第一章 线性方程组与矩阵 abstract

1 2 3 A1 A2 例 A 4 5 6 A A 4 7 8 9 3 1 4 7 T T A1 A3 T A AT AT 2 5 8 4 2 3 6 9
( 5 ) (分 块 对 角 矩 阵 ) 设A为n阶 矩 阵 , 若A的 分 块 矩 阵 只 有 在 主 对 角 线 上 有零 非子 块 ,其 余子 块都 为零 矩阵 , 且非零子块都是方阵 .即
§1.4 矩阵的分块
一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算
一、分块矩阵的概念
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小
矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. (Block matrix)
矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A( BC ) ; ( 2) A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA ; ( 3) ( AB ) (A) B A(B ) ( 其中 为数 ) ;
(4) Amn En Em Amn Amn ; 简写为 AE EA A.
C1r C sr
笑脸原则
其中Ai 1 , Ai 2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Bij 的行数, C ij Aik Bkj i 1, , s; j 1, , r .
k 1 t
T T A A11 A1r A11 s1 T (4) (转 置) 设A , 则A . A1Tr AT As1 A sr sr
矩阵实施一次初等行变换相当于用相应的阶初等矩阵左乘实施一次初等列变换相当于用相应的阶初等矩阵右乘阶方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵使得p28p28定理14都是矩阵则的充分必要条件是存在阶可逆矩阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵使得推论1对于任意的矩阵存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵使得推论2均为可逆矩阵且它们互为逆矩阵推论3方阵可逆的充分必要条件是三利用初等变换求逆矩阵初等行变换法类型初等变换求解矩阵方程1ax线性方程组消元法矩阵的概念几个特殊矩阵线性运算及性质矩阵乘法运算及性质矩阵的运算矩阵的转置及性质矩阵的逆及性质矩阵的分块法及其运算性质初等行变换初等列变换及其性质矩阵的初等变换初等矩阵及其性质矩阵的标准形用初等行变换求线性方程组的解初等变换的应用用初等行变换求逆矩阵求解矩阵方程本章知识点框架图本章基本要求1理解线性方程组的消元法及其矩阵表示会用矩阵的初等行变换求线性方程组的解

a1n a2 n ( a ), ij amn
(3) A ( A) O .
矩阵减法 A B A ( B ) .
3、数与矩阵的乘积
定义1.4 数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A , 规定为
a11 a 21 A A a m1
注意：只有同型矩阵才能进行加法
矩阵加法的运算规律
(1) A B B A ; ( 2) ( A B ) C A ( B C ) .
矩阵 A 的负矩阵 A
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 1
行阶梯形方程组 (1.5)对应的矩阵为
2 1 2 1 6 0 2 2 0 0 5 10
特点： （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行，阶梯竖线后面的第一 个元素不为0; 这样的矩阵称为行阶梯形矩阵.
行阶梯形方程组 (1.8)对应的矩阵为
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am 2 a1 n a2 n a mn
矩阵
方程组(1.2)的系数矩阵
3 8 1 1 2 1 1 6 2
称为方程组 (1.2)的增广矩阵 .
3 8 1 12 1 2 1 2 1 6 2 4
对称阵的基本性质 设A, B为n阶方阵, k是任意常数, 则
(1) A B, kA, A 都是对称阵；
T
(2) AB是对称阵的充要条件是A与B可交换.
§1.3 可逆矩阵
一、可逆矩阵的定义 二、可逆矩阵的性质
一、可逆矩阵的定义
定义1.7 设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使得
AB BA E 则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.
T T T
(3) ( A)T AT ,
(4) ( AB )T B T AT .
设A为n阶方阵, 若A A, 则称A为对称阵.
T
特点 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
设A为n阶方阵, 若A A, 则称A为反对称阵.
T
特点 主对角线元素全为0， 以主对角线为对称轴对应元素互为相反数.
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
Ams Bsn Cmn
k 1
笑脸原则
( 3)两 个 非 零 矩 阵 的 乘 积 能 可 是O,即 由AB O不 能 得 出 A O或B O的 结 果 ； 若 A O, 且A( X Y ) O, 也 不能得出 X Y的 结 论 .
a12 a22

am 2
a1n a2 n . a mn
A ( aij ) .
4、 矩阵乘法
B (bij ) 是一个 定义1.5 设 A (aij ) 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C (cij ) ，其中
1 0 (4)形如 0 0 的方阵称为n阶对角矩阵. n 0 0
2
0
对角矩阵记作 A diag 1 , 2 ,, n .
方阵 A 称为数量矩阵 (或纯量阵)
(3) (乘法) 设A为m l 矩阵, B为l n矩阵, 分块成
A11 A A s1
As t Bt r

A1t , Ast
B11 B B t1

B1r , Btr
C 11 C s1
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
2、矩阵的加法 定义1.3 设有两个 m n矩阵 A (aij ), B (bij ), 则 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a21 b21 a22 b22 a2 n b2 n A B a b a b a b m2 m2 mn mn m1 m1 A B (aij bij )
可逆矩阵的运算规律：
(1) 若A可逆，则A-1可逆，且( A-1 )-1 =A; (2) 若A可逆，则AT可逆，且( AT )-1 =( A-1 )T ;
(3) 若A可逆，数 0，则 A可逆，且 -1 1 ( A) = A-1 ;
(4) A, B为同阶可逆方阵，则AB可逆，且
( AB )-1 B -1 A-1 . 当A可逆时，定义A0 E , A k ( A1 )k , k为正整数.且 A A =A + , ( A ) =A , , 为整数.
但是， ( A E ) A 2 A E , ( A E )( A E ) A E
2 2 2
含E可按多项式办法展开
5、 矩阵的转置
定义1.6
把矩阵A的行换成同序数的列，所得到的 新矩阵称为A的转置矩阵，记为AT .
矩阵转置的运算规律
(1) ( A ) A,
T T
(2) ( A B ) A B ,
左乘、右乘，单位阵的阶会不同
k 个A连乘 k 设A为方阵, 定义A AA A 为方阵的
正整数幂. 方阵的幂满足：
A A A
k l
k l
, ( Ak )l Akl (k , l为正整数)
对于两个n阶方阵,一般而言 ( AB)k Ak Bk , ( A B)2 A2 2 AB B2 ,( A B)( A B) A2 B2
1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 2
是行阶梯形矩阵 , 而且还满足:
(1)每个非零行的首个元素 为1, ( 2)且这些非零元所在列的 其他元素都为 0.
这样的矩阵称为行最简 形矩阵.
矩阵的初等行变换
(1) 交换两行(交换i，j两行, 记为ri rj ); ( 2) 以非零实数乘以某行(以k 0乘以第i行, 记为ri k ); ( 3) 将某行乘以一个常数加到另一行上 (第j行的k倍加到第i行上, 记为ri krj )
解线性方程组步骤：
等行变换 增广矩阵 初 行阶梯形矩阵 等行变换 初 行最简形矩阵 写出方程组的解
§1.2 矩阵运算
一、几种特殊矩阵
(1) 只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an ,
称为行矩阵(或行向量).a 1 a2 (2) 只有一列的矩阵 B , 称为列矩阵 (或列向量). a n (3)若m=n，则矩阵A称为n 阶.
第一章
线性方程组与矩阵
§1.1 消元法及其矩阵表示 §1.2 矩阵的运算 §1.3 可逆矩阵
§1.4 矩阵的分块 §1.5 矩阵的初等变换
§1.1 消元法及其矩阵表示
线性方程组的初等变换 (同解变换)
(1) 交换两个方程的次序 ; ( 2) 用一个非零的常数乘以某个方程; ( 3) 用一个数乘一个方程后加到另一方程上.
1 1 (5)方阵 E E n 1
称为单位矩阵（或单位阵）
a11 (6)方阵 A
a11 a 21 方阵 A a n1
a12 a1n a 22 a 2 n 称为上三角形矩阵 （或上三角阵） a nn
空白处的元素都是0
a 22 an 2
称为下三角形矩阵 （或下三角阵） a nn
(7) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作
Omn 或 O .
二、矩阵的运算
两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
1、矩阵相等 定义1.2 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵, 并且对应元素相等,即
A11 B11 A B A B s1 s1

A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r (2) (数乘)设A , 为数, 则 A A sr s1
A11 A1r A . A A s1 sr
可逆矩阵也称非奇异矩阵(非退化矩阵). 不可逆矩阵也称奇异矩阵(退化矩阵).
定理1.1 如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.
例1.12 证明
(1) 零矩阵是不可逆的；
(2) 如果矩阵A中有某一行元素全为零，则A不可逆.
(3) 单位矩阵E是可逆的, 且E 1 E;
(4) 若对角矩阵 diag( 1 , , n )( i 0, i 1, , n) 是可逆的，且 1 di块法, 有
A11 A A s1
类似于普通矩阵运算
(1) (加法) 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同,
A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr

其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 则