8综合性——着眼题型 凸显能力

解析：方案一：选条件①.
由
C＝6π和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由 sin A＝ 3sin B 及正弦定理得 a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得 b＝c.
由①ac＝ 3，解得 a＝ 3，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 c＝1.
方案二：选条件②.
＝
－
n
p
ilog2pi
＝
－
(p1log2p1
＋
p2log2p2)
＝
－
i＝1
43log234＋14log214，由此可得，当 p1＝14与 p1＝34时，信息熵相等，∴B 不正确．
对于选项
C，若
pi
＝
1 n
，
则
n
H(X) ＝ － p ilog2pi ＝ －
i＝1
n1log21n＋…＋1nlog21n＝n×logn2n＝log2n，∴H(X)随着 n 的增大而增 大，C 正确．对于选项 D，若 n＝2m，随机变量 Y 的可能取值为 1,2，…，
以新冠肺炎疫情为背景，考查指数型函数模型的应用.
1.[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的 流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世
代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单
H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm ＋ pm ＋ 1)] ＋ p1log2p1 ＋ p2mlog2p2m ＋ … ＋ pmlog2pm ＋ pm ＋ 1log2pm ＋ 1 ＝
p1·log2
p1 p1＋p2m
＋
…
＋
p2m·log2
由
C＝6π和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由 sin A＝ 3sin B 及正弦定理得 a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得 b＝c，B＝C＝6π，A＝23π.
由②csin A＝3，所以 c＝b＝2 3，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2 3.
位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT. 有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情 初 始 阶 段 ， 累 计 感 染 病 例 数 增 加 1 倍 需 要 的 时 间 约 为 (ln
2≈0.69)( )
A．1.2 天 B．1.8 天

C．2.5 天 D．3.5 天
解析：对于选项 A，若 n＝1，则 p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝ －p1log2p1＝－log21＝0，A 正确．对于选项 B，当 p1＝14时，H(X)
n
＝－
i＝1
pilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－41log214＋34log234，当
p1
＝
3 4
时
，
H(X)
m，由 P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m； P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋ 1.H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋ (pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋ p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，
三、创新性——立足求变 变中出新
设问方式创新 试题素材创新 题型创新 高考数学试题的创新性是数学试题具有较高生命力和价值的 体现，每年的高考试题的特点都呈现稳中求新，具有开放性、新颖 性、灵活性等特点，“年年考题都相似，考题年年有创新”.2020 年新高考有以下三种创新： (1)设问方式创新，如第 17 题补充已知条件(三选一)并解答， 条件不同，结论不同，但考查知识点相同，是开放性试题． (2)试题素材创新，设计真实问题情境，需要考生抽象出数学模 型，建立数学关系，应用数学知识解决实际问题． (3)题型创新，增加了 4 个多选题．
方案三：选条件③.
由
C＝6π和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由 sin A＝ 3sin B 及正弦定理得 a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得 b＝c.
由③c＝ 3b，与 b＝c 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
p2m p1＋p2m
.
易
知
0<
p1 p1＋p2m
<1
，
…
，
0<p1＋p2mp2m<1，∴log2p1＋p1p2m<0，…，log2p1＋p2mp2m<0，∴H(Y)<H(X)，
故 D 错误．
答案：AC
从补充已知条件(三选一)解答考查正弦定理、余弦定理的应用 3.[2020·新高考Ⅰ卷]在①ac＝ 3，②csin A＝3，③c＝ 3b 这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在， 求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 析 ： ∵R0 ＝ 1 ＋ rT ， ∴3.28 ＝ 1 ＋ 6r ， ∴r ＝ 0.38. 若
则 e 0.38(t2－t1) ＝2,0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选 B. 答案：B
以新定义：信息熵为背景考查概率与统计知识，同时以多选题
命题，难度较大. 2.[2020·新高考Ⅰ卷](多选题)信息熵是信息论中的一个重要概
念．设随机变量 X 所有可能的取值为 1,2，…，n，且 P(X＝i)＝pi>0(i
n
n
＝1,2，…，n)，pi＝1，定义 X 的信息熵 H(X)＝－pilog2pi.( )
i＝1
i＝1
A．若 n＝1，则 H(X)＝0 B．若 n＝2，则 H(X)随着 p1 的增大而增大 C．若 pi＝1n(i＝1,2，…，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D．若 n＝2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2，…，m，且 P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则 H(X)≤H(Y)