人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 培优课 求数列的通项 分层作业册

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8.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式
n
a
=(3n-2)·
2
n
为
.
解析 ∵an+1=2an+3·2
n+1
+1
,∴2 +1
=

+1
+3,即

2
2 +1
1

的等差数列.又 2 =1,∴2 =1+3(n-1),
当n=1时,b1=1符合上式.
∴bn=2n-1.
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5.[探究点四]已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,试求数列{bn}的通项公式.
(1)解 因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.
n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
+1

nan= 2 an+1-2 an,得(n+1)·an+1=3nan(n≥2),即数列{nan}从第
二项起是公比为 3 的等比数列,且 a1=1,a2=1,于是 2a2=2,故当 n≥2 时,
nan=2×3n-2.
1, = 1,
于是 an=
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为
1,2,3,…,2 021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一
行只有一个数M,则M等于( B )
A.2 021×22 018
B.2 022×22 019
C.2 021×22 019
D.2 022×22 020
(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别为bn=n·( 3 )n,
5
cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,求实数t的取值范围;
(3)已知有穷数列{an}的“序数列”为{pn},求证:“{pn}为等差数列”的充要条
件是“{an}为单调数列”.
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综上,有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}
为单调数列.
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项公式 bn 等于( C )
1
A.2n
解析 由
1

B.n-1
C.n
D.2n

1
2
1
1
1
an+1= +2,得 =1+ ,所以 +1=2( +1),又 +1=2,所以数列

+1

+1

1
+ 1 是首项为 2,公比为 2
1
的等比数列,所以 +1=2·2n-1=2n,所以

1
bn=log2( +1)=log22n=n.
(2)证明因为Sn=2an+n-4,
所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,
所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是
以2为首项,2为公比的等比数列,则bn=2n.
2
=2+(n-1)×1=n+1,
∴an=(n+1)·2n-2.
又每行比上一行的数字少1个,
∴最后一行为第2 021行,∴M=a2 021=2 022×22 019.
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2.[探究点三](多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知
Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是( AD )
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解析 记第n行的第一个数为an,则
a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,
∴

2 -2
∴

2 -2
=
-1
2 -3
+1,即

2 -2
1
是以 -1 =2 为首项,1 为公差的等差数列.
项,公差为 2
−

1

=2,又2-7=-1,所以数列 2-7
2-7

的等差数列,所以
=-1+2(n-1)=2n-3,所以
2-7
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C )
是以-1 为首
an=(2n-3)(2n-7).

1
*
7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= +2(n∈N ).若 bn=log2( +1),则数列{bn}的通
4<t<5时,由二次函数的知识可知c4>c5>…>cn-1>cn成立,即实数t的取值范
围是(4,5).
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(3)证明必要性:若有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列,
①若{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,则有穷数列{an}为递减数列;
②若{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,则有穷数列{an}为递增数列,
3
an=(2-1)(2+1)(n∈N*).
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a1=1 满足上式,所
4.[探究点二]已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足
Sn-Sn-1= + -1 (n≥2).试求数列{bn}的通项公式.
解 ∵Sn-Sn-1= + -1 (n≥2),∴( + -1 )( − -1 )
11.已知有穷数列{an}的各项均不相等,将{an}的项由大到小重新排列后相
应的项数构成新数列{pn},称{pn}为{an}的“序数列”,例如:数列a1,a2,a3满足
a1>a3>a2,则其“序数列”{pn}为1,3,2.
(1)若数列{an}的通项公式为an=(-2)n(n=1,2,3,4),写出{an}的“序数列”;
Sn+n=2n,则Sn=2n-n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;
由 a1=1,a2=1,a3=3 可得
3 +1
a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即 +1
2
Sn=2n-n,所以 Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故 D 正确.
∴an=(3n-2)·2n.
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−


=3.∴数列

2
2
是公差为 3
9.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
的通项公式an.
解 由
+1
a1+2a2+3a3+…+nan= 2 an+1,得当

=2 an,两式作差得
+1
2
an+1(n∈N*),求数列{an}
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B级 关键能力提升练
+1

6.在数列{an}中,a1=5,且满足 2-5 -2=2-7,则数列{an}的通项公式为(
A.2n-3
B.2n-7
C.(2n-3)(2n-7)
D.2n-5
解析
+1

+1
因为 2-5 -2=2-7,所以 2-5
= + -1 (n≥2).
又 >0,∴ − -1 =1.
又 1 =1,∴数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差数列,
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∴ =1+(n-1)×1=n,故 Sn=n2.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
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≠
2 +1
,故
1 +1
C 错误;由
3.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}
3
an=
(2-1)(2+1)
的通项公式为
解析
.

由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得
anx
=
1
2
(an-3).
2
2 2 2
-an+1x+1=0,可化为 x - x+1=0,即
3
3
2
Δ=(-2) -4×2×3<0,所以
2
2
an+1-3
2
an≠3,即
列.
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2
an-3≠0.所以数列
2
- 3
2x2-2x+3=0.此时
1
是以2为公比的等比数
(3)解 当
2×3 -2
,

≥ 2,∈N * .
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10.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:
(3)当
2
- 3
是等比数列;
7
a1= 时,求数列{an}的通项公式.
-1
2
所以
1
=
1 3
,
5 2

别相乘得
1
=
=
3 4
,
7 3
=
5 5
,
9 4
=
7

,…,
11
-1
1×3
(n≥2),故
(2-1)(2+1)
以数列{an}的通项公式为
=
2-3
(n≥2),
2+1
=
2-3
(n≥2).上述各式左右两边分
2+1
3
an=(2-1)(2+1)(n≥2).又
(1)解 由an=(-2)n(n=1,2,3,4),可得a1=-2,a2=4,a3=-8,a4=16,于是a4>a2>a1>a3,
故{an}的“序数列”为4,2,1,3.
(2)解 由于
3 n
bn=n·(5) ,则
3-2 3 n
bn+1-bn= 5 (5) ,当
3
18
81
324
bn+1<bn,b1= ,b2= ,b3= ,b4= ,于是
2
7
a1=6时,a1-3
所以
2
an-3
所以
2
an=3
1
2
= ×
+
=
1 -1
2
1
,所以数列
2
=
2
- 3
1
1
是首项为2,公比为2的等比数列.
1
,
2
1
,n∈N*,
2
即数列{an}的通项公式为
2
an=
3
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+
1
,n∈N*.
2
C级 学科素养创新练
6
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+ =
(1)解 根据根与系数的关系,得
1
+1
= .

,
代入题设条件 6(α+β)-2αβ=3,得

6 +1

−
2
=3.所以

(2)证明因为
1
1
an+1=2an+3,所以
2
an= ,则方程
3
若
1
1
an+1=2an+3.
A.数列{Sn+n}为等比数列
B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1
C.数列{an+1}为等比数列
D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列
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解析 因为
+1 ++1
Sn+1=2Sn+n-1,所以
+
=
2 +2
=2.
+
又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以
所以由①②知,有穷数列{an}为单调数列.
充分性:由于有穷数列{an}为单调数列,则①若有穷数列{an}为递减数
列,{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,是等差数列;
②若有穷数列{an}为递增数列,则{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,是等差数列,
所以5
125
625
n≥2 时,bn+1-bn<0,即
b2>b3>b1>b4>b5>…>bn-1>bn,由于
cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,则
c2>c3>c1>c4>c5>…>cn-1>cn,
由于c1=t-1,c2=2t-4,c3=3t-9,c4=4t-16,则2t-4>3t-9>t-1>4t-16,得4<t<5,当