双勾模型及其应用(八年级数学)

双勾股模型及其应用
如果两个直角三角形，它们有一条直角边重合，另一条直角边共线，我们把这样的两个直角三角形叫做双直角三角形，也称为 “双勾股模型”．这个模型图应用广泛，下面通过两例一起看看．
例1 如图1，某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由α减至β（如图2），已知台阶高为8米，原台阶坡面AB 的长为10米（BC 所在地面为水平面）．改善后的台阶坡面AD 与改善后的台阶多占的一段水平地面BD 的长满足：AD +BD ＝26（米），求改善后的台阶多占多长一段水平地面？
分析：不妨设DB ＝x ，则AD ＝26－x ，在Rt△ADC 和Rt△ABC 中利用勾股定理列出关于x 的方程求解． 解：在Rt△ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝102－82＝36.所以BC ＝6米．
设DB ＝x ，则AD ＝26－x ，DC ＝6+x ．
在Rt△ADC 中，AC 2+DC 2＝AD 2，即82+（6+x ）2＝（26－x ）2．解得x ＝9．
所以改善后的台阶多占了9米长的一段水平地面．
例2 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的B ，C 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在A 处海域．如图3所示，在B 处测得点A 在北偏东37°方向上，在C 处测得点A 在北偏西53°方向上．测得AB ＝12海里，BC ＝20海里，在C 处我海监船沿CA 前往A 处盘查.试确定AC 的长及点A 到BC 的距离．
分析：由已知条件，易判定△ABC 为直角三角形，利用勾股定理不难求出AC ，利用面积法求点A 到BC 的距离． 解：如图3，过点A 作AD △BC 于点D .
根据题意，得△ABC ＝90°－37°＝53°，△ACD ＝90°－57°＝37°.所以△BAC ＝90°.
在Rt△ABC 中，AC 2＝BC 2－AB 2＝202－122＝256.所以AC ＝16海里.
由S △ABC
=21BC ·AD ＝2
1AB ·AC ，得AD ＝AB AC BC ⋅=201612⨯＝9.6． 即点A 到BC 的距离为9.6米．
小试牛刀：
如图4，在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，BC ＝14 cm ，求△ABC 的面积.
α β B
C A
图1 A
C B 图2 D
图4
参考答案：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 设BD ＝x cm ，则CD ＝（14—x ）cm. 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD 2＝AB 2-BD 2＝152—x 2；在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＝AC 2-CD 2＝132-（14-x ）2.所以152-x 2＝132-（14-x ）2，解得x ＝9.所以AD 2＝152-92＝144.所以AD ＝12 cm.
所以S △ABC ＝21BC•AD ＝21×14×12＝84（cm 2）.。