共和县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

共和县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1． 用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ） A ．1
B ．7
C ．﹣7
D ．﹣5
2．
已知集合
表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P
的坐标满足不等式x 2+y 2
≤2的概率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
3． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α
=，则cos （α
+）等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'
(1)()0x f x -<，设(0)a f =
，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b <<
5． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知集合
，则
A0或 B0或3
C1或
D1或3
7． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
8． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A． B．（4+π）C． D．
9．（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）
C．D．
10．已知m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β
11．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）
A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点
B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点
C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点
D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
12．边长为2的正方形ABCD的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（）A．3πB．5πC．12πD．20π
二、填空题
13．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为．
14．设()x
x
f x e =
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________. 15．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
16．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 17．已知函数f （x ）=cosxsinx ，给出下列四个结论： ①若f （x 1）=﹣f （x 2），则x 1=﹣x 2； ②f （x ）的最小正周期是2π；
③f （x ）在区间[﹣
，
]上是增函数；
④f （x ）的图象关于直线x=
对称．
其中正确的结论是 ．
18．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；
②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．
三、解答题
19．已知f （x ）=lg （x+1）
（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；
（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g （x ）=f （x ），求函数y=g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数．
20．若已知，求sinx 的值．
21．双曲线C 与椭圆+
=1有相同的焦点，直线y=
x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．
22．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
3
3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2
7
<n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重
点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
23．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t 0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率
（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t 0，试确定t 0的取值范围
24．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
25．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．
26．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1 F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P FQ =+，求直线m 的方程．
共和县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2
=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2，
∴v0=a6=1，
v1=v0x+a5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，
故选C．
2．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
则对应的区域为△AOB，
由，解得，即B（4，﹣4），
由，解得，即A（，），
直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），
则△OAB的面积S==，
点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，
则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．
3．【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，
则=，又sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=（负值舍去）．
则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不
f x满足：
可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称． 5． 【答案】B
【解析】解：根据题意，M ∩N={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}∩{（x ，y ）|x 2
﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}═{（x ，y ）
|} 将x 2﹣y=0代入x 2+y 2
=1， 得y 2
+y ﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M ∩N 中元素的个数为2个， 故选B ．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
6． 【答案】B
【解析】
，
，故
或
，解得
或
或
，又根据集合元素的互异性，所以
或。

7． 【答案】B
【解析】解：假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n
∴m ∥l 且n ∥l
由平行公理4得m ∥n
这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾 又因为点P 在平面内 所以点P 且平行于l 的直线有一条且在平面内
所以假设错误． 故选B ．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
8． 【答案】 D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=
，
∴几何体的体积是=
，
故选D ．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
9．【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，
即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立
若m+1=0，显然不成立
若m+1≠0，则
解得a．
故选C．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
10．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
11．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），
∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）
∴F'（x0）=0，
又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，
∴x=x0是F（x）的极小值点
故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
12．【答案】C
【解析】解：∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线长为=2，
∵球心到平面ABCD 的距离为1，
∴球的半径R==
，
则此球的表面积为S=4πR 2
=12π．
故选：C ．
【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 60° ．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴
=3，
∴cos ＜＞=
=
∵
∴与的夹角为60°． 故答案为：60° 【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的
表示式．
14．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 15．【答案】
【解析】解：因为抛物线y 2
=48x 的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F （﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a 2+b 2=c 2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x ，
所以=
，
解得a 2=36，b 2=108， 所以双曲线的方程为．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．
16．【答案】3x﹣y﹣11=0．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
17．【答案】③④．
【解析】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，
对于①，当f（x1）=﹣f（x2）时，sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）
∴2x1=﹣2x2+2kπ，即x1+x2=kπ，k∈Z，故①错误；
对于②，由函数f（x）=sin2x知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣+2π≤2x≤+2kπ，k∈Z得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；
对于④，将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，
故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．
18．【答案】①②④．
【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积
最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），
要使函数有意义，则
由解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．
由，得：．
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
20．【答案】
【解析】解：∵，∴＜＜2π，
∴sin（）=﹣=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin
=﹣﹣=﹣．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）
由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2．
又y=x为双曲线C的一条渐近线，
∴=
解得a=1，b=，
∴双曲线C的方程为．
22．【答案】
【解析】
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，
一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，
记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A，B，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C，D，E，从5人中选取2人，得到基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10个基本事件，
记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M，
其中事件M包含AC，AD，AE，BD，BC，BE，共有6个基本事件，
所以P（M）==，
即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．
（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P1=0.02，
课外阅读时间落在[2，4）的频率为P2=0.03，
课外阅读时间落在[4，6）的频率为P3=0.05，
课外阅读时间落在[6，8）的频率为P1=0.2，
因为P1+P2+P3＜0.2，且P1+P2+P3+P4＞0.2，
故t0∈[6，8），
所以P1+P2+P3+0.1×（t0﹣6）=0.2，
解得t0=7，
所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．
【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
25．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD
中，由正弦定理，得，解得
BD=…
故BC=15，
从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2
=9+225﹣2×3×15
×（﹣）
=
，所以
AC=
…
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
26．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考
查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
1342
2=+y x 得2
3±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q 直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11
PQ F P FQ ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =- 由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k
k x x +-=⋅ 由222
11PQ F P FQ =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22
222
=+⋅-+++-+k
k k k k k ，即0972=-k
解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±
=x y。