曲率计算

R
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为 y = f ( x) , 且 y′′ ≠ 0 , 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 D(α , β )的坐标公式 . 设点M 处的曲率圆方程为 (ξ − α ) 2 + (η − β ) 2 = R 2 故曲率半径公式为
Δα
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曲 率:
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Δs , 对应切线 转角为 Δα , 定义 弧段 Δs 上的平均曲率
Δα K= Δs
点 M 处的曲率
M
M′ Δ s Δα
dα Δα = K = lim Δ s →0 Δ s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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则弧长微分公式为 几何意义:
ds = x 2 + y 2 d t
y
ds = M T dy = sin α ds
dx = cos α ; ds
dx α o x x + dx x
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M
T
dy
二、曲率及其计算公式
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
M
M ′ M ′′
x
显然 R
x = ±1
= 2 为最小值 .
利用 a + b ≥ 2 ab
2 2
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作业
P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9
第八节 目录
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3π 令 f ′(t ) = 0 , 得 t = 0 , , π , , 2π 2 2 计算驻点处的函数值:
f ′(t ) = (a 2 − b 2 ) sin 2 t
π
t f (t )
0
π
2
π
b2
3π 2
2π
b2
a2
a2
b2
y b
设 0 < b < a , 则 t = 0 , π , 2π 时
说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y = 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 2 l 求此缓和曲线在其两个端点 O(0 , 0) , B (l , ) 处的曲率. 6R 解: 当 x ∈ [ 0 , l ] 时, y 1 2 l ≈0 ∵ y′ = x ≤ R 2 Rl 2R 1 B y′′ = x Rl o x l 1 x ∴ K ≈ y′′ = 1 3 Rl y= x 1 6 Rl 显然 K x = 0 = 0 ; K x =l ≈ R
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? ⎧ x = a cos t (0 ≤ x ≤ 2π , b ≤ a ) 解: 设椭圆方程为⎨ ⎩ y = b sin t y b 由例3可知, 椭圆在 ( ± a , 0) 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 x y = 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 x x 1 3 o 1 x 3 1) 2 2 2 (1 + 4 (1 + y′ ) 3 x 1 ( x2 + 1 ) 2 = R= =2 ≥ 2 2 2 x y′′ 3
曲率K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由
tan α = y′ ( 设 −
得
π
y ′′ dx dα = (arctan y ′)′ d x = 2 1 + y′
α = arctan y′
<α < ) 2 2
π
dα K= ds
又
ds = 1 + y ′ 2 dx
y′′ (1 + y ′ )
K=
x′′ (1 + x′ )
2
3 2
K=
y′′ (1 + y ′ )
2
3 2
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y = 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 2 l 求此缓和曲线在其两个端点 O(0 , 0) , B (l , ) 处的曲率. 6R
第三章
第七节 曲 率
一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
一、 弧微分
设 y = f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s (x)
y
Δs M M ′ M M ′ = ⋅ Δx M M ′ Δx
MM′ (Δx) 2 + (Δy ) 2 = ⋅ MM′ Δx MM′ Δy 2 =± 1+ ( ) MM′ Δx Δs ′( x) = lim ′) 2 ∴s = 1+ ( y Δx→0 Δ x
y
D(α , β ) R M ( x, y )
x
1 (1 + y′2 ) R= = K y′′
3
T
2
C
o
α , β 满足方程组 ( x − α ) 2 + ( y − β ) 2 = R 2 ( M ( x , y ) 在曲率圆上 ) ⎧ ⎨ y′ = − x − α ( DM ⊥ MT ) ⎩ y−β
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⎧ x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) 在何处曲率最大? 例3. 求椭圆 ⎨ ⎩ y = b sin t
解: x = − a sin t ;
x = − a cos t
y = b cos t ;
故曲率为
y = −b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
2 32
故曲率计算公式为 K =
当 y′ << 1时 , 有曲率近似计算公式 K ≈ y′′
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说明:
⎧ x = x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 ⎨ ⎩ y = y (t ) xy − xy K= 2 2 32 (x + y )
(2) 若曲线方程为 x = ϕ ( y ) , 则
K=
xy − xy
(x + y )
2 2
3 2
=
ab
(a sin t + b cos t )
2 2 2 2
3 2
K 最大 求驻点:
f (t ) = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t 最小
f ′(t ) = 2a 2 sin t cos t − 2b cos t sin t = (a 2 − b 2 ) sin 2 t
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由此可得曲率中心公式
y
C
o
D (α , β )
y′(1 + y′2 ) α = x− y′′ 1 + y′2 β = y+ y′′
R
T
M ( x, y )
(注意 y − β 与ห้องสมุดไป่ตู้y′′ 异号 )
x
当点 M (x , y) 沿曲线 y = f (x) 移动时, 相应的曲率中心 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
y′′ dα 2. 曲率公式 K = = 2 32 ds (1 + y′ ) 3. 曲率圆 2 32 1 = (1 + y′ ) 曲率半径 R = y′′ K y′(1 + y′2 ) α = x− y′′ 曲率中心 1 + y′2 β = y+ y′′
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思考与练习
y = f (x) B M′ A Δy M Δx
o a
x
x + Δx
b x
MM′ lim = ±1 Δ x →0 M M ′
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s′(x) = 1 + ( y′) 2
或 ds = (dx) 2 + (d y ) 2 ∴ ds = 1 + ( y ′) dx
2
⎧ x = x(t ) 若曲线由参数方程表示: ⎨ ⎩ y = y (t )
o
2
3 2
ax
(a sin t + b cos t ) R= ab
2 2 2
b2 = t =0 a
b2 显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , a 或有的地方磨不到的问题.
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
′ 2 dx 或 ds = (dx) 2 + (d y ) 2 1. 弧长微分 ds = 1 + y
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( ± a , 0 ) 处曲率 最大.
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−a
−b
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a x
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 在点 , 在曲线 M 处作曲线的切线和法线,
y
D(α , β )
T
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y ) 1 o x DM = R = K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 ,
Δs = RΔα Δα 1 ∴ K = lim = Δ s →0 Δ s R
M′ Δα Δα Δs R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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