托卡马克中的静电漂移不稳定性

E ⊥ B
练习题：
1，什么是反磁漂移？试证明反磁漂移对 密度扰动无贡献并讨论其物理意义。 2，对典型的托卡马克参数， kθ ∼ (0.1 − 1) ρ , 假设 计算电子漂移波频率和离子漂移波频率。
Ti ∼ Te ∼ 10kev, B ∼ 3T , Ln ∼ 50cm
Ⅲ、离子温度梯度不稳定性的流体研究 1，基本方程： 离子连续性方程：
4）线性理论的作用：饱和湍流幅的计算需要包括非 线性效应, 线性理论可以： i)确定可能的驱动机制，抑制机制； ii)确定不稳定性条件； iii)当湍流引起的输运占主导时，等离子体的密度和 温度梯度可能被调整到接近由线性不稳定性理论所预 言的阈值； iv)线性模的时间和空间特征可能与湍流态有一定的 联系，从而可以提供对湍流输运的粗略估算： 准线性理论 γ 混合长度计算： x ~ 2
2, Charged particle motion in tokamaks
• Parallel (lognitudinal) motion: v|| ≈ vth • Rotation: v⊥ = Ωρ ≈ vth • Drifts of guiding center i) Electric field drift:
k
Ⅱ、漂移波和漂移型不稳定性
1，磁化等离子体中的(反磁)漂移运动： 1) 漂移速度（均匀磁场）：
Vdj =
− c ∇ Pj × B n jq j B
2
=
ˆ cT j b × ∇ n j q jn j B
2)粒子流强：
cT ∂n ∂n V⊥ Γ = ⋅ ⋅V⊥ = ∂x Ω qB ∂x cT ∂ n Vd = qBn ∂ x
练习题： 1，证明反磁漂移对密度扰动无贡献，讨论其物理 意义。 2，对典型的托卡马克参数，
Ti ∼ Te ∼ 10kev, B ∼ 3T , Ln ∼ 50cm
假设 k ∼ (0.1 − 1) ρ , θ 计算电子漂移波频率和离子漂移波频率。
3，漂移不稳定性： 在一定条件下，漂移波会增长，称为漂移不 稳定性。由密度梯度漂移引起的不稳定性称 为漂移不稳定性，又称普适不稳定性。在电 子漂移方向传播的称为电子模，在离子漂移 方向传播的称为离子模。 4，漂移型不稳定性：一切与漂移运动相关的不 稳定性。 i)密度梯度( ∇n )漂移： ii)温度梯度( ∇T )漂移：
v dϕ mv ⊥ E (κ ) 1 =4 2 ( − ), qB θ R K (κ ) 2
2
R v|| 2 K (κ ), κ ≈ <1 2 2 r v⊥
2
3, Diamagnetic drift of plasma fluids
Vdj = −c∇Pj × B n j q j B2
•It is in the vertical direction at the low field side (LFS) of the torus; •It induces charge separation and then plasma outward motion.
3)反磁漂移对密度扰动无贡献： ∂n = − ∇ ⋅ ( n V dj ) , ∇ ⋅ ( n V dj ) ∂t
= 0.
2，电子漂移波：由电子密度的空间不均匀性驱动或维持 的静电波。扰动量具有以下形式:
Q(r , t ) = Q( x) exp i (k y y + k z z − ωt )
ckθ Te dn ckθ Te = 电子漂移波频率： ω ∼ ω∗e ≡ − eBn dr eBLn ckθ Te dn ckθ Te ω =− 离子漂移波频率： ∼ ω∗i ≡ qi Bn dr qi BLn
ˆ b×(2a) 给出：
(0)
⎛ ⎞ Vi eni ⎜ − ∇φ + × B ⎟ − ∇pi = 0 ⎜ ⎟ c ⎝ ⎠ (2a)
ˆ + c b ×∇φ + c b ×∇p ˆ ˆ Vi = V||b i eBn B
(6)
ˆ ≡ B 其中: b B
将(6)代入（2）的右端，取到漂移近似的一级，我们 得到： mi c 2 ⎛ ∂ ⎞ (1) (0 ) （7） Vi = − ⎜ + Vi ⋅ ∇ ⎟∇ ⊥φ eB 2 ⎝ ∂t ⎠
4.托卡马克等离子体不稳定性： MHD不稳定性，微观不稳定性
kθ
1 ρe
Ion scale MHD Skin size Electron scale
a ~ 50cm ρi ~ 2mm
1 ρi
ρe ~ 0.03mm
1 ρi
1a
1a
1 ρ e kr
微观不稳定性（速度空间不稳定性）由
速度空间分布函数对麦克斯韦分布的偏离引起的 不稳定性；其空间尺度： λ → ρ e − ρi 1）捕获粒子不稳定性：环状位型（托卡马克） ⎛ν ⎞ 中： ⎜ ν ⎟ < r R ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的粒子被捕获在环的外侧而引起的不稳定性 (TEM)。 2）漂移型不稳定性：由粒子的密度，温度以及 磁场的空间不均匀性引起的不稳定性，是托卡马 克中的主要微观不稳定性(ITG,ETG)。 3）微观撕裂不稳定性：共振面附近电子的动理 学效应引起的不稳定性。 1),2）为静电模：主要为静电势扰动，电磁扰动 正比于比压 , β 3）为电磁模：电磁扰动。
2 ||
5. 研究微观不稳定性的意义
1)解释直接的实验观测结果: – – 空间等离子体:卫星观测结果:φ,B 聚变等离子体:n,B
2)寻找引起反常输运的物理机制(主要是能量输运)能量 传输的三种方式:传导,对流,辐射, 这里的反常输运指的 是反常热传导(在垂直于 B0 的方向) i)经典输运：
χ e = 4.66 ρ e2υee χ i = 2 ρ i2υii
（19）
κ 在平板位形中， = 0,把（19）代入（17）给出：
ˆ ⋅ ∇V + c b × ∇ ln V = ˆ ˆ + V0||b || 0|| ∂t B ⎡ ⎛c ˆ ⎞⎤ ⎜ b × ∇ϕ ⋅ ∇ ln P0 ⎟ ⎥ ⎢ P0 −e ˆ ⎟⎥ ∇⎜ B b ⋅ ⎢∇ ϕ + mV0|| ⎢ en0 ⎜ i (ω − k||V0|| ) ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ （20）
∂ n i + ∇ ⋅ (n iν ∂t
离子运动方程 ：
i
)=
0
（1）
⎛ Vi × B ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎟ − ∇Pi − ∇ ⋅ Πi mi ni ⎜ + Vi ⋅ ∇ ⎟Vi = eni ⎜ ∇φ + ⎜ ∂t c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（2）
离子压强的绝热演化方程：
(3) 适用条件:低温等离子体，低频率, 长波长扰动 绝热电子：
3，线性化
~ n = n0 + n
V || = V 0 || ~ + V ||
d ∂ = + Vi0 ⋅ ∇ dt ∂t
c ˆ ⎛ 1 ~⎞ c d c V⊥ = b × ⎜ ∇ϕ + ∇P ⎟ − ∇⊥ϕ + b × ∇P0 B ⎝ en ⎠ ΩB dt eBn
归一化：
~ ˆ n= n
n0
线性化以后，方程（1）化为：
iii)磁场梯度( ∇B )漂移：
ˆ b μm V⊥2 ˆ ˆ Vg = × ∇B = n×b Ω m 2 RΩ
iV)磁场曲率漂移：
ˆ ˆ= n, ∇||b R
ˆ ˆ V||2 n × b ˆ ˆ ∂b b 2 Vd = × V|| = Ω ∂l RΩ
V）极化漂移：
1 dE mc ⎛ dE ⎞ , Vdi = − 2 ⎜ × b ⎟ × b = ⎟ qB ⎜ dt ΩB dt ⎝ ⎠
ˆ ∂V||
方程（3）化为：
ˆ ∂P ˆ ˆ ⋅ ∇P + c b × ∇ϕ ⋅ ∇ ln P + Γ∇ ⋅ V = 0 ˆ ˆ +V0||b 0 （18） ∂t B
~ − i ω t + ik ⋅ r ˆ 方程（16-18）是基本 方程。取 f = fe ，略去Γ∇ ⋅ V 则（18）给出：
c ˆ b × ∇ ϕ ⋅ ∇ ln P0 ˆ P= B i (ω − V0|| k|| )
n Γj = δ V || j δ B r B
测量值：
δn
n
~ (1 − 50)%
δB
B
~ 10
−4
χ e exp ~ 100 χ e ne χi
exp
~ 10 χ i
ne
3）微湍流和湍性输运是当前磁约束聚变研究的五大 方面之一： i) 宏观不稳定性和输运； ii) 波和等离子体相互作用； iii) 微湍流和反常输运； iV) 边界层物理； V) 高能量粒子物理
目录 Ⅰ. 引言 Ⅱ. 漂移波和漂移不稳定性 Ⅲ. 温度梯度不稳定性的流体研究 Ⅳ. 温度梯度不稳定性的动理学研究 V. 捕获电子不稳定性 VI. 结束语
Ⅰ.引言
磁场位形 θ φ R r
r=r2 r r=r1 0 πr rθ 2πr πR
2πR
Poloidal direction
r To
on ct i e dir l ida o
ˆ b VE = E × B
ii) magnetic gradient ( ∇B ) drift：
ˆ b μm V⊥2 ˆ ˆ Vg = × ∇B = n×b Ω m 2 RΩ
iii) magnetic curvature drift：
ˆ ˆ V||2 n × b ˆ ˆ ˆ n b ∂b ˆ ∇||b = − , Vd = × V||2 = R Ω ∂l RΩ
iv)trapping, bounce and toroidal drift
a) Particle trapping b) Bounce period of the trapped particles
τ =4 2
Rq v ⊥ ε 0 .5
⎛ ν || ⎞ ⎜ ⎟ < 2r R ⎝ν ⎠
2
c) TorLeabharlann idal drift of trapped particles
ˆ 其中 b × ∇ Pi 的项与 ∇ ⋅ Π 项相消。（有名的gyroviscosity cancelation, Horton ,Phys,Fluids 1971,P116, ) ˆ 方程（2）点乘b 给出：
ˆ ⋅ m n ⎛ ∂ + V ⋅ ∇ ⎞V = en b ⋅ ∇φ − b ⋅ ∇P − b ⋅ ∇ ⋅ Π (8) ˆ ˆ ˆ b i i⎜ ⎟ i i i i ⎝ ∂t ⎠
由方程（20）可得：
ˆ ∂V||
⎧ ⎡ ⎛cˆ ⎞⎤⎫ 0 ⎪c P ⎜ Bb×∇φ⋅∇ln P ⎟⎥⎪ e ˆ⎢ 1 ⎪ ˆ ⎪ 0 V|| = b⋅ ⎢∇φ + ∇⎜ ⎨ b×∇φ ⋅∇lnV0|| + ⎟⎥⎬ mV0|| ⎢ en0 ⎜ i (ω−kV0|| ) ⎟⎥⎪ i (ω−kV0|| ) ⎪B || || ⎢ ⎝ ⎠⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎭ ⎩ （21） 将（19）和（21）代入（16），我们得到：
ˆ ∂n ˆ ⋅ (∇n +∇V ) + c ⎡b ×∇φ ⋅∇ ln n ⎤ − ˆ ˆ + V0||b || 0⎦ ⎣ B ∂t P c ˆ c d 2 0 ˆ − 2b × (∇φ + ∇p) ⋅ κ − ∇⊥φ = 0 B en0 BΩ dt
方程（8）化为：
(16）
(17）
ˆ ⋅ ∇V − c b × ∇φ ⋅ (κ − ∇ ln V ) ˆ ˆ + V0||b || 0|| B ∂t P0 ˆ ⎞ e ˆ ⎛ b ⋅ ⎜ ∇φ + =− ∇P ⎟ miV0|| ⎝ en0 ⎠
ii)新经典输运（香蕉区）
χ e ne ~ ε q 2 ρ e2υ ee χ i ~ ε q 2 ρ i2υii
ne −3 2
−3 2
ε = rR
q >1
iii)由扰动引起的输运（反常输运） 电扰动：
δν ⊥ = δE⊥ B Γ = δν ⊥δn
3 q j = n j δν ⊥δT j 2
磁扰动：
∂ Pi + V i ⋅ ∇ Pi + Γ Pi ∇ ⋅ V i = 0 ∂t
ne ( x ) = n(0 )e
准电中性条件：
eφ Te
(4) (5)
ne = ni
2，漂移近似： 磁化等离子体：
ρ << 1 δ ≡ L
V t ∂ ~ δ ∂t L
漂移近似：
最低阶近似：方程（2）的左边为零并略 去粘滞项，给出：
托卡马克中的静电漂移不稳定性董家齐核工业西南物理研究院浙江大学聚变理论与模拟中心中国等离子体物理暑期学校杭州浙江大学200971928目录捕获电子不稳定性vi
托卡马克中的静电漂移不稳定性
董家齐 核工业西南物理研究院 浙江大学聚变理论与模拟中心
中国等离子体物理暑期学校
杭州，浙江大学 2009.7.19-28
Rφ
1，Tokamak magnetic configuration
• Equilibrium magnetic field： Toroidal field B Bϕ = (1+r cos0θ / R0 ) ≅ B0 (1 − r cosθ / R0 ) Poloidal field r Bθ ≅ Bθ 0 (1 + Λ cosθ ), R0 Bϕ >> Bθ