河北省冀州高二下学期期末考试数学(理)试题B卷Word版含答案

试卷类型：B 卷 河北冀州中学
2016-2017学年度下学期期末 高二年级理科数学试题
（ 考试时间：120分钟 分值：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共52分）
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是( )
A. x ∀， y R ∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-
B. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>”
C. a R ∈，“1
1a <”是“1a >”的必要不充分条件
D. “若2
2am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
2．设()()12i x yi ++=，其中i 为虚数单位，x ,y 是实数，则2x yi +=( )
A. 1 B C. D.
3．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=( )
A.
12p - B. 1
2
p + C. 1p - D. 12p - 4．已知m ， n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是( )
A. 若//m α， //m β， n αβ⋂=，则//m n
B. 若αβ⊥， m α⊥， n β⊥，则m n ⊥
C. 若//αβ， //m α，则//m β
D. 若αβ⊥， αγ⊥， m βγ⋂=，则m α⊥
5．设等差数列
满足，且，为其前项
和，则数列的最大项为
A. 23S
B. 24S
C. 25S
D. 26S
6．下图是一个算法流程图，则输出的x 值为 A. 95 B. 23 C. 11 D. 47
7．二项式2n
x
⎛
⎝的展开式中所有二项式系数和为64，
则展开式中的常数项为60，则a 的值为 ( ) A. 1± B. 2 C. 1 D. -1
8．设函数()()lnx =-f x x ax (a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是( )A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ln211,42+⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
9．若双曲线M ： 22
221x y a b
-=(0a >， 0b >)的左、右焦点分别
是1F ， 2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线M 相交于点P ，且
116PF =， 212PF =，则双曲线M 的离心率为( )A. 54 B. 5 C. 4
3
D.
5
3
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为( )A. 2 B. 3
C. D. 4
11．已知函数()22cos 22f x x =-．给出下列命题：①(),R f x ββ∃∈+为奇函数；
②30,4πα⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
， ()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立；③12,x x R ∀∈，若
()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4
π
；④12,x x R ∀∈，若()()120f x f x ==，
则()12x x k k Z π-=∈．其中的真命题有( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④ 12
．已知双曲线
的左右焦点分别为
，过点
且垂直于轴的
直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若
的周长
为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
13．已知函数
，
．方程有六个不同的实
数解，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题，共98分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案直接答在答题纸上。

14．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________．(用数字作答)
15．点(),M x y
是不等式组0{3x y x ≤≤≤≤表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式
20x y m -+≤恒成立，则m 的取值范围是__________． 16
．已知在中，，，如图，动点是在以点为圆心
，为半径的扇形内运动(含边界)
且；
设
，则的取值范围__________．
17．设()A n 表示正整数n 的个位数， ()()2,n a A n A n A =-
为数
列{}n a 的前202项和，函数()1x f x e e =-+，若函数()g x 满足
()11x Ax f g x A -⎡
⎤-=⎢⎥⎣
⎦，且()()*N n b g n n =∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．
三、解答题：本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。

18．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
(I)求()f x 的最小正周期及2,123x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()f x 的值域；
(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，且角C 为锐角，
ABC S ∆=，
c=2，
142f C π⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
，求a,b 的值．
19．已知数列{}n a 中， 11a =， ()*13n n n a
a n N a +=∈+．(1)求证： 112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是
等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足()312
n n n n n
b a =-⋅⋅，求数
列{}n b 的前n 项和为n T ．
20．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成， AD AF ⊥， 2AE AD ==． (Ⅰ)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；
(Ⅱ)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦
值是3．
21．高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B ，从学生群体B 中随机抽取了50
不相等的概率；(Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学
期望；
(Ⅲ)将频率视为概率，现从学生群体B 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2Y ≥”的概率． 22．如图，椭圆E 的左右顶点分别为A 、B ,左右焦点分别为1F 、
2F
,124,AB F F ==直线(0)y kx m k =+>交椭圆于C 、D 两点，与线段12F F 及椭圆短轴分别交于M N 、两点(M N 、不重合),且CM DN =. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率；
(Ⅱ)若0m >，设直线AD BC 、的斜率分别为12k k 、，求1
2
k k 的取值范围.
23.已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在区间()1,0-有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.
24．已知直线l
的参数方程为12
{x t
y ==(t 为参数)，曲线C
的参数方程为
12{2x cos y sin θθ
=+=(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P
的极坐标为23π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭．
(Ⅰ)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；
(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．
河北冀州中学2016-2017学年度下学期期末
高二年级理科数学试题答案
A 卷：BDCD
B BDDDB CCD B 卷：CBAC
C DACBC BAC 14．5040 15
．1m ≤- 16
． 17．23
32
n
n n +-
+ 18. (1)
(
)1
π2
f x x T =
-∴= π4π2,63x ⎡
⎤
∈∴⎢⎥⎣⎦ ()51,4
2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
(2)π1πsin 2226C C ⎛
⎫+=∴
= ⎪⎝
⎭
3S ab =∴=
2
2
2
2
2
16c a b
ab a b =+-∴+=
解得2{a b ==或{2
a b == 19． (1)证明：由()1*3n n n a a n N a +=∈+，得131
31n n n n
a a a a ++==+，
111
11322n n a a +⎛⎫∴
+=+ ⎪⎝⎭所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 为首项的等比数列，从而11132
32231
n n n n a a -+=⨯⇒=-；
(2)()10122111111
1231222222
n n n n n n b T n n ---==⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯
()1211111
12122222
n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减 得： 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-1242n n n T -+∴=-
20. (Ⅰ)证明：正三棱柱ADE BCF -中， AB ⊥平面ADE ， 所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥， AB AF A ⋂=， 所以AD ⊥平面ABFE ， AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABFE ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点， AB ， AE ， AD 方向为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高为h ，
2AE AD ==，则()0,0,0A ， ()2,2,0F ， ()2,0,2C ， ()1,,1P h -， ()2,2,0AF =，
()2,0,2AC =， ()1,,1AP h =-．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则
1111220,
{
220,
m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+= 取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =--．
设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =，则22222220,
{0,
n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+=取21x =，
则21y =-，
21z h =--，所以()1,1,1n h =---．二面角C AF P --
的余弦值是
3
， 所以cos ,332m n m n m n ⋅=
==⋅1h =．
21． (Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件
A 则()222
525202
5020
49C C C P A C ++==所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为()29
149
P A -=
(Ⅱ)由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2
()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111
52520252
5025
149
C C C C P X C +=== ()11
5202504
249
C C P X C ===
从而X 的分布列为
()202543301249494949
E X =⨯
+⨯+⨯= (Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名相应的
概率为251502P =
=，所以Y ~ 14,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以事件“2Y ≥”的概率为 ()2
23
4
2344441111111
2112222216
P Y C C C ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 22． (Ⅰ)由124,AB F F ==2,a c =即椭圆方程为2
214
x y += ,
离心率为e =
(Ⅱ)设()()1122,,,D x y C x y 易知()()()2,0,2,0,0,,,0m A B N m M k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
由22
{44y kx m x y =++=消去y 整理得： ()222
148440k x kmx m +++-= 由2
2
2
2
041041k m m k >⇒-+><+即 ， 2121222
844
,1414km m x x x x k k
--+==++ 且CM DN =即CM ND =可知12m x x k +=-，即2814km m k k -=-+，解得1
2
k =
()()()()()()()()()()2
21222221212121212
22222121212211422224214422421224
x x y x x x x x x x k m
x k x x x x x x m y x x --
----++⎛⎫+⎛⎫===== ⎪ ⎪-+++++-⎝⎭+⎝⎭+
由题知，点M 、F 1的横坐标1M F x x ≥,
有2m -≥m ⎛∈ ⎝⎦
满足2
2m < 即1212111k m k m m +=-=-+--，则(
12
1,7k k ∈+ 23.解：（Ⅰ）()21221'211
ax ax f x ax x x ++=+=
++，1x >-，令()2221g x ax ax =++，()2
4842a a a a ∆=-=-，
若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2
a =，则()0g x ≥，仅当1
2
x =-时，等号成立，当
()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，
()f x 单调递增.
若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =
，2x ，由
()()1010g g -==>，102g ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
得121102x x -<<-<<，
当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增；
当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，
当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；
当2a >时，()f x 在
⎛ - ⎝⎭和
⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在
⎝⎭
上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求. 此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .
所以2
02210ax ax ++=， 从而有()
001
21a x x =-
+，
又因为()()2
000ln 10f x x ax =++=，
所以()()
00ln 1021x x x +-
=+，
令01x t +=，则1
ln 02t t t
--
=， 设()11ln 22h t t t =+-，则()221
'2t h t t
-=，
再由（1）知：1
02
t <<，()'0h t <，()h t 单调递减，
又因为()
22
502
e h e --=>，()1302e h e --=<，所以21e t e --<<，即2101e x e --<+<.
24．
(Ⅰ)由1
2
{x t
y ==
消去t 得到
y =，则sin cos ρθθ=，∴3πθ=，
所以直线l 的极坐标方程为3
πθ=(R ρ∈)
曲线()(22
:14C x y -+-=
，则
()
(2
2
14cos sin ρθρθ-+-=则曲线C 的极坐
标方程为
2290cos sin ρρθθ--+=
(Ⅱ)由2290
{3
cos sin ρρθθπ
θ--+==
，得到2
790ρρ-+=，设其两根为1ρ， 2ρ，
则127ρρ+=， 129ρρ=,
∴
21AB ρρ=-=
=
∵点P 的极坐标为23π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，∴OP = 3POB π∠=， ∴
1
222
PAB POB POA S S S AB ∆∆∆=-=⨯=。