湖北省黄梅一中2014届高三上学期周末训练(7)数学试题

第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线为（ ）
A.1y x =+
B. 1y =
C. 1y ex =+
D.2．设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则（ ）
A. a c b <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. b a c <<
3．设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图象可以是（ ）
4．已知F 是抛物线2
y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，且，则线段AB 的中点
）
A ．1 C 5．已知角α的终边过点0),3,(≠--a a a P ，则=αsin ( )
6．设函数3ln )(,2)(2
-+=-+=x x x g x e x f x
，若实数b a ,满足0)(,0)(==b g a f ，则( ) A.()0()g a f b << B.()()f b o g a << C.0()()g a f b <<
D.()0()f b g a <<
7．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；
② 若βαβα//,,//m m 则⊂；
③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,； ④ 若//,//,//m m αβαβ则
其中正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①②
C. ③④
D. ②③
8．设函数2
1,,2()1log ,2
x a x f x x x ⎧
-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1
-，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1[,)2-
+∞ B. 1(,)
2-+∞
C. 1
(,)2-∞- D. [1,)-+∞ 9．关于x 的不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要不充分条件是( ) A ．1a < B ．1a ≤ C ．01a << D ．0a < 10．若函数()(0
x
x
f x ka a
a -=->且)1a ≠在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则
()()log a g x x k =+的图象是( )
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
11．盒中装有形状、大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 .
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，离心率为
过点1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为 .
13．已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0
),1ln(0
,2)(2x x x x x x f 若，则a 的取值范围是 .
14．在平面直角坐标系xoy 中，已知(3,1)OA =-，(0,2)OB =．若0OC OB =，AC OB λ=，则实数
λ的值为__________．
三、解答题
15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点．
（Ⅰ）求证: 1//B C 平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD B --的余弦值．
16．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/，其中36x <<，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 17
（1）当a=1时，求曲线在点（3，(3)f ）处的切线方程 （2）求函数()f x 的单调递增区间
18．已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,
2, 3.
n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩
(1)若06n a <≤，求证：106n a +<≤;
(2)若*
,a k N ∈，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a .
19．已知1x =是
()2ln b
f x x x x =+
+的一个极值点.
（Ⅰ） 求b 的值；
（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅲ）设
3
()()g x f x x =-
，试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由.
20．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
（1）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元()1540x ≤≤，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元()1540x ≤≤.试求()f x 和()g x . （2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？
参考答案
【解析】
试题分析：一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1. 由对数的性质知：50log 41<<，250(log 3)1<<，4log 51>。

又255(log 3)log 3<，
55log 3log 4<
所以b c a <<.
解答本题目易进入作差比较的误区；其次是易弄错25(log 3)与5log 3的大小. 考点：对数函数的单调性及对数运算性质，以及比较数的大小的方法. 3．B 【解析】
试题分析：由()()f x f x -=知：该函数为奇函数；由(2)()f x f x +=知，该函数是周期为2的周期函数，故选B.
考点：函数的奇偶性、周期性及其图象特征. 4．C 【解析】
试题分析：线段AB 的中点到y 轴的距离即线段AB 的中点的横坐标的绝对值，故只需求线段
1122(,),(,)A x y B x y ，则， 由已知：
考点：抛物线的定义（焦半径公式），中点坐标公式及圆锥曲线中的基本计算.
5．D
考点：三角函数值的求法.
6．A 【解析】
试题分析：由已知得(0)10f =-<，(1)10f e =->，∴01a <<；
(1)20g =-<，(2)ln 210g =+>，∴12b <<,
∴012a b <<<<,
∵()f x ，()g x 在()0,+∞上是单调增函数，∴()()()()0g a g b f a f b <==<. 考点：方程的根与函数的零点. 7．D. 【解析】
试题分析：根据题意若,m βαβ⊂⊥，则m P α⋂=或//m α，故①错误；若//,m αβα⊂，则//m β，故②正确；若,n n αβ⊥⊥，则//αβ，又m α⊥，所以m β⊥，故③正确；若
//,//m m αβ，则//αβ或l α
β⋂=，故④不正确.
考点：线面关系和面面关系.
8．A. 【解析】
试题分析：由题意，函数()f x 有最小值为
考点：分段函数. 9．B 【解析】
试题分析：2210ax x -+<解集非空的,②0a ≠ 时,当()2
2410a --⨯> 即1a < 时,不等式解集非空,而1a = 时2210x x -+<解
集为空集,综上有不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要不充分条件是1a ≤. 考点：分类讨论数学思想方法,二次不等式的解法.
10．C
试题分析：函数()(0x
x
f x ka a
a -=->且)1a ≠为奇函数()x x x x ka a ka a --⇒-=-- 对
x R ∈ 恒成立，即()()()()11010x x x x k a k a k a a ---+-=⇔-+=对x R ∈ 恒成立1k ⇒= ; 函数()(0x x f x a a a -=->且)1a ≠为增函数⇒ 1a > ；所以()()()log 11a g x x a =+>，所以图象为()C .
考点：奇函数的定义及应用,函数单调性的判断,对数函数指数函数的性质及图象.
11【解析】
试题分析：从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.2个球颜色不同，共有11
326C C =种选
法. 考点：古典概型及组合数的计算.
12【解析】 试
题
分
析
：
在
椭
圆
中
，
2
ABF ∆的周长为
4a
，所以
416,4a a ==.
考点：椭圆的第一定义，离心率及椭圆的方程. 13．[]0,2- 【解析】
试题分析：当0=a 时，
当0>a 时，若0x ≤，显然成立，所以只要0>x 时，
ax x ≥+)1ln(成立即可，比较对数与一次函数的增长速度，不存在0>a 使ax x ≥+)1ln(在
0>x 恒成立；
当0<a 时，所以只要0<x 时22x x ax -≥，解得2a x ≥-，∴2a ≥-,
∴20a -≤≤.
考点：不等式，对数不等式的解法. 14．2 【解析】
试题分析：∵(3,1)OA =-，(0,2)OB =，∴(3,3)AB OB OA =-=-，设(,)OC m n =， 可得330OC AB m n =-+=…①，又∵(3,1)AC OC OA m n =-=-+，AC OB λ=，∴
30m -=且12n λ+=…②
将①②联解，可得3m =-，3n =-，2λ=，故答案为：2.
考点：1.
平面向量数量积的运算；2.平行向量与共线向量． 15．（Ⅰ）详见解析；【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行；
（Ⅱ）首先应考虑作出平面1DBB 截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为11A DD ∠. 本题也可用向量解决.
试题解析：（Ⅰ）法一:连结1AB ，交1A B 于O ，连结DO ，则1//B C DO ，从而 1//B C 平面
1A BD .
O
A
B
C
B 1
C 1A 1
D
D 1
A
B
C B 1
C 1
A 1
D
D 1
A 1
C 1
B 1
C
B
A
D
法二:取11A C 的中点1D ,连结1CD ,易得平面11CB D 1//DBA ,从而 1//B C 平面1A BD . （Ⅱ）11A C 的中点1D ,连结1DD 、11D B ,易得平面11DBB D 就是平面1DBB ,
又BD ⊥平面11ACC A ,所以11,BD A D BD DD ⊥⊥,所以11A DD ∠就是该二面角的平面角.
考点：立体几何中线面平行的证明及二面角的计算. 16．（Ⅰ）2a =;（Ⅱ）每日所获最大利润为: (4)42f =
【解析】
试题分析：（Ⅰ）题中给出含参数的解析式，都要给一组对应值来求其中的参数.在本题中将
5x =，11y =代入即可求出参数a 的值；
（Ⅱ）要求利润的最大值，就需要列出利润与销售价格间的关系式. 每日所获利润
:
导数法和均值不等式法是求最值的两种基本方法.在本题中用这两种方法均可. 试题解析：（Ⅰ）因为5x =时11y =,
（
Ⅱ
）
法
一
、
每
日
所
获
利
润
:
2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6),36f x x x x x x x '=-+--=--<<
由此可得: ()f x 在(3,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减. 所以4x =时,()f x 取得最大值(4)42f =
考点：本题考查函数的应用及求最值的方法. 17⑵见解析 【解析】
试题分析：⑴求曲线在某一点的切线方程，要求出斜率，则要先求出导函数，有斜率再求切线方程时用斜截式就可以直接求出；⑵一般求函数的单调区间都会和函数的导函数相联系，在本题中要注意还有参数a ，所以在对导函数进行讨论时要对a 的取值进行讨论，要求函数的单调增区间即是求其导函数大于0时对应的x 的取值集合,关键是利用分类讨论的思想对a 进行讨论，注意不要漏掉任何一种可能的情况.
（2令[]()(1)(1)g x ax a x =----, .6分
当0,a =()1g x x =-，(1,)x ∈+∞时，()0g x >，∴()0f x '>，∴()f x 单调递增, .7分
, .11分
当1a >时，(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '>单调递增, .12分 考点：利用导数判断函数的单调性，对数函数的导函数的求法，直线的方程.
18．（1）证明过程详见解析；（2）当421，，
a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*； 当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N*． 【解析】
试题分析：本题考查数列与函数的综合知识.第一问，将n a 从3断开，分成两部分，分别求出
1n a +的范围；第二问，分别验证每一种情况.
试题解析：（1）当(0,3]n a ∈时，则12n n a a +=∈(0,6]，当(3,6]n a ∈时，则
13(0,3]n n a a +=-∈,
故1(0,6]n a +∈，所以当06n a <≤时，总有106n a +<≤． 8分 （2）①当1a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的*
3,k t t N =∈． 同理可得，当2a =或4时，满足题意的3,k t t =∈N*． 当3a =或6时，满足题意的2,k t t =∈N*．
②当5a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的k 不存在． ③当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在．
综上得：当124a =时，满足题意的3,k t t =∈N*； 当36a =时，满足题意的2,k t t =∈N*． 16分.
考点：1.求分段函数的值域；2.恒成立问题；3.分类讨论思想.
19．（Ⅰ）3；（Ⅱ）(0,1]；（Ⅲ）2条.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对原函数求导，则(1)0f '=，即得b 的值；（Ⅱ）求当()0f x '<时的x 的
取值范围，就得函数的单调减区间；（Ⅲ）易知
3()()2ln g x f x x x x =-=+，设过点（2，5）与曲线()g x 相切的切点为00(,)x y ，
所以0005()2y g x x -'=-，000000122ln 5(2)(2),ln 20x x x x x x +-=+-∴
+-=，利用导数求函数()h x 的单调区间及极值，可得()h x 与x 轴的交点个数，从而得结论.
试题解析：（I ）因为1x =是()2ln b f x x x x =++的一个极值点，所(1)0,3f b '==，
经检验，适合题意，所以3b =. 3分
（II ）定义域为(0,)+∞，22231233()20,0,12x x f x x x x x +-'=-+<<-<<，
所以函数的单调递减区间为(0,1] 6分
（III ）
3()()2ln g x f x x x x =-=+，设过点（2，5）与曲线()g x 相切的切点为00(,)x y 所以0005()2y g x x -'=-，000000122ln 5(2)(2),ln 20x x x x x x +-=+-∴+-= 9分
令2212()ln 2,()0,2h x x h x x x x x
'=+
-∴=-==，所()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 因为2212()2ln 20,(2)ln 210,()02h h h e e
=->=-<=>，所以()h x 与x 轴有两个交点， 所以过点(2,5)可作2条直线与曲线()y g x =相切. 12分
考点：1、利用导数求函数的极值和单调性；2、导数与基本函数的综合应用.
20．(1)见解析(2) 当1518x ≤<时，选甲家;当18x =时，选甲家和乙家都可以；
当1840x <≤时，选乙家.
【解析】
试题分析：(1)利用已知条件容易求出()f x ,()g x .(2)建立等式()f x ()g x =解此方程得18x =由此根判断()f x 与()g x 的大小即可.
试题解析：(1)()()51540f x x x =≤≤, 2分
()g x = 90,15x 30,2x 30,30x 40.
≤≤⎧⎨+<≤⎩ 4分
(2)由()()f x g x =得15x 30,30x 40,5x 905x 2x 30≤≤<≤⎧⎧⎨⎨==+⎩⎩
或， 即18x =或10x = (舍). 6分 当1518x ≤<时，()()5900f x g x x -=-<,
()()f x g x ∴<,即选甲家. 8分 当18x =时，()()f x g x ∴=,即选甲家和乙家都可以. 9分 当1830x ≤≤时，()()5900f x g x x -=->,
()()f x g x ∴>,即选乙家. 11分 当3040x <≤时，()()()52303300f x g x x x x -=-+=->,
()()f x g x ∴>,即选乙家. 13分 综上所述:当1518x ≤<时，选甲家;当18x =时，选甲家和乙家都可以；
当1840x <≤时，选乙家. 14分
考点：函数应用,分段函数,解方程及不等式.。