七年级初一数学数学第八章 二元一次方程组的专项培优易错试卷练习题含答案

七年级初一数学数学第八章 二元一次方程组的专项培优易错试卷练习题含答
案
一、选择题
1．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x 只，树有y 棵，由题意可列方程组（ ） A ．3551y x
y x
+=⎧⎨
-=⎩
B ．3551
y x
y x -=⎧⎨
=-⎩
C ．1
5355
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
D ．5
3
15
x y x y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．6
32 1.3x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B ．6
23 1.3x y x y +=⎧⎨
+=⎩
C ．0.6
32 1.3x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D ．6
3213x y x y +=⎧⎨
+=⎩
3．已知 xyz≠0，且4520
430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩
，则 x ：y ：z 等于（ ）
A ．3：2：1
B ．1：2：3
C ．4：5：3
D ．3：4：5
4．已知()11n a a n d +-=（n 为自然数），且25a =，514a =，则15a 的值为（ ）. A ．23 B ．29
C ．44
D ．53
5．若4
5
x y =-⎧⎨=-⎩是方程27x ky +=的解，则k 是（ ）．
A ．3
B ．5
C ．-3
D ．以上都不对
6．已知关于x 、y 的二元一次方程组434ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是2
2x y =⎧⎨=-⎩
，则+a b 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．﹣1
D ．0
7．三元一次方程组236216x y z x y z ==⎧⎨
++=⎩
①
②的解是（ ）
A ．135x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
B ．5
56x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
C ．632x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
D ．642x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
8．若x ，y 均为正整数，且2x ＋1·
4y ＝128，则x ＋y 的值为( ) A ．3
B ．5
C ．4或5
D ．3或4或5
9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )
A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩
B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩
C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩
D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩
10．若x m ﹣n ﹣2y m+n ﹣2=2007，是关于x ，y 的二元一次方程，则m ，n 的值分别是（ ） A ．m=1，n=0
B ．m=0，n=1
C ．m=2，n=1
D ．m=2，n=3
二、填空题
11．方程组2
510
36
238
x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．
12．某公园的门票价格如表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b （a ≥b ）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =_____；b =_____． 13．若关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩的解为3
2x y =⎧⎨=⎩
，则方程组
1112
225260
5260a x b y c a x b y c +-=⎧⎨
+-=⎩的解为__________． 14．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.
15．已知三个方程构成的方程组230xy y x --=，350yz z y --=，520xz x z --=，恰有一组非零解x a =，y b =，z c =，则222a b c ++=________．
16．已知关于x 、y 的方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩
，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2
a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号)
17．定义一种新运算“※”，规定x ※y =2
ax by +，其中a 、b 为常数，且
1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．
18．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3
{ 1.2,
a b ==则方程组
的解
为________ 19．若
是满足二元一次方程
的非负整数，则
的值为___________．
20．有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
三、解答题
21．阅读以下内容：
已知有理数m ，n 满足m+n ＝3，且3274
232m n k m n +=-⎧⎨
+=-⎩
求k 的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m ，n 的方程组3274
232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
，再求k 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值；
丙同学：先解方程组3
232
m n m n +=⎧⎨+=-⎩，再求k 的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x ，y 的方程组()()11821a x by b x ay ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩
①
②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数
x ，也可以用①×2+②×5消去未知数y ．求a 和b 的值． 22．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
23．阅读型综合题
对于实数x ，y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+(其中a ，b 均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中
x ，y 叫做线性数的一个数对.若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性
数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对. (1)若(),3L x y x y =+，则()2,1L -=_________，31,22L ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________； (2)已知(),3L x y x by =+，11,232L ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. ①求字母b 的取值；
②若(),18L x kx =(其中k 为整数)，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由.
24．小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
假设营业员的月基本工资为x 元,销售每件服装奖励y 元: (1)求x y 、的值；
(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1800元,那么小丽当月至少要卖服装多少件? (3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元；如果购买甲1件,乙2件,丙3件，共需285元，某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
25．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其 正整数解．
例：由2312x y +=，得：1222433
x x
y -==-，（x 、y 为正整数） ∴01220
x x >⎧⎨
->⎩，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x
为正整数．由2与3互
质，可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423
x
y =-
=∴2x+3y=12的正整数解为3
2x y =⎧⎨=⎩
问题：
（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： . （2）若
6
2
x -为自然数，则满足条件的x 值为 . （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢
笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
26．计划拨款9万元从厂家购进50台电视机
.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
()1若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
()2若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元
.在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
()3若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得：
5
3
1
5
x
y
x
y
-
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组.【详解】
由题意得：新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元，
∴0.6x y
，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元， ∴32 1.3x y +=， ∴可列方程组为：0.6
32 1.3
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.
3．B
解析：B 【分析】 由4520430x y z x y z -+⎧⎨
+-⎩＝①
＝②
，①×3+②×2，得出x 与y 的关系式，①×4+②×5，得出x 与z 的关
系式，从而算出xyz 的比值即可． 【详解】
∵4520430x y z x y z -+⎧⎨
+-⎩＝①
＝②
， ∴①×3+②×2，得2x=y ，①×4+②×5，得3x=z ， ∴x ：y ：z=x ：2x ：3x=1：2：3， 故选B ． 【点睛】
本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x 的代数式表示y 与z 是解此题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
分别令n=2与n=5表示出a 2，a 5，代入已知等式求出a 1与d 的值，即可确定出a 15的值． 【详解】
令n=2，得到a 2=a 1+d=5①； 令n=5，得到a 5=a 1+4d=14②， ②-①得：3d=9，即d=3， 把d=3代入①得：a 1=2， 则a 15=a 1+14d=2+42=44． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了代数式的求值以及解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．C
解析：C 【分析】
根据题意，将4
5
x y =-⎧⎨=-⎩代入方程27x ky +=，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵4
5x y =-⎧⎨
=-⎩
是方程27x ky +=的解 ∴把4
5
x y =-⎧⎨
=-⎩代入方程27x ky +=，得：
()()2457k ⨯-+-=
∴3k =- 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程和一元一次方程的性质，从而完成求解．
6．B
解析：B 【分析】
将22x y =⎧⎨=-⎩代入434ax y x by -=⎧⎨+=⎩即可求出a 与b 的值；
【详解】
解：将22x y =⎧⎨
=-⎩代入4
34ax y x by -=⎧⎨+=⎩
得： 11
a b =⎧⎨=⎩， ∴2a b +=； 故选B ． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
根据2x=3y=6z,设x=3k,y=2k,z=k,代入求值即可解题. 【详解】 解：∵2x=3y=6z,
∴设x=3k,y=2k,z=k,
∵x+2y+z=16,即3k+4k+k=16,解得：k=2,
∴
6
4
2 x
y
z
=⎧
⎪
=⎨
⎪=⎩
,
故选D.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,根据等量关系设未知数是解题关键. 8．C
解析：C
【解析】
∵2x＋1·4y＝128，27＝128，
∴x＋1＋2y＝7，即x＋2y＝6.
∵x，y均为正整数，
∴
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴x＋y＝4或5.
9．C
解析：C
【分析】
根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】
根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,
故选C.
【点睛】
此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组
10．C
解析：C
【分析】
根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可．
【详解】
解：根据题意，得
1
21 m n
m n
-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，
解得
2
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
．
故选：C．
二、填空题
11．是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三
解析：是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．
所以
25
10
36
238
x y z
x z
⎧
+-=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
是三元一次方程组；
故填：是．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的定义．
12．40
【分析】
根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．
【详解】
解：∵ ，，
∴1≤b≤50，51＜a≤100，
若a+
解析：40
【分析】
根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分
别列出方程组，及可求解． 【详解】
解：∵12903991313= ，12903
1171111
=， ∴1≤b ≤50，51＜a ≤100， 若a +b ≤100时，
由题意可得：13111290
11()990
b a a b +=⎧⎨
+=⎩，
∴60
150
a b =-⎧⎨
=⎩（不合题意舍去），
若a +b ＞100时，
由题意可得13111290
9(990b a a b +=⎧⎨+=⎩），
∴70
40a b =⎧⎨=⎩
，
故可70，40． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．
13．【分析】
将解方程组变形为，依据题意得，求解即可． 【详解】
∵关于，的方程组的解为， 将解方程组变形为， ∴关于，的方程组的解为， 解得， 故答案为：． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法
解析：1856
x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩ 【分析】
将解方程组变形为11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，依据题意得5
36
123
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求解即可．
【详解】
∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩
， 将解方程组11122252605260a x b y c a x b y c +-=⎧⎨+-=⎩变形为1112225163516
3a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩， ∴关于x ，y 的方程组11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩的解为536123
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得1856
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故答案为：1856
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想．
14．【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档
解析：【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．
【详解】
设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

10023180x y x x y z ++=⎧⎨++=⎩
①② ①×2−②，得x−z =20，
∴难题比容易题多20道.
故填20.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，本题中列方程组时有三个未知数，但只能列两个方程，所以不能把所有的未知数都解出来，只需要解出x-z 即可.
【解析】
【分析】
先把xy-2y-3x=0，yz-3z-5y=0，xz-5x-2z=0建立三元方程组，再利用代入法求出x ，y ，z 的值，再根据x=a ，y=b ，z=c 求出a2+b2+c2的值．
解析：152
【解析】
【分析】
先把xy-2y-3x=0，yz-3z-5y=0，xz-5x-2z=0建立三元方程组，再利用代入法求出x ，y ，z 的值，再根据x=a ，y=b ，z=c 求出a 2+b 2+c 2的值．
【详解】
xy 2y 3x 0--=，yz 3z 5y 0--=，xz 5x 2z 0--=组成方程组得
230350520xy y x yz z y xz x z --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩
①②③， 由①得：x=23
y y -④， 把④代入③整理得：-10y+6z=0，
∴z=53
y ， 把z=
53y 代入②得：253
y -5y-5y=0， 解得：y 1=0 （舍去），y 2=6， ∴z=
53×6=10， x=2663
⨯-=4， 又∵x=a ，y=b ，z=c ，
∴a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 2=42+62+102=16+36+100=152，
故答案为152.
【点睛】
本题考查了解三元方程组；解题的关键是通过建立三元方程组，再运用代入法进行消元求出方程组的解．
16．①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
解方程组，得，
，
，，
当时，，，x ，y 的值互为相反数，结论正确；
当时，，，方程两
解析：①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩，得{
121x a y a =+=-， 31a -≤≤，
53x ∴-≤≤，04y ≤≤，
①当2a =-时，123x a =+=-，13y a =-=，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ②当1a =时，23x y a +=+=，43a -=，方程4x y a +=-两边相等，结论正确； ③当1x ≤时，121a +≤，
解得0a ≤，且31a -≤≤，
30a ∴-≤≤，
114a ∴≤-≤，
14y ∴≤≤结论正确，
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组.关键是根据条件，求出x 、y 的表达式及x 、y 的取值范围．
17．11
【解析】
分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x ＝1，y ＝2时，ax ＋by2＝5，当x ＝2，y ＝1时，ax ＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a ，b 的值后，再求解. 详解：根据题意得，解得.
解析：11
【解析】
分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x ＝1，y ＝2时，ax ＋by 2＝5，当x ＝2，y ＝1时，ax ＋by 2＝3，由此列二元一次方程组求a ，b 的值后，再求解.
详解：根据题意得
45
23
a b
a b
⎧
⎨
⎩
＋＝
＋＝
，解得
1
1
a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
.
当a＝1，b＝1时，x※y＝x＋y2.
所以2※3＝2＋32＝11.
故答案为11.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数为1时，可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则去运算.
18．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： . 19．0或6
【解析】
由2x+3y=12得y=12-2x3，因为x、y都是非负整数，所以x=0，y=4或x=3，y=2或x=6，y=0，所以xy为0或6.
解析：0或6
【解析】
由2x+3y=12得y=，因为x、y都是非负整数，所以x=0，y=4或x=3，y=2或x=6，y=0，所以xy为0或6.
20．100或85．
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，
解析：100或85．
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②
， ①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8，
解得：m ＝2185
k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ，
解得：n ＝2145
k -， 代入m+n ＝3得：
21821455
k k --+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15，
移项合并得：7k ＝21，
解得：k ＝3；
选择乙， 3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②
， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6，
解得：m+n ＝7-65
k ， 代入m+n ＝3得：
7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，
解得：k ＝3；
选择丙，
联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩
①②， ①×3﹣②得：m ＝11，
把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，
代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，
解得：k ＝3；
（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：52b a =⎧⎨=⎩
， 检验符合题意，
则a 和b 的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B （4，8）时，m ﹣1＝4，22
n +＝8， 解得：m ＝5，n ＝14，显然2m ≠8+n ，
所以B 点不是“爱心点”；
（2）A 、B 两点的中点C 在第四象限，理由如下：
∵点A （a ，﹣4）是“爱心点”，
∴m ﹣1＝a ，22
n +＝﹣4，
解得：m ＝a +1，n ＝﹣10．
代入2m ＝8+n ，得2（a +1）＝8﹣10，解得：a ＝﹣2，
所以A 点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B （4，b ）是“爱心点”，
同理可得m ＝5，n ＝2b ﹣2，
代入2m ＝8+n ，得：10=8+2b ﹣2，解得：b ＝2．
所以点B 坐标为（4，2）．
∴A 、B 两点的中点C 坐标为（2442,22
-+-+），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x ，y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，
得：2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩． ∵点B （x ，y ）是“爱心点”，
∴m ﹣1
﹣q ，22
n +＝2q ， 解得：m
﹣q +1，n ＝4q ﹣2．
代入2m ＝8+n ，得：
﹣2q +2＝8+4q ﹣2，
整理得
﹣6q ＝4．
∵p ，q 为有理数，若使
p ﹣6q 结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23
． 【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 23．（1）-1,3（2）①2；②有，分别是26x y =⎧⎨=⎩
【分析】
（1）根据题干定义，将x=2，y=-1和31,22
x y ==代入到(),3L x y x y =+求值即可； （2）①将11,232L ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
带入到(),3L x y x by =+，即可求出b 值；②由①可得出(),32L x y x y =+，将(),18L x kx =代入式中，表示出kx ，根据题干x ，y 都取正整数，分析求解即可.
【详解】
解：（1）∵(),3L x y x y =+，∴()()2,12311L -=+⨯-=-，3131,3=32222L ⎛⎫=+⨯
⎪⎝⎭ 故答案为-1，3；
（2）①∵(),3L x y x by =+ ∴1111,323232L b ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭
，解得2b =； ②由①可知(),32L x y x y =+，
∴(),3218L x kx x ky =+=， ∴1832
x kx -=
∵00x kx >>，， ∴
18302
x -> ∴1830,06x x -><< ∵x、y 均为正整数，k 为整数
∴x 为偶数，
∴满足这样条件的正格数为26x y =⎧⎨
=⎩
【点睛】
本题考查的是新定义的理解能力，设计二元一次方程的解和一元一次不等式的知识，能够充分理解题干定义是解题的关键.
24．（1）x=800,y=3；（2）334；（3）150元.
【解析】
【分析】
（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）根据小丽基本工资+每件提成×件数=1800元，求得件数即可；
（3）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可．
【详解】
解：（1）设营业员的基本工资为x 元，买一件的奖励为y 元． 由题意得20014001501250x y x y +⎧⎨+⎩
＝＝ 解得8003x y ⎧⎨⎩
＝＝ 即x 的值为800，y 的值为3．
（2）设小丽当月要卖服装z 件，由题意得：
800+3z=1800
解得，z=333.3
由题意得，z 为正整数，在z ＞333中最小正整数是334．
答：小丽当月至少要卖334件．
（3）设一件甲为x 元，一件乙为y 元，一件丙为z 元．
则可列3231523285x y z x y z ++⎧⎨++⎩
＝＝ 将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；第三问的难点就在于思考的方向对不对，实际上，方向对了，做起来就方便多了．
25．（1）方程的正整数解是13x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩
．（只要写出其中的一组即可）；（2）满足条件x 的值有4个：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；
或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．
【解析】
（1）1231{{(x x y y ====或任写一组即可）
---------------------------．
（2） C
（3）解：设购买单价为3元的笔记本x 个，购买单价5元的钢笔y 个，
由题意得： 3x+5y=35
此方程的正整数解为
∴有两种购买方案:
方案一：购买单价为3元的笔记本5个，购买单价为5元的钢笔4支．
方案二：购买单价为3元的笔记本10个，购买单价为5元的钢笔1支
（1）只要使等式成立即可
（2）x-2必须是6的约数
（3）设购买单价为3元的笔记本x 个，购买单价5元的钢笔y 个，根据题意列二元一次方程，去正整数解求值
26．（1）①甲、乙两种型号的电视机各购25台，②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；（2）为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案；（3）有四种进货方案：1、购进甲种电视27台，乙种电视20台，丙种电视3台，2、购进甲种电视29台，乙种电视15台，丙种电视6台，3、购进甲种电视31台，乙种电视10台，丙种电视9台，4、购进甲种电视33台，乙种电视5台，丙种电视12台．
【解析】
分析：（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=9万元．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况进行讨论．求出正确的方案； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案； （3）本题可先设两种电视的数量为未知数，然后根据三种电视的总量为50台，表示出另一种电视的数量，然后根据购进电视的费用总和为9万元，得出所设的两种电视的二元一次方程，然后根据自变量的取值范围，得出符合条件的方案．
详解：()1设购进甲种x 台，乙种y 台．则有：501500210090000x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解得2525
x y =⎧⎨=⎩； 设购进乙种a 台，丙种b 台．则有：50
2100250090000a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得87.537.5a b =⎧⎨=-⎩；(不合题意，舍去此方案). 设购进甲种c 台，丙种e 台．则有：501500250090000c e c e +=⎧⎨+=⎩，解得：3515c e =⎧⎨=⎩
． 通过列方程组解得有以下两种方案成立：
①甲、乙两种型号的电视机各购25台．
②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；
()2方案①获利为：25150252008750(⨯+⨯=元)；
方案②获利为：35150152509000(⨯+⨯=元)．
所以为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案；
()3设购进甲种电视x 台，乙种电视y 台，则购进丙种电视的数量为：()z 50x y =--台．
()1500x 2100y 250050x y 90000++--=，
化简整理，得5x 2y 175+=．
又因为0x <、y 、z 50<，且均为整数，
所以上述二元一次方程只有四组解：
x 27=，y 20=，z 3=；
x 29=，y 15=，z 6=；
x 31=，y 10=，z 9=；
x 33=，y 5=，z 12=．
因此，有四种进货方案：
1、购进甲种电视27台，乙种电视20台，丙种电视3台，
2、购进甲种电视29台，乙种电视15台，丙种电视6台，
3、购进甲种电视31台，乙种电视10台，丙种电视9台，
4、购进甲种电视33台，乙种电视5台，丙种电视12台．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用.此类问题的关键在于通过题干找出等量关系列出式子.。