[数算]排列组合问题的解题策略(个人总结)

[数算]排列组合问题的解题策略
发现公务员考试有好多高中的知识，但是高考已在Ｎ年前，实在记不住了，在点资料大家一起复习哈．
排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。

本文就排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。

1、特殊元素——优先法：
对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

例1，用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？
[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。

①当0排在末尾时，有个；②当0不排在末尾时，有个，根据分类记数原理，其中偶数共有个。

例2，1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。

[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有种。

剩下的位置由4名学生全排列，有种。

因此共有种不同的排法。

2、相邻问题——捆绑法：
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。

例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有种。

[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有种排法；而3名老师之间又有种排法，故满足条件的排法共有种。

例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？
[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。

水彩画放中间，油画和国画放两端有种排法。

再考虑油画和国画本身可全排列，故排列方法共有种。

3、不相邻问题——插空法：
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

例5，有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？
[解析]先将其余6人进行排列，有种；再把不相邻的4人分别排在前6人形成的7个空隙中，有种。

所以共有种排列次序。

例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？
[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有种，所以共有种。

4、正难问题——排除法：
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。

例7，从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A、140种
B、120种
C、35种
D、34种
[解析]先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即种。

所以符合条件的选法是种，故选D。

例8，四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A、150种
B、147种
C、144种
D、141种
[解析]首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有种，然后再取掉“共面”的情况：其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有种；又每条棱与相对棱的中点共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。

故10个点中4点不共面的取法，共有种。

故选D项。

5，多元问题——合理分类与准确分步：
对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。

例9，如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，
则不同的着色方法共有多少种？
[解析]区域1与其它4个区域相邻，而其它器每个区域都与3个区域相邻，因此可以涂3种或4种颜色。

①涂3种颜色有种方法；②涂4种颜色有种方法。

因此共有24+48=72种不同的着色方法。

例10，平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有个
[解析]按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行直线中取两条，有种；
第二步，再在5条平行线中取两条，有种，这样取出的4条直线构成一个矩形。

根据乘法原理，构成的矩形共有个。

6，定序问题——除法：
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。

例11，由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有
A、210种
B、300种
C、464种
D、600种
[解析]若不考虑附加条件，组成的六位数共有个，而其中个位数与十位数的种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有个，故选B项。

若将题干中条件改为“个位数小于十位数且千位小于百位”则应为种。

7，大小排列问题——字典法：
对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。

例12，在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43512的数共有
A、56种
B、57种
C、58种
D、60种
[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：
①当首位是2时，若千位是4、5，则有个；若千位是3，百位是4、5，则有个；若千位是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。

②当首位是3时，有个。

③当首位是4时，若千位是1、2，则有个；若千位是3，百位是1、2，则有个；若千位是3，百位是5，则只有一个数即43512，故当首位是4时，共有12+4+1=17个数。

因此满足题意的数共有17+24+17=58个。

故选C项。

例13，用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？
[解析] 从高位向低位依次考虑，分3类：
①当千位是1、2时，有个。

②当千位是3时，若百位排0、1，有个；若百位排2时，比3204小的仅有3201一个。

故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，所以3204是第62个。

8，名额分配问题——隔板法：
对某些复杂的排列问题，可通过构造相应的模型来处理。

例14，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少一人，名额分配方案共有多少种？
[解析]处理次类问题一般构造一个隔板模型。

取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个空隙中选取9个插入隔板，将18个棋子分隔成10个部分，第i（1≤i≤10）个部分的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为种。

例15，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，其中有些班级可能选不上，每班人数都在18人以上，名额分配方案共有多少种？
[解析]同样是名额分配问题，但与前面问题有所不同，由于名额可空，即同一空隙中可插多个隔板，前面模型不再适用，应另建模型。

取18枚棋子排成一列需要18个位置，分10部分需要9个隔板，每个隔板占用一个位置，共需18+9=27个位置。

现在在这27个位置上安排9个隔板，把27个位置分成10部分。

当两个隔板相邻时，表示这两个位置之间没有棋子，即此班没有名额。

因此，分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为种。

9，混合问题——先选后排法：
对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列的策略。

例16，某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班且每班安排2人，则不同的安排方案种数为
A、B、C、D、
[解析]先将4名学生平均分成两组（属平均分组），有= 种分法；再将这两组学生安排到该年级6个班中的两个班有种。

所以不同的安排方法有，故选B项。

10，复杂问题——转换法：
对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。

例17，从正方体的八个顶点中任取三个点作三角形，其中直角三角形的个数为
A、56
B、52
C、48
D、40
[解析]首先考虑到任意一个矩形可得到四个直角三角形，于是问题转化为先求出所有可能的矩形。

分为两类：⑴表面上的矩形有6个；⑵对角面有6个，因此所有可能的矩形有6+6=12个，相应的直角三角形共有4 12=48个。

故选C项。

例18，一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？
[解析]设红球取x个，白球取5-x个，依题设有2x+(5-x)≥7。

其中x∈N, 且。

解得2、3、4，对应3、2、1。

故取法种数为=186种。

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