江苏省2010届高三数学二轮强化练习(23)直线方程苏教版

江苏省2010届高三数学二轮强化训练
直线方程
一．填空题：
1．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____ . 2．过坐标原点且与x 2
+y 2 +
4x +2y +
5
2
=0相切的直线的方程为 ． 3．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为 ．
4．已知ABC ∆的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，则BC 边所在直线的方程为 ． 5．已知平面区域D 由以(1,3)A 、(5,2)B 、(3,1)C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则=m ． 6．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________．
7．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．
8．设直线l 1、l 2的倾斜角分别为θ1、θ2，斜率分别为k 1、k 2，且θ1+θ2=90°,则k 1+k 2的最小值是 ．
9．若直线mx +y +2=0与线段AB 有交点，其中A (-2, 3)，B(3,2)，则实数m 的取值范围是 ．
10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=
的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．
11．已知直线l 过点P （0，1）并与直线l 1：x -3y +10=0和 直线l 2：2x +y -8=0分别交于A 、B 两点（如图），若线段 AB 被点P 平分，则直线l 的方程为 . 12．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，
则x 的范围为____ __．
13．函数f (θ)=sin 1
cos 2
θθ--的最大值为_________，最小值为 _________．
14．光线由点(1,4)A -射出，遇到直线l ：2360x y +-=后被反射，并经过B 62
(3,)13
，则反 射光线所在直线的方程为 ． 二．解答题
15．过点P (2，1)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值
时直线的方程．
16．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．
17．直线l 过P （-2，1）且斜率为k (k >1)，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m , 若直线l 和m 分别与y 轴交于Q 、R 两点，则当k 为何值时，△PQR 的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程.
18．如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA
的方向行驶，其中sin 10α=. 在距离O 地a 5（a 为正常数）千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3
sin 5
β=.
现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇．经测算，当两车行驶的路线与OB 所围成的OBC ∆面积S 最小时，抢救最及时．
（1）在以O 为原点，正北方向为y 轴的平面直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程； （2）求S 关于p 的函数关系式()S f p =； （3）当p 为何值时，抢救最及时？
东
19．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
20．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.
O (A )
B
C
D
x
y （图5)
参考答案
一．填空题
1．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =__2 .
解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，2
33
a -
=-，则a =2． 2．过坐标原点且与x 2+y 2 +
4x +2y +52=0相切的直线的方程为133
y x y x =-=或．
解：过坐标原点的直线为y kx =，与圆225
4202x y x y +-++=相切，则圆心(2，－1)到直线
方程的距离等于半
径，
则，解得1
3k =或3k =-，∴ 切线方程为
1
33
y x y x =-=或．
3．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为3
7-．
解：'2'3
()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7
f x x f f y x y x =+==-=-==-时．
4．已知ABC ∆的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，则BC 边所在直线的方程为29650x y +-=． 解：设11(410,)B y y -，由AB 中点在610590x y +-=上，
可得：11471
61059022
y y --⋅
+⋅-=，y 1 = 5，所以(10,5)B ． 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ， 则有)7,1(14
131********A x y y x '⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'.故:29650BC x y +-=． 5．已知平面区域D 由以(1,3)A 、(5,2)B 、(3,1)C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则=m 1 ．
解：由(1,3)A 、(5,2)B 、(3,1)C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>.由z x my =+得1z y x m m =-
+，它表示斜率为1
m
-． （1）若0m >，则要使z 取得最小值，必须使
z m
最小，此时需113
31AC k m --==-，即m =1；
（2）若0m <，则要使z 取得最小值，必须使z m
最大，此时需112
35BC k m --==-，即m =2，
与0m <矛盾.综上可知，=m 1.
6．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是(5，6）.
解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.
7．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是3230x y --=．
8．设直线l 1、l 2的倾斜角分别为θ1、θ2，斜率分别为k 1、k 2，且θ1+θ2=90°,则k 1+k 2的最小值是 2 ．
解：因为θ1+θ2=90°，所以122tan tan(90)cot θθθ=︒-=∴12
1k k = 又121222
1
0,02k k k k k k >>∴+=
+≥。

9．若直线mx +y +2=0与线段AB 有交点，其中A (-2, 3)，B (3,2)，则实数m 的取值范围是
增的，因此当直线在∠ACB 内部变化时，k 应大于或等于k BC ，或者k 小于或等于k AC ，当A 、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围.
变式：若直线y ＝
kx ＋2与圆(
x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：由直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点知直线与圆的位置关系是相
<1，解得k ∈(0,4
3).
10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是5[
,
]1212
ππ
．
解析：圆2244100x y x y +---=整理为222(2)(2)x y -+-=，
∴圆心坐标为(2，2)，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为，
∴ 2()4()1a a b b ++≤0，∴ 2()2a b --≤()a
k b =-，
∴ 22k +≤l 的倾斜角的取值范围是5[
,
]1212
ππ
.
12．已知直线l 过点P （0，1）并与直线l 1：x -3y 点（如图），若线段AB 被点P 平分，则直线l 解：点B 在直线l 2上，设B （a ,8-2a ）,由P 是AB A 点的坐标为（-a ,2a -6）,又A 在直线l 1上，
所以-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,故B (4，0)． 直线l 的方程为x +4y -4=0.
12．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，
则x
的范围为22
．
解：原不等式变为(x 2
－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2
－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0.
x <<
． 13．函数f (θ)=sin 1
cos 2θθ--的最大值为3
4，最小值为 ０ ．
解：f (θ)=
2
cos 1
sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.
14．光线由点(1,4)A -射出，遇到直线l ：2360x y +-=后被反射，并经过B 62
(3,)13
，则反 射光线所在直线的方程为 ．
解：设点A 关于l 的对称点为),(00y x A '，则000043
,12
14236022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪⋅+⋅-=⎪⎩
即00000029,3211013
232028.
13x x y x y y ⎧=-⎪-+=⎧⎪⎨⎨
+-=⎩⎪=⎪⎩
解得 所求直线方程为6228621313(3)29
13313
y x -
-
=-+，即1326850x y -+=． 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题． 三．解答题：
15．过点P (2，1)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程． 解：（1）设直线的方程为
1,(0,0),x y a b a b +=>>21
1a b
+=.
∴28ab b a ab =+≥≥, ∴8OA OB ab •=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a =2b ，即a =4，b =2时取得等号。

故所求直线的方程为：x +2y -4=0．
变式：过点P (2，1)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求PA PB ⋅取得最小值时直线的方程．
解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y -1=k (x -2),则A 1
(2,0),(0,12)B k
-- 由
1
201200k k k
-
>-><及得，∴PA PB ⋅4≥
当且仅当22
1
1k k k =
=-即时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4时直线的方程为x+y -3=0． 16．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000
（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低． 解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以40075c x y =++．
（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨
++≥⎩及得，46320
3130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩
， 所以75450.x y +≥所以当且仅当4632050
, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩
即时等号成立．
所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．
点评：本题为线性规划问题，用解析几何的
观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的
区域00463203130
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最
大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．17．直线l 过P （-2，1）且斜率为k (k >1)，将直线l m , 若直线l 和m 分别与y 轴交于Q 、R 两点，则当k 为何值时，△PQR 的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程. 【解】：设直线l 的倾斜角为α,则直线m 的倾斜角为45α+︒．
1tan 1tan(45)1tan 1m k
k k
ααα++=︒+=
=
--， ∴直线l 的方程为1(2)y k x -=+，直线m 的方程为11(2)1k
y x k
+-=
+- 令x =0得321,1Q R k
y k
y k
+=+
=-，∴212(1)||||21PQR Q R P k S y y x k
∆+=-=-
∵
k>1 , ∴22
2(1)12
|
|22[(1)2]1)111
PQR k k S k k k k ∆++====-+
+≥---
由2
11(11
k k k k -===-得舍掉）,∴当1k 时△PQR 的面积最小，最小值为
1)．此时直线l 的方程是1)30x y -+=．
18．如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA 的方向行驶，其中sin α.
北 东
B
α N
O
C
A β
在距离O 地a 5（a 为正常数）千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3
sin 5
β=. 现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇。

经测算，当两车行驶的路线与OB 所围成的OBC ∆面积S 最小时，抢救最及时．
（1）在以O 为原点，正北方向为y 轴的平面直 角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程； （2）求S 关于p 的函数关系式()S f p =； （3）当p 为何值时，抢救最及时？
解：（1）由10sin 10α=得1
tan 3
α=，所以直线
OA 的方程为3y x =．
（2）设00(,)N x y ，则05sin 3,x a a β== 05cos 4y a a β==，所以(3,4)N a a ．
又(,0)B p ，所以直线BC 的方程为4()3a
y x p a p
=--．
由34()
3y x
a
y x p a p =⎧⎪
⎨=-⎪-⎩
得C 的纵坐标125()353c ap y p a p a =>-． 所以OBC ∆的面积2165
()2353
c ap S OB y p a p a ==
>- （3）由（2）22266635139355()1020ap a a S a p a a p p p a a
===
----+，因为5
3p a >，所以1305p a <<． 所以1310p a =时，2min 403S a =，所以当103
a p =
千米时，抢救最及时． 19．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.
由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n ∠xCA =
sin cos a a x αα-,sin tan .cos BC b k xCB b x
α
α=∠=-
于是ta n ∠ACB =1BC AC BC AC k k k k -+⋅2()sin ()sin ()cos ()cos a b x a b ab
ab a b x x x a b x
αα
αα-⋅-⋅==
-+++-+⋅
由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则ta n ∠ACB
,当且仅当ab
x =x ，
即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离
处时，视角最大，即看画效果最佳．
20．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合(如图所示)．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值．
解：(I)（1）当0k =时，此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程12
y =
． （2）当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)所以A 与G 关于折痕
所在的直线对称，有1
1,1OG k k k a k a
⋅=-=-⇒=-
故G 点坐标为(,1)G k -，从而折痕所在的直线与OG
的交点坐标（线段OG 的中点）为1
(,)22
k M -，折痕
所在的直线方程1()22
k
y k x -=+，即2122k y kx =++．
由(1)(2)得折痕所在的直线方程为2
1
22
k y kx =++．
（II ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为2211(0,),(,0)22k k N P k ++-，解21
12
k +≤得
10k -≤≤；解21
22k k
+-≤
得22k -≤≤-，当A 与D 重合时，k = -2． （1
）当20k -≤≤时，直线交BC 于2'
1(2,2)22
k P k ++，
22'22
22112[(2)]4444(732222
k k y P N k k +==+-++=+≤+-=-
（2
）当12k -≤≤-+
22232
22211(1)()()224k k k y PN k k +++==+-=
，222234
3(1)24(1)816k k k k k
y k +⋅⋅-+⋅'= 令0y '=
解得k =此时227
16
y PN ==
，∴2max 32PN =-
（3）当21k -≤≤-时，直线交DC 于1(,1)22
k
N k '-
2'22
221111[()]1112222k k y PN k k k
+==+---=+≤+=
．。