2019-2020学年北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元综合测试

第四章 图形的相似
一、选择题(本大题共7小题，共28分)
1．已知x y ＝3
2，那么下列等式中，不一定正确的是( )
A .
x ＋2y ＋2＝3
2
B ．2x ＝3y
C .
x ＋y y ＝52 D .x x ＋y ＝3
5
2．如图4－Z －1，l 1∥l 2∥l 3，已知AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ，则线段B 1C 1的长为( )
A ．6 cm
B ．4 cm
C ．3 cm
D ．2 cm
图4－Z －1
图4－Z －2
3．如图4－Z －2所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线．若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF 的长为( )
A .323
B .163
C .103
D .83
图4－Z －3
4．如图4－Z －3，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝1
2；
②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODB S △BDC ＝13
.其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°
B ．A
C ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8
D ．AB ＝10，AC ＝8，D
E ＝15，E
F ＝9
6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )
A ．12.36 cm
B ．13.64 cm
C ．32.36 cm
D ．7.64 cm
7．如图4－Z －4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为( )
图4－Z －4
A . 2
B ．2
C ．2 2
D ．3
二、填空题(本大题共6小题，共24分)
8．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ．在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是________ m .
9．若a 5＝b 7＝c
8
，且3a －2b ＋c ＝3，则2a ＋4b －3c ＝________．
10．已知甲、乙两个相似三角形对应中线之比为1∶2，甲三角形的面积为5 cm2，则乙三角形的面积为__________．
11．如图4－Z－5，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2.当AB＝________时，△ABC∽△ACD.
4－Z－5
4－Z－6
12．如图4－Z－6，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得高1 m的标杆的影长为2 m，则电线杆的高度为________m(结果保留根号)．
图4－Z－7
13．如图4－Z－7，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC相交于点G，则△EBG的周长是________ cm.
三、解答题(共48分)
14．(10分)如图4－Z－8，矩形ABCD是台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E的位置，AE＝60 cm，如果小宝瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．
图4－Z－8
15．(12分)如图4－Z－9，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′.
(1)在图中的第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)求△A′B′C′的面积．
图4－Z－9
16．(12分)如图4－Z－10，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD ＝8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
图4－Z－10
17．(14分)如图4－Z－11，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△CND的面积为2，求四边形ABNM的面积．
图4－Z－11
详解
1．A
2．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴
A 1
B 1B 1
C 1＝AB BC
. ∵AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ， ∴
4
B 1
C 1＝6
3，∴B 1C 1＝2(cm)．故选D. 3．B 4.C
5．C [解析] A 项，∵∠A ＝55°，∴∠B ＝90°－55°＝35°.∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D .又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△EDF ；B 项，∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴
AC DF ＝BC
EF
＝3
2
.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ；C 项，有一组角相等、两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D 项，易得AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE ＝15，DF ＝12，EF ＝9，
∴AC DF ＝BC EF ＝2
3
.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF .故选C. 6．A
7．B [解析] 连接PP ′交BC 于点O ，∵四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴PO ∥AC ，∴AP AB ＝
CO
CB
.∵点Q 运动的时间为t s ，∴AP ＝2t ，QB ＝t ，∴QC ＝6－t ，∴CO ＝3－t 2.∵AC ＝CB ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝6 2，∴2t
6 2＝3－t
26，
解得t ＝2.
8．20 [解析] 设其他两边的实际长度都是x m ，由题意，得x 4＝25
5
，解得x ＝20.即其
他两边的实际长度都是20 m.
9.
143 [解析] 设a 5＝b 7＝c
8
＝x ，则a ＝5x ，b ＝7x ，c ＝8x .因为3a －2b ＋c ＝3，所以15x －14x ＋8x ＝3，解得x ＝13，所以2a ＋4b －3c ＝10x ＋28x －24x ＝14x ＝14
3
.
10．20 cm 2
11.3
12．(7＋3)
[解析] 如图，过点D 作DE ⊥BC 交其延长线于点E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于点
F ，∵CD ＝4 m ，CD 与地面成30°角，
∴DE ＝12CD ＝12
×4＝2(m)，CE ＝CD 2－DE 2
＝2 3 m ．∵高1 m 的标杆的影长为2 m ，∴
DE EF ＝12，AB BF ＝1
2
，∴EF ＝2DE ＝2×2＝4(m)，∴BF ＝BC ＋CE ＋EF ＝10＋2 3＋4＝(14＋2 3)m ，∴AB ＝1
2
×(14＋2 3)＝(7＋3)m.
13．[全品导学号：52652189]12 [解析] 根据折叠的性质可得∠FEG ＝90°，设AF ＝x cm ，则EF ＝(6－x )cm.在Rt △AEF 中，AF 2＋AE 2＝EF 2，即x 2＋32＝(6－x )2
，解得x ＝94，所以
AF ＝94 cm ，EF ＝154 cm ，根据△AFE ∽△BEG ，可得AF BE ＝AE BG ＝EF
EG ，即943＝3BG ＝154EG
，所以BG ＝4 cm ，
EG ＝5 cm ，所以△EBG 的周长为3＋4＋5＝12(cm)．
14．解：(1)证明：由题意，得∠EFG ＝∠DFG .
∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF . (2)∵△BEF ∽△CDF ，
∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－CF CF
， ∴CF ＝169(cm)．
15．解：(1)△A ′B ′C ′如图所示．
(2)图中每个小正方形的边长为1个单位长度，由勾股定理可得AC ＝2，AB ＝CB ＝5，
AC 边上的高＝
（5）2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝3
2
2，
所以△ABC 的面积S ＝12×2×32 2＝3
2.
设△A ′B ′C ′的面积为S ′，
因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以S S ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
，
得S ′＝4S ＝4×3
2＝6，即△A ′B ′C ′的面积为6.
16．解：如图，∵四边形EFHG 是正方形， ∴EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ，而AD ⊥BC ，
∴EF BC ＝AK AD
.
设正方形EFHG 的边长为x cm ，则AK ＝(8－x )cm ，
∴x 12＝8－x 8
，解得x ＝4.8. 答：这个正方形零件的边长为4.8 cm.
17．解：(1)∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ， ∴△MND ∽△CNB ，
∴MD CB ＝DN BN
.
∵M 为AD 的中点，
∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12
，
∴DN BN ＝1
2
，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝OD －ON ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3， ∴BD ＝2x ＝6.
(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2， ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，
∴S △MND ＝1
2S △CND ＝1，S △CNB ＝2S △CND ＝4，
∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △CNB ＋S △CND ＝4＋2＝6， ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.。