环境数据处理与数学模型课件 11-环境质量基本模型

kt
断面面积 A 4 Dxt 4Dxt
2 一维模型推导与求解
非稳态解析解
例题：瞬时向河流投放示踪剂溶液，其中含红色染料5kg，在起始断面处竖 向完全混合。假定河流宽度为10m，水深0.5m，河流流速ux=0.5m/s，纵向弥 散系数为Dx=0.5m2/s，试求投放点下游500m处的染料浓度时间过程线。已 知染料在试踪剂实验时间段内不降解，即k=0。
1 弥散 分散运动
由于横断面上实际的状态（如流速）分布不均匀与实际计算中采用
断面平均状态（如流速）之间的差别引起的分散现象
弥补由于采用状态的空间平均值所形成的计算误差
使用Fick第一定律进行描述
I
3 x
Dx
C x
,
I
3 y
Dy
C y
,
I
3 z
Dz
C z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时间平均浓度的空间 平均值
➢ 等式右边的负号表示弥散的方向是污染物浓度梯度的负方向 ➢ 弥散系数Dx Dy Dz在各个方向上不相同，表示弥散也是各向异性的
环境质量基本模型：反映污染物质在环境介质中运动的基本规律的数学模 型
模型表征了污染物在介质中运动的基本规律
➢ 随着介质的迁移运动 ➢ 污染物在介质中的分散运动 ➢ 污染物的衰减与转化
基本假设
➢ 污染物能够与环境介质相互融合，污染物质点与介质质点具有相同的流体力学特 征，可以将污染物质点当做介质质点进行研究
2 环境质量基本模型
推导环境质量基本模型的理论基础——质量守恒 推导环境质量基本模型的基本单元——流体微元
源Source
累积 Accumulation
汇Sink
任意时刻 “累积=源-汇”
2 环境质量基本模型
推导环境质量基本模型的理论基础——质量守恒 推导环境质量基本模型的基本单元——流体微元 环境质量基本模型的求解
(1)计算起始点处完全混合后的初始浓度C0：
C0
QC1 Q
qC2 q
0.15 30 5.5 0.5 1.2832 mg 0.15 5.5
L
2 一维模型推导与求解
稳态解析解
(2)计算考虑纵向弥散时的下游10km处的BOD5浓度C：
C
C0
exp
ux
x
2Dx
1
1
4kDx
u
2 x
1.2832
1 衰减与转化
很多试验和观测数据表明，污染物在环境中的降解过程基本符合一级反应 （first order）动力学规律
➢ 微分形式
dC kC dt
➢ 积分形式
C(t) C0ekt
➢ k称为降解速度常数、衰减速度常数，单位 d-1
1 污染物的运动特征
内容
2
模型的推 导与求解
2 环境质量基本模型
减；另一种是在环境因素的作用下，由于化学或生物反应而不断衰减，例如有机物的生 物化学氧化过程 ➢ 细菌转化作用（Bacterial Conversions），是地表水和多数地下水环境中最重要的反应过 程：将含碳有机物转化为二氧化碳和水；含氮物质的转化，基本上是从氨氮到硝酸盐； 有毒有机物有时也会被转化
只在一个空间方向(如x)上存在质量变化，即存在浓度梯度的模型
➢ 单位时间内由推流和弥散输入该微元 的污染物的量
C [uxC (Dx x )]yz
➢ 单位时间内由推流和弥散输出该微元 的污染物的量
[uxC
uxC x
x
(Dx
C x
)
x
(Dx
C x
)x]yz
➢ 单位时间内衰减的污染物的量
kCxyz
2 一维模型推导与求解
C
污染物降解系数
QC0 Q kV
湖泊 体积
2 零维模型推导与求解
非稳态解析解
求解条件：
➢
dC 0 dt
➢ t 0, C C0
零维模型非稳态解析解：
➢
V
dC dt
Q C0
C kCV
C(t) QC0 kVC0 exp[(k Q )t]
Q kV Q kV
V
时间
2 一维模型推导与求解
0.3989
exp
500
0.5t
2
t
2t
非稳态解析解
t/min C/mg/L
10 5.44×10-14
12 1.82×10-5
14
0.305
2 一维模型推导与求解
稳态解析解
例题：向一条河流稳定排放污水，污水量q=0.15m3/s，BOD5浓度为 C2=30mg/L。河流流量Q=5.5m3/s，流速ux=0.3m/s，BOD5本底浓度为 C1=0.5mg/L，河流中BOD5的衰减速度常数k=0.2d-1，纵向弥散系数 Dx=10m2/s。试求排放点下游10km处的BOD5浓度。
一维模型稳态解析解：
C t
ux
C x
Dx
2C x2
kC
=0
Dx
2C x 2
ux
C x
kC
0
二阶线性偏微分方程
介质流速
初始条件：x=0 时，C=C0
位置
污染物降
C
C0
exp
ux
x
2Dx
1
1
4kDx ux2
解系数
弥散系数
2 一维模型推导与求解
稳态解析解
对于一般条件下的河流，推流形成的污染物迁移作用要比弥散作用大的多，
exp
0.310000
1
1
4 0.2
86400 10
1.18793 mg
L
2 10
0.32
(3)计算忽略纵向弥散时的下游10km处的BOD5浓度C：
C
C0
exp(
kx ) ux
0.2 86400 10000
1.2832 exp
0.3
1.18791mg L
2 一维模型推导与求解
2 环境质量基本模型
推导环境质量基本模型的理论基础——质量守恒
推导环境质量基本模型的基本单元——流体微元
环境质量基本模型的求解
➢ 解析解：
特殊的情景/条件
• C=f(x,y,z,t)，可以表述为数学公式
• 稳态解、非稳态解
➢ 数值解
• 有限差分法 u u(x x, y) u(x, y)
2 零维模型推导与求解
稳态解析解
稳态——污染物在某一空间位置的浓度不会随时间变化
稳态的条件：
➢ 在环境介质处于稳定流动状态，污染源连续稳定排放的条件下，环境
中的污染物分布状况也是稳定的
稳态条件的数学表达：
➢ dC 0 dt
来流流量 来流污染 物浓度
零维模型稳态解析解：V
dC dt
Q C0
C
kCV =0
➢ fx, fy, fz分别为x,y,z三个方向上的污染物推流迁移通量 ➢ ux, uy, uz分别为x,y,z三个方向上环境介质的流量分量 ➢ C表示污染物在环境介质中的浓度
1 分散运动 Diffusion
假定污染物质点的动力学特性与介质质点完全一致 对于多数溶解性污染物都可以满足 污染物在环境介质中的分散作用包括
弥散作用在稳态条件下往往可以忽略，初始条件为：x=0 时，C=C0 ，
Dx=0
C
C0
exp
kx ux
一维模型中，假设污染源汇入河流后，立即混合均匀
C0
QC1 qC2 Qq
一维稳态模型在河流水质的模拟预测中是很常用的简单模型
➢ 环境影响评价：预测污水排放进入河流后，对下游水质的影响
➢ 污水厂设计：给定下游水质保护目标，对上游排污量进行限制
Deep layers
10-8 10-6 10-4 10-2 100
102 104 106 108
cm2/s
1 衰减与转化
守恒物质
➢ 可以长时间在环境中存在 ➢ 随着介质的运动和分散作用，它们的位置和浓度会不断改变 ➢ 但是，守恒物质在介质中的总量不会改变，所以可以在环境中积累
非守恒物质
➢ 在环境中能够降解 ➢ 有两种降解方式，一种是由污染物自身的运动变化规律决定的，例如放射性物质的衰
x
x
• 有限单元法
普适的情景/条件
2 零维模型推导与求解
在研究空间范围内不产生环境质量差异的模型
空间范围内类似于一个连续流完全混合的反应器，浓度处处相等
微元的源
S 根据质量守恒定律，可得到： 和汇
Q, C0
V
dC dt
QC 0
QC
S
rV
Q, C
微元中的 流入微元 流出微元 微元中反
V
累积量
(1)计算流行时间t0：
t x 500 1000s 16.667 min ux 0.5
2 一维模型推导与求解
(2)计算测量点处自10至22分钟时的染料浓度：
C(x,t)
M
exp
x
uxt
2
exp
kt
A 4 Dxt 4Dxt
5
500 0.5t 2
exp
1
10 0.5 43.1416 0.5t 4 0.5t
非稳态解析解
一维模型非稳态解析解——瞬时点源排放
C t
ux
C x
Dx
2C x2
kC
初始条件：忽略弥散作用，Dx=0，在x=0，t=0 时，C=C0
位置
C
C
t ux x kc 0
Cx,
t
C0
exp
kt
C0
exp
kx ux
由于不考虑弥散作用，污染物在环境中某一位置的出现时间都是一瞬间
2 一维模型推导与求解
似的特征 污染物在介质中运动的基本形式
➢ 随着介质的迁移运动 ➢ 污染物在介质中的分散运动 ➢ 污染物的衰减与转化
1 推流迁移 Advection
指污染物在气流或水流作用下产生的空间位置上的转移 单纯的推流作用不能降低污染物的质量和浓度 推流作用下，单位时间内通过单位面积的推流迁移通量为：
fx=uxC, fy=uyC, fz=uzC
弥散项的影响最 大，分子扩散则 往往可以忽略。
MOLECULAR DIFFUSION DIFFUSION IN POROUS MEDIA (SEDIMENTS)
Ocean HORIZONTAL TURBULENT DIFFUSION
Lakes
Surface layer VERTICAL TURBULENT DIFFUSION
➢ 分子扩散 molecular diffusion ➢ 湍流扩散 turbulent diffusion ➢ 弥散 dispersion
1 分子扩散 分散运动
由分子随机运动引起的质点的分散现象
服从Fick第一定律，即分子扩散的质量通量与扩散物质的浓度梯度
成正比
I
1 x
Em
C x
,
I
1 y
Em
C y
,
I
1 z
Em
C z
➢ 等式右边的负号表示污染物质点的运动指向浓度梯度的负方向(由浓度高的
地方向浓度低的地方扩散)
➢ 分子扩散系数Em在各个方向上相同，表示分子扩散是各向同性的 ➢ 河流中分子扩散系数一般为10-5~10-4m2/s
1 湍流扩散 分散运动
是湍流流场中质点的各种状态（流速、压力、浓度等）的瞬时值相 对于其时间平均值的随机脉动而导致的分散现象
非稳态解析解
初始条件：考虑弥散作用，Dx≠0，在x=0，t=0 时，C=C0
C t
ux
C x
Dx
2C x2
kC
Cx,t
位置
uxC0
4D x t
ex p
x uxt 2
4Dxt
ex p
kt
➢ 在污染物瞬时排放时，C0=M/Q，Q=Aux
时间
污染物瞬时排放量
C(x,t)
M
exp
x
uxt
2
exp
的量
的量
应的量
2 零维模型推导与求解
在研究空间范围内不产生环境质量差异的模型 空间范围内类似于一个连续流完全混合的反应器，浓度处处相等
➢ 如果S=0，且污染物符合一级反应动力学降解规律，那么：
V
dC dt
QC 0
QC
S
rV
V
dC dt
QC0
C kCV
➢ 零维模型广泛应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型
1 湍流扩散 分散运动
是湍流流场中质点的各种状态（流速、压力、浓度等）的瞬时值相
对于其时间平均值的随机脉动而导致的分散现象
可以看成是对流速/浓度取时间平均值后所形成的误差的一种补偿
使用Fick第一定律进行描述
时间平均浓度
I
2 x
Ex
C x
,
I
2 y
Ey
C y
,
I
2 z
Ez
C z
➢ 等式右边的负号表示湍流扩散的方向是污染物浓度梯度的负方向 ➢ 湍流扩散系数Ex Ey Ez在各个方向上不相同，表示湍流扩散是各向异性的
1 分散运动 Diffusion
在实际计算中，都采用时间平均值的空间平均值，为了修正这一简
化带来的误差，引入了湍流扩散项和弥散扩散项，分子扩散项在任
何时候都存在
u
u
取时间平均 t
取空间平均 x
1 分散运动 Diffusion
Estuaries
LONGITUDINAL DISPERSION Streams
根据微元内污染物质量守恒，忽略高级无穷小量，可得：
C t
(uxC ) x
x
( Dx
C x
)
kC
均匀流场中，ux和Dx可以作为常数，则有：
C t
ux
C x
Dx
2C x2
kC
Pay Attention!
推流 迁移
分散 作用
衰减 转化
通常用于比较长而狭 窄的河流水质模拟
2 一维模型推导与求解
稳态解析解
环境数据处理与数学模型
环境质量基本模型
董欣 环境系统分析教研所 2015年5月6日
目录页
1
污染物的 运动特征
2 模型的推导 与求解
3
模型的应用
零维模型 一维模型 二维模型 三维模型
内容
1
污染物的 运动特征
1 环境介质
环境介质：在环境中能够传递物质和能量的物质 水、空气、土壤是最基本的环境介质 水和空气都是流体，污染物在其中的运动具有相