等比数列的前项和，则（）A.-1B.1C.-2D.25.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率为（附：）若，则，.B.0.9773C.0.8414D.0.5在上单调递增，则实数的取值范围为（A.0.99876.已知函数A ）.B.C.D.7.某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（）A. B. C. D.8.已知，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（）A.时，弹簧振子的位移为B.时，弹簧振子的瞬时速度为C.时，弹簧振子的瞬时加速度为D.时，弹簧振子的瞬时速度为10.已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（）A.变量的样本相关系数为正数B.经验回归直线恒过C.每增加1个单位，平均减少1.6个单位D.样本数据对应的残差的绝对值为0.211.设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中含项的系数为__________.13.若曲线与总存在关于原点対称的点，则的取值范围为__________.14.南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”微章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为__________；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：成绩学生人数6102473选修读课程人数03953（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；获奖没有获奖合计选修阅读课程不选阅读课程合计（2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82816.（15分）已知函数.（1）当时，求过点且与图象相切的直线的方程；（2）讨论函数的单调性.17.（1.5分）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，证明：.18.（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.（1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；（2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列；（3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求.19.（17分）已知函数存在两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：.2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题 C C A D 二、 B D C A 选择题10.BCD 9.ABD 11.AC 三、填空题12.−80 113.(,]e −∞414.()n −1L 3L 2四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································3分零假设为H 0：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，2 50(828212)25χ2=××−× ≈> =8.3337.879.×××203010403·······························6分根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H 0不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.····························7分（2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则···································8分1231C C 82C 10 2137C C 82P X (1)===15，P X (2)===15C 10，C 8373P X (3)===15C 10，········································11分所以,随机变量X 的分布列为: 17712所以E X ()123=×+×+×=1515155. ··························13分2()(21)e 2′16.解：（1）当a =−2时，f x x x =−+x，所以f x x ()(1)e x . ·········1=−分x y 002设切点为(,)，则y x x =−+(21)e x0000 2，k x =−(1)e x00，获奖没有获奖合计选修阅读课程81220不选阅读课程22830合计1040500 22000(21)e(1)e ()x x所以，切线方程为y x x x x x 0. ························3−−+=−−分2将(1,0)代入得(1)0，解得x 0=0或x 0=1. ·····························5x x 00−=分故过(1,)的切线方程为y =0或x y +−=10.················································70分′2()(2)e (1)e (1)(1)e （2）f x x a x ax x a x x x x . ·····················8=++++=+++分 ′=+2′当a =0时，f x x ()(1)e x ，恒有f x ()0，函数f x ()单调递增.·········10≥分a ′当a >0时，−−<−11，当x a ∈−∞−−(,1)，或x ∈−+∞(1,)时，f x ()0，>函′数f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.····12<分a(1,)′当a <0时，−−>−11，当x ∈−∞−(,1)，或x a ∈−−+∞时，f x ()0，>函数′f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.·······14<分a 综上，当a =0时，f x ()在R 上单调递增，当a >0时，f x ()在(,1)，−∞−−(1,)−+∞a −−−上单调递增，在(1,1)上单调递减，当a <0时，f x ()在(,1)，−∞−(1,) a−−+∞ a 上单调递增，在(1,1)上单调递减−−−.······························15分17.解：（1）由题意可知，b b a ，即b 2−=−11，故b 2=0. ························1212−=分由b b a ，可得a 3=1. ······················································2323−=分a n 所以数列{}的公差d =2，所以a n n 12(2)25. ······················3n =−+−=−分−n n n 1−=n n n 121−=由b b a ，b b a −−−，，b b a 212−=，(1)(125)n n 2n n −−+−叠加可得b b a a a −=+++=123 ，2整理可得b n n n =−+≥44(2)；当n =1时，满足上式n ，2所以b n n =−+44················································································5n 分N m n ∗m n −=− 2(2)5n 2−+（2）不妨设a b m n =∈(,)，即25(2)2，可得m =，········6分=2 2924当n k 时，m k k 2=−+，不合题意，2当n k =−21时，m k k k k =−+=−+∈N ∗，································72672(3)7分所以b 21在数列{}中均存在公共项a k −n ，135721又因为b b b b =<<< ，所以c n =b n =−(21)2.·································9n +分 514（3）当n =1时，T 1=<············································10，结论成立，分 2111111(21)(22)241n =<=−当n ≥2时，c n n n n n()，·····················12−−×−分1111111(1所以T n <+−+−++−n n 43351)− 114n 515444=+−1(1)n =−<，5.综上，T n <4··················································15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”， 333311则P A ()=×+×=666520，············································2分333=× ()6 P ABP AB ()=6510，所以P B A (|)P A ()11==；··································4分（2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则··············································5分 3331P X (0)==××=6668， 33333333391P X (1)++==××××××=655665666200,32333233237P X (2)++==××××××=654655665100,3211P X (3)==××=65420，10分（3）由题意可知，前n −1次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()] 65665665n n n−−−P n =×+××++×× ···························12分 233232333333=[()()()()]××+×+×+65565656−−−−n n n n = 22213555()[1()()]55666×+++−−n n 51()136555 n −52131()n −2−−−n n 11n n ≥∈N 1−6*=×=×−2[()()](2,).····················16分31n n 11n n ≥∈N 52−−*所以P n =×−2[()()](2,).··································17分19.解：（1）函数f x ()定义域为(0,)+∞，11x x x+′()ln (1)1(ln )1f x a x a x a x =++⋅+=++，····································1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−，令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=，因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ，注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

2024年山东济南初中学业水平考试数学试卷真题(含答案详解)

秘密★启用前济南市2024年九年级学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.9的相反数是（）11A.—B.——C.9D.-9992.黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”.如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯.关于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%，将数字3465000000用科学记数法表示为（）A.0.3465xlO9B. 3.465xl09C. 3.465xl08D.34.65xl084. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45。

，则该正多边形是（）A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形5.如图，已知 △DEC ,ZA = 60。

,ZB = 4。

,则 NQCE 的度数为（）.DA. 40°C. 80°D. 100°6. 下列运算正确的是（）A. 3x + 3y = 6xy B. = xy 6 C. 3（x + 8）= 3x + 8 D.疽泌二 j7. 若关于x 的方程x 2-x-m^ 0有两个不相等的实数根，则实数川的取值范围是（）m <——4 B. m > ——4 C. m<-4 D. m>-48. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）1112A. — B . — C. — D .—9 6 3 39. 如图，在正方形刃与CD 中，分别以点力和8为圆心，以大于」，8的长为半径作弧，两弧2相交于点E 和E ,作直线EE ,再以点力为圆心，以刀。

2022-2023学年山东省烟台市高三上学期期中学业水平测试数学试卷及答案

A
4x2
y2
112 9
1
即 4x2 y2 2xy 112 ，②……………4 分
4xy
2，
9
联立①②得， x 4 , y 4 ，即 c 4, b 8 .
3
3
分
……………6
（2）由题意得， S
ABE
S
ACE
S
，
ABC
∴ 1 4 AE sin 30 1 8 AE sin 30 1 4 8 sin 60 ，
2
2
3
设 b 2x, c y ，
…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分
…………………4 …………………6 分 …………………1 分
…………………2 分
在△ABD 中， cos
A
x2
y2
112 9
1
，即 x2
y2
xy
112
，①
……………3 分
2xy
2
9
在
ABC 中， cos
a (a0, 4) 时， m(a) 0 ， m(a) 单调递减，
高三数学试题答案第 6 页（共 7 页）
则 m(a)max
m(a0 )
(1 a0 ) ln a0
a0
2
(1 a0 )
1 a0
a0
2
a0
1 a0
3 ………11
分
∵
y
a0
1 a0
3 在 a0
(1, 2) 上显然单调递增，
∴ a0
分
即
x2
112 16 9
8 7x
8
x2 7x
0
，所以
x

山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题

山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题第一题：选择题1.下列数中，是整数的是（A） A. -1.5 B. 0.7 C. √2 D. π2.某校教室共有150个座位，已经有90个座位被学生占据，现在又来了80名新生，每名新生至少需要一个座位，那么至少需要增加多少个座位？（B） A. 20 B. 30 C.40 D. 50第二题：填空题3.已知两个锐角三角形的角度之和相等，那么两个三角形的角度（180°）答案：相等4.一组数相乘得1，其中只有两个数为整数，其他数均为负数，则这两个整数的乘积为（1）答案：1第三题：解答题5.某校学生家长会请了3个讲座嘉宾，要求在每个讲座厅内放置相同数量的座椅，并使得每个座椅尽可能多的坐满，已知每个讲座厅内可以放置的座椅数为30个。

请计算：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，那么最多可以坐多少位学生？–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，那么最多可以坐多少位学生？解答：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，则最多可以坐的学生数为：3 * 10 = 30位学生。

–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，则最多可以坐的学生数为：3 * 15 = 45位学生。

第四题：解答题6.某张纸张的长和宽的比是5:3，已知纸张的宽度为30cm，请计算纸张的长和面积。

解答：由题可知，纸张的宽度为30cm，长和宽的比为5:3，设纸张的长度为5x，则有： 5x / 30 = 5 / 3 3 * 5x = 5 * 30 15x = 150 x = 150 / 15 x = 10因此，纸张的长度为5 * 10 = 50cm，面积为30cm * 50cm = 1500cm²。

结束语以上是山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题的内容，希望对您的学习有所帮助。

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山东省烟台市2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学[含答案]

b
，
OC
c
表示出
DE 即可.
DE
DA
AE
1
AO
AD
1
AO
1
( AB
AC)
1
OA
1
(OB
OC
2OA)
【详解】由
2
22
22
1
OA
1
OB
1
OC
1
a
1
b
1
c
222
2 2 2.
故选：D
4.
求圆心在直线 2x
y 1 0 上，且与直线 x
y
2
0
相切于点
2,
0
的圆的方程是（
A. 2
B. 2
1
1
C. 2
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据纵截距求解出 m 的值，然后由直线方程求解出斜率.
【详解】因为
x
my
4
0
的纵截距为
2
，所以直线经过
0,
2 ，
所以 2m 4 0 ，所以 m 2 ，
k1 1
所以斜率
m 2，
故选：D.
A0,1 B 2,5
1, m
2. 经过点
，
两点的直线的方向向量为
【详解】由圆心为 C(3, 4) ，半径为 r 0 ，则原点到 C(3, 4) 的距离 d 5 ，
要使总存在两个点到原点的距离为 2，
若原点在圆外，则
d d
r r
2
3
r
5
；
若原点在圆上，即 r d 5 ，满足；
若原点在圆内，则 d r d 2 5 r 7 ；

山东省烟台市2023-2024学年高二下学期7月期末学业水平诊断数学答案

2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题C C AD B D C A 二、选择题9. ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题12.80− 13.1(,]e −∞ 14.14()3n L −2L 四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································ 3分零假设为0H ：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，2250(828212)25==8.3337.879203010403χ××−×≈>×××. ······························· 6分根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.···························· 7分（2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则 ··································· 8分12823101(1)15C C P X C ===，21823107(2)15C C P X C ===， 383107(3)15C P X C ===， ········································ 11分所以,随机变量X 的分布列为:所以17712()1231515155E X =×+×+×=. ·························· 13分 16.解：（1）当2a =−时，2()(21)e xf x x x =−+，所以2()(1)e x f x x ′=−. ········· 1分设切点为00(,)x y ，则02000(21)e xy x x =−+，020(1)e xk x =−，获奖没有获奖合计选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程2 28 30 合计104050所以，切线方程为00220000(21)e(1)e ()x x y x x x x x −−+=−−. ························ 3分将(1,0)代入得200(1)0x x −=，解得00x =或01x =. ····························· 5分故过(1,)0的切线方程为0y =或10x y +−=. ················································ 7分（2）2()(2)e (1)e (1)(1)e x x x f x x a x ax x a x ′=++++=+++. ····················· 8分当0a =时，2()(1)e x f x x ′=+，恒有()0f x ′≥，函数()f x 单调递增. ········· 10分当0a >时，11a −−<−，当(,1)x a ∈−∞−−，或(1,)x ∈−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ···· 12分当0a <时，11a −−>−，当(,1)x ∈−∞−，或(1,)x a ∈−−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ······· 14分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,1)a −∞−−，(1,)−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减，当0a <时，()f x 在(,1)−∞−，(1,)a −−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减. ······························ 15分17.解：（1）由题意可知，212b b a −=，即211b −=−，故20b =. ························ 1分由323b b a −=，可得31a =. ······················································ 2分所以数列{}n a 的公差2d =，所以12(2)25n a n n =−+−=−. ······················ 3分由1n n n b b a −−=，121n n n b b a −−−−=，，212b b a −=，叠加可得 123(1)(125)2n n n n b b a a a −−+−−=+++=，整理可得 244(2)n b n n n =−+≥；当1n =时，满足上式，所以244n b n n =−+ ················································································ 5分（2）不妨设(,)m n a b m n ∗=∈N ，即225(2)m n −=−，可得2(2)52n m −+=， ········ 6分当2n k =时，29242m k k =−+，不合题意，当21n k =−时，22672(3)7m k k k k ∗=−+=−+∈N ， ································ 7分所以21k b −在数列{}n a 中均存在公共项，又因为1357b b b b =<<< ，所以n c =221(21)n b n +=−. ································· 9分（3）当1n =时，1514T =<，结论成立， ············································ 10分当2n ≥时，2111111()(21)(22)241n c n n n n n=<=−−−×−， ····················· 12分所以1111111(1)43351n T n n <+−+−++−− 111(1)4n =+− 515444n =−<，综上，54n T <. ·················································· 15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”，则333311()666520P A =×+×=， ············································ 2分 333()=6510P AB =×，所以()6(|)()11P AB P B A P A ==； ·································· 4分（2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则 ·············································· 5分3331(0)6668P X ==××=， 33333333391(1)++655665666200P X ==××××××=, 32333233237(2)++654655665100P X ==××××××=,3211(3)65420P X ==××=，10分（3）由题意可知，前1n −次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()]65665665n n n n P −−−=×+××++×× ··························· 12分233232333333=[()()()()]65565656n n n n −−−−××+×+×+ =22213555()[1()()]55666n n −−×+++ 121151()13316()2[()()]5555216n n n n −−−−−=×=×−−*(2,)n n ≥∈N . ···················· 16分所以11312[()()]52n n n P −−=×−*(2,)n n ≥∈N . ·································· 17分19.解：（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，11()ln (1)1(ln )1x f x a x a x a x x x+′=++⋅+=++， ···································· 1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−，令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=，因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ，注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

山东省学业水平考试数学试题(两次汇编)夏季冬季(含夏季答案)

山东省学业水平考试数学试题(两次汇编)夏季冬季（含夏季答案）先生姓名：考试效果：总分值：100分考试时间：90分钟一、选择题〔本大题共20个小题，每题3分，共60分〕1．集合{}4,2,1=A ，{}84,2，=B ，那么=B A 〔〕 A ．{4} B ．{2} C ．{2,4} D ．{1,2,4,8}2．周期为π的函数是〔〕A ．y =sinxB ．y =cosxC ．y =tan 2xD ．y =sin 2x3．在区间()∞+，0上为减函数的是〔〕 A ．2x y =B ．21x y =C ．xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21D ．x y ln = 4．假定角α的终边经过点()2,1-，那么=αcos 〔〕A ．55-B ．55C ．552-D ．552 5．把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两团体，每人分得一张，设事情P 为〝甲分得黄牌〞，设事件Q 为〝乙分得黄牌〞，那么〔〕A ．P 是肯定事情B ．Q 是不能够事情C ．P 与Q 是互斥但是不统一事情D ．P 与Q 是互斥且统一事情6．在数列{}n a 中，假定n n a a 31=+，21=a ，那么=4a 〔〕A ．108B ．54C ．36D ．187．采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件停止检验，那么所选取的5件产品的编号可以是〔〕A ．1，2，3，4，5B ．2，4，8，16，32C ．3，13，23，33，43D ．5，10，15，20，258．()+∞∈,0,y x ，1=+y x ，那么xy 的最大值为〔〕A ．1B ．21C ．31D ．41 9．在等差数列{}n a 中，假定95=a ，那么=+64a a 〔〕A ．9B ．10C ．18D ．2010．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边区分是a ,b ,c ，假定︒=60A ，︒=30B ，3=a ，那么=b 〔〕 A ．3B ．233C ．32D ．33 11．向量()3,2-=，()6,4-=，那么与〔〕A ．垂直B ．平行且同向C ．平行且反向D ．不垂直也不平行12．直线012=+-y ax 与直线012=-+y x 垂直，那么=a 〔〕A ．1B ．－1C ．2D ．－213．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边区分是a ,b ,c ，假定222c bc b a +-=，那么角A 为〔〕A ．6πB ．3πC ．32πD ．3π或32π 14．在学校组织的一次知识竞赛中，某班先生考试效果的频率散布直方图如下图，假定低于60分的有12人，那么该班先生人数是〔〕A ．35B ．40C ．45D ．5015．△ABC 的面积为1，在边AB 上任取一点P ，那么△PBC 的面积大于的概率是〔〕A ．41B ．21C ．43D ．32 16．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+1142y x y x ，那么y x z -=的最小值是〔〕A ．－1B ．21-C ．0D ．1 17．以下结论正确的选项是〔〕A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的恣意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，那么另一条也与这个平面平行18．假定圆柱的底面半径是1，其正面展开是一个正方形，那么这个圆柱的正面积是〔〕A ．24πB ．23πC ．22πD ．2π19．方程x x -=33的根所在区间是〔〕A ．〔－1，0〕B ．〔0，1〕C ．〔1，2〕D ．〔2，3〕20．运转如下图的顺序框图，假设输入的x 值是－5，那么输入的结果是〔〕A ．－5B ．0C ．1D ．2二、填空题〔本大题共5个小题，每题3分，共15分〕21．函数)1lg()(-=x x f 的定义域为．22．向量a ，b2=，a 与b 的夹角θ为32π，假定1-=⋅b a ，=． 23．从集合{}3,2=A ，{}3,21，=B 中各任取一个数，那么这两个数之和等于4的概率是． 24．数列{n a }的前n 项和为n n S n 22+=，那么该数列的通项公式=n a ．25．三棱锥P -ABC 的底面是直角三角形，侧棱⊥PA 底面ABC ，P A =AB =AC =1，D 是BC 的中点， PD 的长度为．三、解答题〔本大题共3个小题，共25分〕26．〔本小题总分值8分〕函数1cos sin )(+=x x x f ．求：〔1〕)4(πf 的值；〔2〕函数)(x f 的最大值． 27．〔本小题总分值8分〕n mx x x f ++=22)(〔m ，n 为常数〕是偶函数，且f (1)=4．〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假定关于x 的方程kx x f =)(有两个不相等的实数根，务实数k 的取值范围．28．〔本小题总分值9分〕直线l :y =kx +b ，(0<b <1)和圆O ：122=+y x 相交于A ，B 两点．〔1〕当k =0时，过点A ，B 区分作圆O 的两条切线，求两条切线的交点坐标；〔2〕关于恣意的实数k ，在y 轴上能否存在一点N ，满足ONB ONA ∠=∠？假定存在，央求出此点坐标；假定不存在，说明理由．山东省2021年夏季普通高中学业水平考试参考答案：1-20BDCADBCDCACABBCBDABC21、()∞+，122、123、3124、2n+125、26 26、〔1〕23；〔2〕最大值为23． 27、〔1〕22)(2+=x x f ；〔2〕22>k 或22-<k ．28、〔1〕⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，；〔2〕存在；⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，．山东省2021年夏季普通高中学业水平考试数学试题第I 卷〔共60分〕一、选择题：本大题共20个小题，每题3分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的 .l. 集合{}1,1A =-，选集{}1,0,1U =-，那么U C A =A. 0B. {}0C. {}1,1-D. {}1,0,1-2. 六位同窗参与知识竞赛，将每位同窗答对标题的个数制成如下图的茎叶图，那么这组数据的众数是A. 19B. 20 1 8 9 9C. 21D. 22 2 0 1 23. 函数ln(1)y x =-的定义域是A. {|1}x x <B. {|1}x x ≠C. {|1}x x >D. {|1}x x ≥4. 过点(1,0)且与直线y x =平行的直线方程为A. 1y x =--B. 1y x =-+C. 1y x =-D. 1y x =+5. 某班有42名同窗，其中女生30人，在该班中用分层抽样的方法抽取14名同窗，应该取男生的人数为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 106. 与向量(3,2)=-a 垂直的向量是A. (3,2)-B. (23)-，C. (2,3)D. (3,2)7. 0000sin 72cos 48cos72sin 48=+A.B. C. 12- D. 128. 为失掉函数3sin()12=-y x π的图象，只需将函数3sin =y x 的图象上一切的点 A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移12π个单位D. 向右平移12π个单位 9. 向量a 与b 满足||3a =，||4b =，a 与b 的夹角为23π，那么a b = A. 6- B. 6C. -D. 10. 函数2cos 1([0,2])=+∈y x x π的单调递减区间为A. [0,2]πB. [0,]π1 1C. [,2]ππD. 3[,]22ππ11. ,(0,)16∈+∞=，x y xy ，假定+x y 的最小值为A. 4B. 8C. 16D. 3212. ()f x 为R 上的奇函数，事先0>x ，()1=+f x x ，那么(1)-=fA. 2B. 1C. 0D. 2-13. 某人延续投篮两次，事情〝至少投中一次〞的互斥事情是A. 恰有一次投中B. 至少投中一次C. 两次都中D. 两次都不中14. tan 2=θ，那么tan 2θ的值是 A.43 B.45C. 23-D. 43- 15. 在长度为4米的蜿蜒竹竿上，随机选取一点挂一盏灯笼，该点与竹竿两端的距离都大于1米的概率A. 12B. 13C. 14D. 1616. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边区分为,,a b c ，面积为52,5,4==c A π，那么b的值为A.2B.2C. 4D. 4217. 设,x y 满足约束条件1,0,10,≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩x y x y 那么2=+z x y的最大值为A. 4B.2C. 1-D. 2-18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边区分是27,,,7,1,cos ===a b c b c A .那么a 的值为 A. 6 6 C. 10 D. 1019. 执行右图所示的顺序框图，那么输入S 的值是值为A. 4B. 7C. 9D. 1620. 在等差数列{}n a 中，37=20=4-，a a ，那么前11项和为A. 22B. 44C. 66D. 88第II 卷〔共40分〕二、填空题：本大题共5个小题，每题3分，共1 5分.21. 函数sin 3=x y 的最小正周期为_______.22. 底面半径为1，母线长为4的圆柱的体积等于_______.23. 随机抛掷一枚骰子，那么掷出的点数大于4的概率是_______.24. 等比数列1,2,4,,-从第3项到第9项的和为_______.25. 设函数2,0,()3,0,⎧<=⎨+≥⎩x x f x x x 假定(())4=f f a ，那么实数=a _______.三、解答题：本大题共3个小题，共25分.26.〔本小题总分值8分〕如图，在三棱锥-A BCD 中，,==AE EB AF FD .求证：//BD 平面EFC .27.〔本小题总分值8分〕圆心为(2,1)C 的圆经过原点，且与直线10-+=x y 相交于,A B 两点，求AB的长.28.〔本小题总分值9分〕定义在R 上的二次函数2()3=++f x x ax ，且()f x 在[1,2]上的最小值是8.(1)务实数a 的值；(2)设函数()=x g x a ，假定方程()()=g x f x 在(,0)-∞上的两个不等实根为12,x x ，证明：12()162+>x x g。

山东会考数学试题及答案

山东会考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \(2^3 = 6\)B. \(3^2 = 9\)C. \(4^2 = 16\)D. \(5^2 = 25\)答案：D2. 已知函数\(y = ax^2 + bx + c\)，当\(a = 1\)，\(b = -3\)，\(c = 2\)时，函数的顶点坐标是？A. \((1, 0)\)B. \((-1, 4)\)C. \((3, -2)\)D. \((-3, 2)\)答案：B3. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. \(25\pi\)B. \(50\pi\)C. \(100\pi\)D. \(125\pi\)答案：C4. 如果\(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\)，那么\(\theta\)的值可能是？A. \(\frac{\pi}{6}\)B. \(\frac{\pi}{3}\)C. \(\frac{\pi}{2}\)D. \(\frac{2\pi}{3}\)答案：A5. 以下哪个不等式是正确的？A. \(x^2 > x\) 对所有\(x > 1\)成立B. \(x^2 < x\) 对所有\(x > 1\)成立C. \(x^2 \leq x\) 对所有\(x > 1\)成立D. \(x^2 \geq x\) 对所有\(x > 1\)成立答案：D6. 已知\(\tan(\alpha) = 2\)，\(\cos(\beta) = \frac{3}{5}\)，求\(\sin(\alpha + \beta)\)的值。

A. \(\frac{7}{25}\)B. \(\frac{24}{25}\)C. \(\frac{23}{25}\)D. \(\frac{13}{25}\)答案：C7. 一个等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第五项是多少？A. 11B. 13C. 15D. 17答案：A8. 函数\(f(x) = \log_2(x)\)的反函数是？A. \(2^x\)B. \(x^2\)C. \(\sqrt{x}\)D. \(\frac{1}{x}\)答案：A9. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A10. 已知\(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\)，求\(\sin(\theta)\)的值。

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山东省2016年冬季普通高中学业水平考试数学试题第I 卷（共６0分)一、选择题(本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1.已知全集{}c b a U ,,=，集合{}a A =，则=A C U ( ）A. {}b a , Ｂ. {}c a , C. {}c b , D ． {}c b a ,, 2.已知0sin <θ，0cos >θ,那么θ的终边在( )A.第一象限Ｂ．第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.若实数第3，a ,5成等差数列,则a 的值是（）A. 2B. 3 C ． 4 D. 15 4.图像不经过第二象限的函数是（ )Ａ． xy 2= B.x y -= C. 2x y = Ｄ. x y ln =５.数列1，32，53，74,95，…的一个通项公式是=n a ( ) A.12+n n B. 12-n nＣ. 32+n n Ｄ. 32-n n 6．已知点)4,3(A ,)1,1(-B ，则线段AB 的长度是( ）A. 5B. 25 Ｃ. 29 D ． 29 ７.在区间]4,2[-内随机取一个实数,则该实数为负数的概率是（）A.32B. 21C. 31D. 41 8．过点)2,0(A ，且斜率为1-的直线方程式( ）A.02=++y xB.02=-+y x C ．02=+-y x D.02=--y x ９．不等式0)1(<+x x 的解集是( ）A.{}01|<<-x x B ．{}0,1|>-<x x x 或 C. {}10|<<x x D.{}1,0|><x x x 或 10．已知圆C :036422=-+-+y x y x ，则圆C 的圆心坐标和半径分别为（ )A. ）（3,2-,１6B. ）（3,2-，16C. ）（3,2-,4 Ｄ. ）（3,2-,4 11．在不等式22<+y x 表示的平面区域内的点是（ )Ａ. ）（0,0 B. ）（1,1 C ．）（2,0 D ．）（0,2 １2.某工厂生产了A 类产品200０件,B 类产品3000件，用分层抽样法从中抽取50件进行产品质量检验，则应抽取B 类产品的件数为( ）Ａ. 2０Ｂ． 3０ C. 40 D. ５0 1３．已知3tan -=α,1tan =β，则)tan(βα-的值为( )A. 2-B. 21-Ｃ. 2 Ｄ． 2114.在ABC ∆中,角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,若1=a ,2=b ，41sin =A ,则B sin 的值是( ) Ａ.41 B. 21C ． 43 D ． 4215.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上的解析式为1)(+=x x f ，下列大小关系正确的是（ )A. )2()1(f f >B ． )2()1(->f fC. )2()1(->-f fＤ． )2()1(f f <-16.从集合{}2,1中随机选取一个元素a ，{}3,2,1中随机选取一个元素b ，则事件“b a <”的概率是（） A.61 B. 31 C. 21 D. 32１7.要得到)42sin(π+=x y 的图像,只需将x y 2sin =的图像( )Ａ. 向左平移8π个单位 B.向右平移 8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移 4π个单位 1８.在ABC ∆中,角A ,B ，C 所对的边分别是a ，b ,c ，若1=a ,2=b , 60=C ，则边c 等于( ) A. 2 B. 3Ｃ. 2 D ． 319.从一批产品中随机取出3件，记事件A 为“3件产品全是正品”,事件B 为“３件产品全是次品”，事件C 为“3件产品中至少有1件事次品”，则下列结论正确的是( )Ａ．A 与C 对立Ｂ．A 与C 互斥但不对立Ｃ.B 与C 对立 D.B 与C 互斥但不对立20．执行如图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 的值为( ) A. 1 Ｂ. ２ C. 3 D. ４二、填空题（本大题共５个小题，每小题3分，共1５分） 21． 2log 2的值为． 22.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,971=⋅a a , 则=4a .2３.已知向量)2,1(=a ，)1,(x b =,若b a ⊥,则实数x 的值是． 2４.样本5，8,11的标准差是 .25．已知一个圆锥的母线长为２0，母线与轴的夹角为60,则该圆锥的高是 . 三、解答题(本大题共3个小题,共25分）26.（本小题满分8分)如图，在三棱锥BCD A -中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点.求证：//EF 平面BCD .27.（本小题满分8分）已知函数x x x f 22sin cos )(-=.求:⑵ )12(πf 的值; ⑵)(x f 的单调递增区间.２8．(本小题满分9分)已知函数41)(2++=ax x x f )(R a ∈ ⑴当函数)(x f 存在零点时,求a 的取值范围； ⑵讨论函数)(x f 在区间)1,0(内零点的个数．20１6冬季学业水平数学试题参考答案1-5:CDCDB 6-10:A ＣBA Ｄ 11-１５:ＡBC ＢＤ 16-２0: ＣABAC 21.2122. 3 ２3. 2- 24.6 ２５. 10 ２6.证明:在ABC ∆中,因为E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点，所以EF 是ABC ∆的中位线， ……………………………………………1分所以BC EF //………………………………………………………………4分又因为⊂/EF 平面BCD ……………………………………………………5分 ⊂BC 平面BCD ……………………………………………………………6分所以//EF 平面BCD ………………………………………………………８分２7．解：x x x x f 2cos sin cos )(22=-=……………………………………………２分⑴236cos)122cos()12(==⨯=πππf ……………………………………5分 ⑵由πππk x k 222≤≤-,Z k ∈, 得πππk x k ≤≤-2，Z k ∈.………………………………………………７分所以)(x f 的单调递增区间为],2[πππk k -，Z k ∈．……………………８分28.解⑴因为函数)(x f 有零点,所以方程0412=++ax x 有实数根. 所以012≥-=∆a ，解得1-≤a ，或1≥a因此,所求a 的取值范围是1-≤a ,或1≥a ．………………………………2分 ⑵综上，当1->a 时，)(x f 在区间)1,0(内没有零点;当1-=a ,或45-≤a 时,)(x f 在区间)1,0(内有1个零点；当145-<<-a 时,)(x f 在区间)1,0(内有2个零点.2０17年山东省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共2０个小题,每小题3分,共60分)1．已知集合{}4,2,1=A ,{}84,2，=B ，则=B A （）Ａ．{4} Ｂ．｛2} Ｃ．{2，4｝ D ．{1,2,4，８｝2．周期为π的函数是（ )A .ｙ=s ｉｎxB ．ｙ=ｃｏsxC .y ＝ta ｎ2ｘD .ｙ=si ｎ２x３．在区间()∞+，0上为减函数的是( ） A .2x y = B .21x y = Ｃ．xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 D .x y ln =4．若角α的终边经过点()2,1-,则=αcos （）Ａ.55-B .55C .552-D ．5525．把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人，每人分得一张，设事件Ｐ为“甲分得黄牌”,设事件Q为“乙分得黄牌”，则( ）A .P 是必然事件B ．Ｑ是不可能事件ﻫC .Ｐ与Q 是互斥但是不对立事件Ｄ．P 与Q 是互斥且对立事件6．在数列{}n a 中,若n n a a 31=+,21=a ,则=4a ( )A ．１0８Ｂ．５4 C ．36 D .187．采用系统抽样的方法,从编号为1~50的50件产品中随机抽取5件进行检验,则所选取的5件产品的编号可以是( ）A ．1，2，3,4,5B .２,4,8，１６，32C ．3，13,２３,33，４3D ．５，10,15,2０,25 8.已知()+∞∈,0,y x ,1=+y x ，则x ｙ的最大值为( ） A .１ B ．21 C ．31 D ．41 9.在等差数列{}n a 中，若95=a ,则=+64a a ( )A .9B ．１0C .１8D ．２010.在ABC ∆中,角A ，B ，Ｃ的对边分别是a ,b ,c ,若︒=60A ，︒=30B ,3=a ，则=b （ ) A ．3 B.233 C ．32 Ｄ.33 １1.已知向量()3,2-=a ，()6,4-=b ，则a 与b （）Ａ.垂直 B ．平行且同向 C .平行且反向 D ．不垂直也不平行 1２.直线012=+-y ax 与直线012=-+y x 垂直,则=a ( ) A ．１ B ．－1 C .2 D ．－2１3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若222c bc b a +-=，则角A 为( ) Ａ．6π Ｂ.3π C .32π D .3π或32π14.在学校组织的一次知识竞赛中,某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示,若低于60分的有12人,则该班学生人数是（）A ．3５B ．４0 Ｃ.４5 D .5015.已知△A ＢC 的面积为１,在边AB 上任取一点P ，则△ＰＢC 的面积大于41的概率是（） A .41 B .21 C ．43 D ．32 １６.设x ，ｙ满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+1142y x y x ,则y x z -=的最小值是( )Ａ．-1 B ．21-C .０D ．１ 17.下列结论正确的是( ）A .平行于同一个平面的两条直线平行ﻫB ．一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行1８．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形,则这个圆柱的侧面积是( ） A ．24π B .23π C ．22π D ．2π １９．方程x x -=33的根所在区间是（ ) Ａ．(－1,0) B ．(0,1 Ｃ．（1,2 D .（2,3）20.运行如图所示的程序框图,如果输入的x 值是-5，那么输出的结果是( ） A .－５ B .0 C .１ D .２二、填空题(本大题共５个小题，每题3分,共15分） 21.函数)1lg()(-=x x f 的定义域为．2２．已知向量，2=a ，与的夹角θ为32π，若1-=⋅，则=b ．23.从集合{}3,2=A ，{}3,21，=B 中各任取一个数，则这两个数之和等于4的概率是．24．已知数列｛n a }的前n 项和为n n S n 22+=,则该数列的通项公式=n a ．25.已知三棱锥P -A ＢＣ的底面是直角三角形,侧棱⊥PA 底面ABC ,P A =ＡB =AC =1,D 是ＢC 的中点,PD 的长度为 .三、解答题（本大题共３个小题,共25分）2６．（本小题满分8分)已知函数1cos sin )(+=x x x f ．求：ﻫ（１))4(πf 的值; （2）函数)(x f 的最大值．27．（本小题满分8分)已知n mx x x f ++=22)((m ，n 为常数）是偶函数，且f （１）=4．ﻫ（1)求)(x f 的解析式;（2)若关于x 的方程kx x f =)(有两个不相等的实数根,求实数k 的取值范围．２8.(本小题满分9分）已知直线l :ｙ=kx +ｂ,(0<b <1）和圆Ｏ:122=+y x 相交于A ,B 两点.ﻫ（1）当ｋ＝0时，过点A ,B 分别作圆O 的两条切线，求两条切线的交点坐标；（２)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ,满足ONB ONA ∠=∠？若存在，请求出此点坐标;若不存在,说明理由.题号１ 2 3 4 ５ 6 7 ８９１０答案山东省２017年普通高中学业水平考试参考答案1-5： C ＤＣＡＤ 6-1０:B ＣDCA 11－15：ＣABB Ｃ 1６－20:BDA ＢC21、()∞+，1 22、1 ２3、3124、2ｎ＋1 2５、26２6、(１）23；（２)最大值为23. ２7、(1)22)(2+=x x f ; （2)4>k 或4-<k . ２8、（1)⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，；(2)存在;⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，.。