江苏诗台市高中数学第三章导数及其应用3.3空间的角的计算导学案无答案苏教版选修1_1

3.3空间的角的计算
主备人：学生姓名：得分：
一、教学内容：空间向量（第八课时）空间的角的计算
二、教学目标：
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
三、课前预习
1．两条异面直线所成的角
(1)定义：
(2)范围：
(3)向量求法：
2．直线与平面所成的角
(1)定义：
(2)范围：
(3)向量求法：
3．二面角
（1）定义：
(2)二面角的取值范围：
(2)二面角的向量求法：
①定义法：
②向量法：
四、讲解新课
要点一求两条异面直线所成的角
例1：课本P106例1
规律方法建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．
跟踪演练1 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
要点二求直线和平面所成的角
例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．
跟踪演练2 课本例二P108
要点三求二面角
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的余弦值．
规律方法(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．
跟踪演练3 如图所示，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角AA 1DB 的余弦值．
五、课堂练习
1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量，法向量，若cos 〈m ，
n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．
2．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为________．
3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为
________．
4.如图，在三棱锥VABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A 、B 、V 分别在x 、y 、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝
θ.当θ＝π3
时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．
六、课堂小结
利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求
七、课后作业
1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于________．
2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则下列说法正确的是________．
①α＝θ ②α＝π－θ ③cos θ＝|cos α| ④cos α＝|cos θ|
3．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．
4．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．
5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是________．
6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．
7．如图，四棱锥FABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与
平面ABCD 垂直，CF ＝2.求二面角BAFD 的大小．
8．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，
M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12
AD .
(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小；
(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；
(3)求二面角ACDE 的余弦值．
12.如图，已知点P 在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA
＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．。