2019-2020年高中数学人教A版必修2作业与测评：周周回馈练七+Word版含解析

周周回馈练
对应学生用书P75
一、选择题
1．点P(2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，－5) C ．(－5，－2) D ．(－2，－5) 答案 C
解析 解法一：设P(2，5)和Q(m ，n)关于直线y ＝－x 对称，则PQ 的中点R ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋22，n ＋52在直线y ＝－x 上，且k PQ ×(－1)＝－1． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋22＋n ＋5
2＝0，n －5
m －2
×(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－5，
n ＝－2.
∴对称点Q 的坐标是(－5，－2)．
解法二(排除法)：设P(2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ，而(－2，－5)与P(2，5)的连线不垂直于直线x ＋y ＝0，故选C ．
2．点P(m －n ，－m)到直线x m ＋y
n ＝1的距离等于( ) A ．m 2＋n 2 B ．m 2－n 2 C ．n 2－m 2 D ．m 2±n 2 答案 A
解析 直线化为一般式为nx ＋my －mn ＝0， 所求距离d ＝
|n (m －n )＋m (－m )－mn|
m 2＋n 2
＝
m 2＋n 2．
3．直线3x ＋y －3＝0与直线6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A ．4
B ．21313
C ．51326
D ．710
20 答案 D
解析 在直线6x ＋my ＋1＝0上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－16，0，则所求距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－332
＋1
＝
710
20，选D ．
4．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．23 D ．－23 答案 C
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－9，
y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交
于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝2
3．
5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8 答案 B
解析 设原点为O ，由两直线垂直，得－1
a ×2＝－1，解得a ＝2，所以线段AB 的中点P 的坐标为(0，5)，则|OP|＝5．
在Rt △OAB 中，斜边|AB|＝2|OP|＝2×5＝10．
6．设两条直线的方程分别为x ＋3y ＋a ＝0，x ＋3y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋2x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤1
2，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为( )
A ．2－22
B ．1
C ．2
2 D ．4－144 答案 A
解析 ∵a ，b 是方程x 2＋2x ＋c ＝0的两个实根， ∴a ＋b ＝－2，ab ＝c ．又∵0≤c ≤1
2， ∴|a －b|＝
(a ＋b )2－4ab ＝
4－4c ∈[2，2]，
∴两条平行直线之间的距离d ＝|a －b|2∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
22，1．
∴这两条平行直线之间的距离的最大值和最小值的差为1－22＝2－2
2．故选A ．
二、填空题
7．直线x ＋3y －2＝0与直线2x ＋y －4＝0的交点坐标是________． 答案 (2，0)
解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝0.
即直线x ＋3y －2＝0与直线2x ＋y －4＝0的交点坐标是(2，0)．
8．当m 变化时，两条平行直线3x －4y ＋m －1＝0和3x －4y ＋m 2＝0间的距离的最小值等于________．
答案 3
20
解析 d ＝|m 2
－m ＋1|5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋345
≥3
20．
9．一直线过点P(2，0)，且点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2，
433到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
答案 90°或30°
解析 当过点P 的直线垂直于x 轴时，点Q 到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P 的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，且为k ，则过
点P 的直线为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，由d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－2k －433－2k
k 2
＋1＝4，解得
k ＝
3
3
，此时直线的倾斜角为30°． 三、解答题
10．已知直线l 经过点P(－2，5)，且斜率为－3
4． (1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解 (1)由直线的点斜式，得 y －5＝－3
4(x ＋2)，
整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0． (2)由直线m 与直线l 平行，
可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0(C ≠－14)， 由点到直线的距离公式，得|3×(－2)＋4×5＋C|
32＋42＝3．
即|14＋C|
5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，
故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．
11．已知等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且|BD|＝1
3|BC|，|CE|＝1
3|CA|，AD ，BE 相交于点P ，求证：AP ⊥CP ．
证明 以B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，令线段|BC|＝6，建立坐标系，则A(3，33)，B(0，0)，C(6，0)，
由已知得：D(2，0)，E(5，3)， 直线AD 的方程为y ＝33(x －2)，
直线BE 的方程为y ＝3
5x ，
解以上两方程联立的方程组，得x ＝157，y ＝33
7， 所以，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
157，
337， 直线PC 的斜率k PC ＝－3
9， 直线AP 的斜率k AP ＝33，
因为k AP ×k PC ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－39＝－1，
所以，AP ⊥CP ．
12．已知△ABC 中，A(1，1)，B(m ，m)(1<m<4)，C(4，2)，求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？
解 ∵A(1，1)，C(4，2)， ∴|AC|＝
(4－1)2＋(2－1)2＝10．
又直线AC 方程为x －3y ＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m ，m)到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|
10
．
∴S ＝12|AC|·d ＝12|m －3m ＋2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝
⎛
⎭⎪⎫m －322－14． ∵1<m<4，
∴1<m<2，－12<m －32<1
2， ∴0≤⎝ ⎛
⎭⎪⎫m －322<14，
∴S ＝12⎣
⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛
⎭⎪⎫m －322，
∴当m－3
2
＝0，即m＝9
4
时，S最大．
故当m＝9
4
时，△ABC的面积最大．。