初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案解析

初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案解析
一、选择题
1．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ）
A ．240120420x x -=-
B ．240120420x x -=+
C ．120240420
x x -=- D ．120240420x x -=+ 【答案】D
【解析】
【分析】
设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了
4列出方程即可解答．
【详解】 解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，
根据题意可得：
120240420
x x -=+ 故选：D
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．
2．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：
， 故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．
3．方程
24
2
22
x
x
x x
=-+
--
的解为（）
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
【答案】C
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：2x=（x﹣2）2+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]=0，
解得：x=2或x=4，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，
故选C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知关于x的分式方程12
1
11
m
x x
-
-=
--
的解是正数，则m的取值范围是()
A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6
【答案】A
【解析】
【详解】
方程两边同时乘以x-1得，
1-m-（x-1）+2=0，
解得x=4-m．
∵x为正数，
∴4-m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4-m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．
5．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数
a使关于x的不等式组
()
1
2421
2
21
2
3
x a
x
x
⎧
--≤
⎪⎪
⎨
-
⎪<+
⎪⎩
至少有四个整数解，且关于x的分式方程
233
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率．
【详解】
解不等式组得：7x a x ≤⎧⎨>-⎩
， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，
∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，
分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3，
解得：x ＝52
a - ， ∵分式方程有非负整数解，
∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，
∴P ＝49
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
6．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）
A ．400400(130%)x x
-+＝4 B ．400400(130%)x x -+＝4 C ．400400(130%)x x --＝4 D ．4004004(130%)x x
-=- 【答案】A
【解析】
【分析】
根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程．
【详解】
设每月原计划生产的医疗器械有x 件， 根据题意，得：()4004004130%x x
-=+ 故选A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝
21a b a -．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1
B ．13
C ．﹣1
D ．-13 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=
21121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选A ．
【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．若关于x 的分式方程
233x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．
【详解】
去分母得：x-2=m ，
∴x=2+m ∵分式方程
233
x m x x -=--有增根， ∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以m=1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
9．解分式方程11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"
B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故选D ．
考点：解分式方程．
10．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，则a 的值为( )
A ．1a =-
B ．7a =-
C ．1a =
D ．13
a = 【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等可得
11
=
423
a a
-+
，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，
进而得到a的数量关系．
【详解】
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，
故
11
+
423
a a
-+
=0，
解得：a=1 3 .
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.
11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）
A．10001000
30
x x
-
+
=2 B．
10001000
30
x x
-
+
=2
C．10001000
30
x x
-
-
=2 D．
10001000
30
x x
-
-
=2
【答案】A
【解析】
分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：10001000
30
x x
-
+
=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
12．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()
A．1010
15
2
x x
-=B．
1010
15
2x x
-=C．
10101
24
x x
-=D．
10101
24
x x
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15
=分钟”列出方程即可得．
【详解】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，
∴所列方程正确的是：10101
24
x x
-=，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．
13．关于x的方程无解，则m的值为（）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】
解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
14．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km，现在高速路程缩短了20km，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/
xkm h，则根据题意可列方程为（）
A．15020150
1.5
2.5
x x
-
-=B．
15015020
1.5
2.5x x
-
-=
C．15015020
1.5
2.5
x x
-
-=D．
15020150
1.5
2.5x x
-
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案.【详解】
根据题意可得，走高速所用时间15020
2.5x
-
小时，走国道所用时间
150
x
小时
即15015020
1.5
2.5
x x
-
-=
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等
式是解决本题的关键.
15．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
A．4050
12
x x
=
-
B．
4050
12
x x
=
-
C．
4050
12
x x
=
+
D．
4050
12
x x
=
+
【答案】B
【解析】
试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，
由题意得，
4050
12
x x
=
-
．
故选B．
16．方程
31
1
44
x
x x
-
-=
--
的解是（）
A．－3 B．3 C．4 D．－4
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：3-x-x+4=1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】
此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．若分式方程2+1kx
x2
-
-
＝
1
2x
-
有增根，则k的值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k即可.【详解】
解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1，
由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1，
解得：k ＝1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.
18．解分式方程
21211
x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案；
【详解】
解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1）
去分母得：x +1＝2，
故答案为D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
19．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为( )
A ．
30x ＝456x + B ．30x ＝456x - C ．306x -＝45x
D ．306x +＝45x 【答案】A
【解析】
【分析】
设甲每小时做x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间
相等即可列方程.
【详解】 设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个， 根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得
30x =456
x +. 故选A ．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
20．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()22
240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，
解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y
+-=-- 解得y=2
a +2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，
符合条件的a 的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．。