2020新课标高考理科数学二轮复习教师用书：第2部分 专题6 第1讲 函数的图象与性质、函数与方程

第1讲 函数的图象与性质、函数与方
程
■做小题·激活思维·
1．函数f (x )＝1
lg x ＋2－x 的定义域为( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)∪(1,2]
D ．(－∞，2]
C
[由⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ≠0，x ＞0，2－x ≥0，
得0＜x ≤2且x ≠1，故选C.]
2．函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，0 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，32 C [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2＜0，f (1)＝e －1＞0，所以零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1上，故选
C.]
3．[一题多解](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝1
a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋12(a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )
A B
C D
D [法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12是减函数且其
图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1a x 是减函数，
而y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0结合选项可知，没有符合的图
象．故选D.
法二：分别取a ＝1
2和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.]
4．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2x
D ．y ＝log 2|x |
B [因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A ，
C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.]
5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (2 020)＝________. 0 [f (2 020)＝f (505×4)＝f (0)．
又f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，故f (2 020)＝0.]
6．设2a
＝5b
＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m 等于________．
10 [由已知，得a ＝log 2 m ，b ＝log 5 m ，
则1a ＋1b ＝1log 2 m ＋1log 5 m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.] ■扣要点·查缺补漏· 1．函数的定义域，如T 1. (1)分母不为0， (2)对数的真数大于0， (3)被开方数有意义．
2．零点所在的区间的判定方式
f (x )在[a ，b ]上是连续函数且f (a )f (b )＜0.必要时借助导数研究其性质，如T 2. 3.指数、对数函数 (1)图象，如T 3.
(2)指对互化与对数运算，如T 6. ①a x ＝N ⇔x ＝log a N ，
②log a b ·log b a ＝1(a ，b ＞0且均不为1)， ③log am b n ＝n
m log a b ，
④log a M ＋log a N ＝log a (MN )(M ＞0，N ＞0)， ⑤log a M －log a N ＝log a M
N (M ＞0，N ＞0)．
4．奇偶性、单调性，如T 4.
(1)定义法：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )；f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )； (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
(3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0.
故f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件． 5．函数的周期性，如T 5.
(1)若f (x ＋a )＝f (x )，则周期T ＝a ；
(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则周期T ＝2a ，其中a ≠0.
考点1 函数的概念及表示
■高考串讲·找规律·
[高考解读·教师授课资源] 分段函数属高考的重点内容，涉及直接求值、解不等式及已知函数值求参数问题，考查学生分类讨论思想、逻辑推理和数学运算核心素养.
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x －1
－2，x ≤1，
－log 2(x ＋1)，x ＞1，
且f (a )＝－3，则
f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－14 A [由于f (a )＝－3，
①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，
所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－7
4. 综上所述，f (6－a )＝－7
4
.故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12>1的x
的取值范围是________．
切入点：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12＞1.
关键点：正确分类，准确求出f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12的表达式．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14，＋∞ [由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．
当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－1
4， ∴－1
4＜x ≤0.
当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋1
2>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －1
2>1，显然成立． 综上可知，x >－1
4.]
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
cos πx 2，0<x ≤2，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x ＋12，－2<x ≤0， 则f (f (15))的值为________．
2
2 [由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，
可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)
＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝cos π4＝22.]
对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.
提醒：对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
■考题变迁·提素养·
1．(分段函数求值)已知f (x )＝⎩⎨⎧
log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－
1)＝3，则f (f (－3))＝( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3 B [由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②
联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝1
2，b ＝1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 3
x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
＋1，x ≤0，
则f (－3)＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12－3
＋1＝9，
f (f (－3))＝f (9)＝lo
g 39＝2，故选B.]
2．(分段函数解不等式)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋x ，x ≥0，
－3x ，x ＜0，
若a [f (a )－f (－a )]＞
0，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D [易知a ≠0，由题意得，当a ＞0时，不等式可化为a (a 2＋a －3a )＞0，即a 2＋a －3a ＞0，即a 2－2a ＞0，解得a ＞2或a ＜0(舍去)；当a ＜0时，不等式可化为a (－3a －a 2＋a )＞0，即－3a －a 2＋a ＜0，即a 2＋2a ＞0，解得a ＜－2或a ＞0(舍去)．
综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
3．(求参数范围)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，
2x －1，x ≥1的值域为R ，则实
数a 的取值范围是________．
⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫0，12 [当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1， ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x ＜1时，y ＝(1－
2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥1，
解得0≤a ＜1
2.] 4．(新定义问题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2(1－x )，0≤x ≤1，
x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *
，定义f n (x )＝
，那么f 2 020(2)＝________.
1 [∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)
的值具有周期性，且周期为3，
∴f 2 020(2)＝f 3×673＋1(2)＝f 1(2)＝1.]
考点2 函数的图象及应用
■高考串讲·找规律·
[高考解读·教师授课资源] 高考对函数图象的考查，通常涉及函数的奇偶性、单调性等，考查考生灵活应用知识、分析函数图象与性质的能力，体现了对知识的考查侧重于对理解和应用的考查.
角度一：函数图象的识别
1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2
在[－π，π]的图象大致为( )
切入点：f (x )＝
sin x ＋x cos x ＋x
2
.
关键点：准确把握函数的奇偶性及值域． D [因为f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )
2
＝－
sin x ＋x cos x ＋x
2
＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，
排除选项A.
令x ＝π，则f (π)＝
sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2＞0，排除选项B ，C.故选D.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x
x 2的图象大致为( )
切入点：f (x )＝e x －e －x
x 2.
关键点：准确把握函数f (x )的奇偶性、单调性．
B [因为f (－x )＝e －x －e x
(－x )2
＝－e x －e －x
x 2＝－f (x )(x ≠0)，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以函数f (x )的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A ；因为f (1)＝e －1
e >2，所以排除选项C ，D ，故选B.]
角度二：函数图象的应用
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x
，x ≤0，
1，x >0，
则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的
取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
切入点：f (x ＋1)＜f (2x )．
关键点：利用数形结合思想准确画出图象，利用图象的直观性求解，避免分类讨论．
D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致
图象如图所示，
结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1<0，2x <0，
2x <x ＋1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，
2x <0，所以x <0，故选D.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
x i ＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
切入点：①f (x )＝f (2－x )；②y ＝|x 2－2x －3|与函数y ＝f (x )图象的交点． 关键点：①由题意得出f (x )与y ＝|x 2－2x －3|的图象关于直线x ＝1对称； ②关于直线x ＝1对称的两点的横坐标之和为2.
B [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．
当m 为偶数时，∑i ＝1
m x i ＝2×m
2
＝m ；
当m 为奇数时，∑i ＝1
m x i ＝2×m －1
2＋1＝m .故选B.]
：易得函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，y′＝－，即2x(2x＋1)(2x－1)<0，解得
x<0或x>
2
2，所以函数y＝－x
4＋x
2
2，0，
2
2，＋∞上单调递减，故选
1．寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
■考题变迁·提素养·
1．(图象辨析)定义一种运算：g ⊗h ＝
⎩⎨⎧
g (g ≥h )，h (g ＜h )，
已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )
B [由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，∴f (x )＝2x ，当x ＜0时，2x ＜1，∴f (x )
＝1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≥0，1，x ＜0，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.]
2．(知图选式)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b (x ≤0)log c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋19(x ＞0)的图象如图所示，则a ＋b ＋c
＝( )
A.43
B.73 C ．4 D.133
D [将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋19，得2＝log c 19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133，故选D.]
3．(依图选图)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝
x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝
1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段
MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )
D [由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个
角均是半径为12的扇形．
因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，
所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x ＝2时，y ＝4－π4
∈(3,4)，故选D.]
4．(函数图象的应用)给定min{a ，b }＝⎩
⎨⎧
a ，a ≤
b b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．
(4,5) [设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )
＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )
的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图
所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，
数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．]
考点3 函数的性质及应用
■高考串讲·找规律·
[高考解读·教师授课资源] 高考对函数性质的考查主要涉及已知函数的单调性或奇偶性求参数的取值范围，以及利用函数的单调性解不等式或比较大小等.而函数的性质与导数相交汇问题，会在小题的压轴题中出现，难度较大.
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )
A ．f (x )在(0,2)单调递增
B ．f (x )在(0,2)单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称
C [f (x )的定义域为(0,2)．
f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．
设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，
∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A ，B 错误．
∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．
∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，
∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．
故选C.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
C [因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为f (x )是奇函数，所以函数f (x )的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以当x ＝1时，f (2)＝f (0)＝0；当x ＝2时，f (3)＝f (－
1)＝－f (1)＝－2；当x ＝3时，f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0.综上，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32)＞f ⎝
⎛⎭⎪⎫2－23) B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23)＞f ⎝
⎛⎭⎪⎫2－32) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32)＞f ⎝
⎛⎭⎪⎫2－23)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23)＞f ⎝
⎛⎭⎪⎫2－32)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 关键点：将log 314，2－32，2－23转化到同一个单调区间上．
C [因为f (x )是定义域为R 的偶函数，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)． 又因为log 34＞1＞2－23＞2－32＞0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所
以f (log 34)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23)＜f ⎝
⎛⎭⎪⎫2－32). 故选C.]
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z D[令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝lg t
lg 2，同理，y＝lg t
lg 3，z＝
lg t
lg 5.
∴2x－3y＝2lg t
lg 2
－3lg t
lg 3
＝
lg t(2lg 3－3lg 2)
lg 2×lg 3
＝lg t(lg 9－lg 8)
lg 2×lg 3
＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝2lg t
lg 2－5lg t
lg 5
＝
lg t(2lg 5－5lg 2)
lg 2×lg 5
＝lg t(lg 25－lg 32)
lg 2×lg 5
＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D.]
函数的性质及应用
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知
区间上的问题，转化到已知区间上求解．
(4)对称性：
①f (x )图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )． ②f (a ＋x )＋f (b －x )＝2c ⇒f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 2，
c 对称．
■考题变迁·提素养·
1．(函数性质的判断)[新题型：多选题]下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递减的是( )
A ．y ＝cos x
B ．y ＝－x 3
C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12|x |
D ．y ＝|sin x |
AC [对于A ，y ＝cos x 为余弦函数，是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，符合题意；对于B ，y ＝－x 3
，为奇函数，不符合题意；对于C ，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12|x |
是偶函
数，在(0，＋∞)上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
为减函数，符合题意；对于D ，y ＝|sin x |是偶函数，
在(0,1)上y ＝sin x 为增函数，不符合题意. 故选AC.]
2．(函数值的大小比较)若log 2a ＝0.3,0.3b ＝2，c ＝0.32，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞a ＞c
B [a ＝20.3＞20＝1，b ＝log 0.3 2＜log 0.3 1＝0,0＜0.32＜1，∴a ＞c ＞b .故选B.] 3．(函数的性质与不等式)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上递减，且f (1)＝0，则不等式f (log 2x )＜0的解集为( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1∪(2，＋∞)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D [函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上递减，且f (1)＝0，则不等式f (log 2 x )＜0⇒f (log 2x )＜f (1)⇒f (|log 2x |)＜f (1)⇒|log 2x |＞1，即log 2 x ＜－1或log 2x ＞1，解得0＜x ＜12或x ＞2，即不等式的解集为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)，故选D.]
4．(应用性质求参数的值)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2) 为偶函数，则a ＝________.
1 [法一：(定义法)由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋
a ＋x 2)，则ln(x ＋
a ＋x 2)＋ln(
a ＋x 2－x )＝0，
∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.
法二：(特值法)由已知得f (1)＝f (－1)，即ln(1＋
a ＋1)＝－ln(－1＋a ＋1)，得ln(1＋
a ＋1)＋ln(－
1＋
a ＋1)＝0， 即(1＋
a ＋1)(－1＋
a ＋1)＝1，解得a ＝1.
检验：将a ＝1代入f (x )的解析式，得f (x )＝x ln(x ＋x 2＋1)，则f (－x )＝－x ln(－
x ＋x 2＋1)＝x ln
1－x ＋
x 2＋1
＝x ln(
x 2＋1＋x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴a ＝
1.]
考点4 函数的零点及应用
■高考串讲·找规律·
[高考解读·教师授课资源] 以基本初等函数为载体，考查函数零点的求法，考查学生等价转化的能力和数形结合的意识，考查学生直观想象的素养.)
1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
B [令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，
∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0,2π]，
∴由sin x ＝0得x ＝0，π得2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个． 故选B.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
e x
，x ≤0，
ln x ，x ＞0，
g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )
存在2个零点，则a 的取值范围是( )
A ．[－1,0)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )
A ．－12 B.13 C.12
D ．1
切入点：思路一：借助函数图象的特征求解； 思路二：转化为两函数图象的交点问题．
C [法一：(换元法)f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]
－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(e t＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋e t)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝1 2.
故选C.
法二：(等价转化法)f(x)＝0⇔a(e x－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
e x－1＋e－x＋1≥2e x－1·e－x＋1＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，
则a(e x－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1
2.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C.]
所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.]
已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决． (3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
■考题变迁·提素养·
1．(判断函数零点所在区间)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x
与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为
( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1 B [设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
－x 12，易知f (x )单调递减，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131
3
－⎝ ⎛⎭⎪⎫1312
＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫121
2
＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0， 根据函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，
即所求交点横坐标所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，12，故选B.]
2．(判断零点个数)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－2x ，x ≤0，1＋1
x ，x ＞0，则函数y ＝f (x )＋3x 的
零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
C [函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.故选
C.
]
3．(研究函数零点的性质)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12|x －1|
(－1＜x ＜3)，则函数f (x )与g (x )
的图象所有交点的横坐标之和为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 B [因为f (x ＋1)＝－(x )，所以f (x ＋1＋1)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．函数g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x －1|
的图象关于直线x ＝1对称，在同
一坐标系内作出f (x )与g (x )在(－1,3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x ＝1对称，其和为2×2＝4，选B.]
4．(已知函数零点个数求参数)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1，x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0，
若函数g (x )
＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
(0,1) [作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0
的图象如图所示．
由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．]。