人教版七年级下册数学期末复习压轴题 解答题考试试卷及答案

人教版七年级下册数学期末复习压轴题 解答题考试试卷及答案
一、解答题
1．已知m 2,3n a a ==，求①m n a +的值； ②3m-2n a 的值
2．已知关于x 的方程3m x +=的解满足325x y a
x y a
-=-⎧⎨+=⎩，若15y -<<，求实数m 的取值
范围．
3．阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫
做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222
)2(a ab b a b ±+=±.例如：2224213x x x x -+=-++2
(1)3x =-+是224x x -+的一种形式的配方；所以，
()2
13x -+，2(2)x -2x +，2
2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方；
（2）已知22
610340x y x y +-++=，求32x y -的值；
（3）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.
4．南山植物园中现有A ，B 两个园区．已知A 园区为长方形，长为(x ＋y)米，宽为(x －y)米；B 园区为正方形，边长为(x ＋3y)米．
(1)请用代数式表示A ，B 两园区的面积之和并化简．
(2)现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11x －y)米，宽减少(x －2y)米，整改后A 园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米． ①求x ，y 的值；
②若A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C ，D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
求整改后A ，B 两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入) 5．阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22020的值．
解：设S ＝1+2+22+23+24+...+22020，将等式两边同时乘以2得， 2S ＝2+22+23+24+25+ (22021)
将下式减去上式，得2S ﹣S ＝22021﹣1，即S ＝22021﹣1．
即1+2+22+23+24+...+22020＝22021﹣1 仿照此法计算： （1）1+3+32+33+ (320)
（2）231001111
1 (2222)
+++++． 6．解方程组：
（1）25
31
y x x y =-⎧⎨
+=-⎩；
（2）300
0.050.530.25300
x y x y +=⎧⎨
+=⨯⎩．
7．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在
ABC ∆中，点I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点，点D 是MBC ∠、NCB ∠平分线的交点，,BI DC 的延长线交于点E ．
（1）若50BAC ∠=︒，则BIC ∠= °；
（2）若BAC x ∠=︒ （090x <<），则当ACB ∠等于多少度（用含x 的代数式表示）时，//CE AB ，并说明理由； （3）若3D E ∠=∠，求BAC ∠的度数． 8．计算：
（1）()2
202011 3.142π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
（2）()2462322x y x xy --
（3）()()2
2342a b a a b --- （4）()()2323m n m n -++-
9．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处. （1）若140∠=︒，2∠=________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.
②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．
（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.
10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC 与∠BAC 的角平分线相交于点P ，连接CP ，过点P 作DE ⊥CP 分别交AC 、BC 于点D 、E ，
(1)若∠BAC ＝40°，求∠APB 与∠ADP 度数；
(2)探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB ＝∠ADP ，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．
11．已知：直线//AB CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，点M 为两平行线内部一点． （1）如图1，∠AEM ，∠M ，∠CFM 的数量关系为________；(直接写出答案) （2）如图2，∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ，若∠EMF 等于130°，求∠ENF 的度数；
（3）如图3，点G 为直线CD 上一点，延长GM 交直线AB 于点Q ，点P 为MG 上一点，射线PF 、EH 相交于点H ，满足13PFG MFG ∠=∠，1
3
BEH BEM ∠=∠，设∠EMF =α，求∠H 的度数(用含α的代数式表示)．
12．计算： （1）2
01
()
2016|5|2
----；
（2）（3a 2）2﹣a 2•2a 2+（﹣2a 3）2+a 2．
13．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？
并说明理由；
（3）已知P、Q为有理数，且关于x、y的方程组
3
33 x y
p q
x y p q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
解为坐标的点(),
B x y
是“爱心点”，求p、q的值．
14．（1）解二元一次方程组
34
23
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
；
（2）解不等式组
29
42
13
33
x x
x x
<-
⎧
⎪
⎨
+≥-
⎪⎩
．
15．如图1，在ABC中，BD平分ABC
∠，CD平分ACB
∠．
(1)若80
A
∠=︒，则BDC
∠的度数为______；
(2)若Aα
∠=，直线MN经过点D．
①如图2，若//
MN AB，求NDC MDB
∠-∠的度数(用含α的代数式表示)；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段,
BC AC于点,
M N，试问在旋转过程中NDC MDB
∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB
∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出NDC
∠与MDB
∠的关系(用含α的代数式表示)．
16．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出()2
a b
+，()2
a b
-，ab之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若6
x y
+=，
11
4
x y⋅=，则x y
-=；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式()()2
2
22252a b a b a ab b ++=++．在图形上把每一部分的面积标写清楚．
17．装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A 、B 型板材若干块，A 型板材规格是a ⨯b ，B 型板材规格是b ⨯b ．现只能购得规格是150⨯b 的标准板材．（单位：cm ）
（1）若设a =60cm ，b =30cm ．一张标准板材尽可能多的裁出A 型、B 型板材，共有下表三种裁法，下图是裁法一的裁剪示意图．
裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 1 2 0 B 型板材块数
3
m
n
则上表中， m =___________， n =__________；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C 型板材，其规格是a ⨯a ，并做成如下图的背景墙．请写出下图中所表示的等式：__________；
(3)若给定一个二次三项式2a 2+5ab +3b 2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量） 18．因式分解： （1）a 3﹣a ； （2）4ab 2﹣4a 2b ﹣b 3； （3）a 2（x ﹣y ）﹣9b 2（x ﹣y ）； （4）（y 2﹣1）2+6 （1﹣y 2）+9． 19．计算： （1）（y 3）3÷y 6；
（2）2
021()
(3)2
π--+-．
20．仔细阅读下列解题过程：
若2222690a ab b b ++-+=，求a b 、的值． 解：
2222690a ab b b ++-+=
222222690()(3)003033
a a
b b b b a b b a b b a b ∴+++-+=∴++-=∴+=-=∴=-=，，
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知22
22210x xy y y -+-+=，求2x y +的值；
（2）已知2254210a b ab b +--+=，求a b 、的值； （3）若248200m n mn t t =++-+=，，求2m t n -的值．
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一、解答题
1．①6；②89
【解析】 解:①
②
2．21m -<<
【分析】
先解方程组325x y a
x y a -=-⎧⎨+=⎩
，消去a 用含x 的式子表示y,再将x=3-m 代入y 中，从而得到用
含m 的式子表示y,在根据15y -<<，解关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.
【详解】
解：325x y a x y a -=-⎧⎨+=⎩①②
，①5⨯+②得6315x y -=即25y x =-③
由3m x +=得3x m =-，代入③得，12y m =- 又因为15y -<<，则1125m -<-<，解得21m -<< 【点睛】
本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．
3．（1）2
2
49(2)5x x x -+=-+；2
2
49(3)10x x x x -+=+-；
2249(3)2x x x x -+=-+；（2）19；（3）4
【分析】
（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项“分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将x 2+y 2-6x+10y+34配方，根据平方的非负性可得x 和y 的值，可解答； （3）通过配方后，求得a ，b ，c 的值，再代入代数式求值． 【详解】
解：（1）249x x -+的三种配方分别为：
2249(2)5x x x -+=-+； 2249(3)10x x x x -+=+-；
2249(3)2x x x x -+=-+（或2
222549339
x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭；
（2）∵x 2+y 2-6x+10y+34=x 2-6x+9+y 2+10y+25=（x-3）2+（y+5）2=0， ∴x-3=0，y+5=0， ∴x=3，y=-5，
∴3x-2y=3×3-2×（-5）=19
（3）2223240a b c ab b c ++---+=
()222213
4421044
a a
b b b b
c c -++-++-+=
2
2213(2)(1)024a b b c ⎛
⎫-+-+-=
⎪⎝
⎭ ∴102a b -
=，3
(2)04
b -=，10
c -= ∴1a =，2b =，1c =， 则4a b c ++= 【点睛】
本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
4．（1）2x 2
+6xy+8y 2
；（2）①30
10x y =⎧⎨=⎩
②57600元； 【分析】
（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A 、B 两园区的面积，再相加即可求解；
（2）①根据等量关系：整改后A 区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980
米；列出方程组求出x ，y 的值；
②代入数值得到整改后A 、B 两园区的面积之和，再根据净收益=收益﹣投入，列式计算即可求解． 【详解】
解：（1）（x+y ）（x ﹣y ）+（x+3y ）（x+3y ） =x 2﹣y 2+x 2+6xy+9y 2 =2x 2+6xy+8y 2（平方米）
答：A 、B 两园区的面积之和为（2x 2+6xy ）平方米； （2）（x+y ）+（11x ﹣y ） =x+y+11x ﹣y =12x （米）， （x ﹣y ）﹣（x ﹣2y ） =x ﹣y ﹣x+2y =y （米）， 依题意有：
12350
2(12)4(3)980
x y x y x y -=⎧⎨
+++=⎩， 解得30
10
x y =⎧⎨
=⎩9．
12xy=12×30×10=3600（平方米）， （x+3y ）（x+3y ） =x 2+6xy+9y 2 =900+1800+900 =3600（平方米），
（18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600 =6×3600+10×3600 =57600（元）．
答：整改后A 、B 两园区旅游的净收益之和为57600元． 考点：整式的混合运算．
5．（1）21312
-；（2）10110021
2-．
【分析】
（1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可． 【详解】
解：（1）设S ＝1+3+32+33+...+320， 则3S ＝3+32+33+ (321)
∴3S ﹣S ＝321
﹣1，即S ＝2131
2
-，
则1+3+32
+33
+…+320
＝2131
2
-；
（2）设S ＝1+231001111
2222
+++⋯+， 则
1
2S ＝231001011111122222
+++⋯++， ∴S ﹣12S ＝1﹣10112＝10110121
2-，即S ＝101100212
-，
则S ＝1+2310011112222+++⋯+＝101100212
-．
【点睛】
此题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
6．（1）21x y =⎧⎨=-⎩；（2）175
125x y =⎧⎨=⎩
．
【分析】
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】 解：（1）2531y x x y =-⎧⎨
+=-⎩
①
②，
把①代入②得：x +6x ﹣15＝﹣1， 解得：x ＝2，
把x ＝2代入①得：y ＝﹣1， 则方程组的解为2
1
x y =⎧⎨
=-⎩；
（2）方程组整理得：3005537500x y x y +=⎧⎨+=⎩
①
②，
①×53﹣②得：48x ＝8400， 解得：x ＝175，
把x ＝175代入①得：y ＝125， 则方程组的解为175125x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键．
7．（1）115；（2）180-2x ，理由见解析；（3）45°.
【分析】
（1）已知点I 是两角∠ABC 、∠ACB 平分线的交点，故()()()111
18018018018090222
BIC IBC ICB ABC ACB A BAC ∠=︒-∠+∠=︒-
∠+∠=︒-︒-∠=+∠ ，由此可求∠BIC ；
（2）当CE ∥AB 时， ∠ACE=∠A=x °，根据∠ACE=∠A=x °，根据CE 是∠ACG 的角平分线，推出∠ACG=2x °，∠ABC=∠BAC=x °，即可求出ACB ∠的度数． （3）由题意知：△BDE 是直角三角形∠D+∠E=90°，可求出若∠D=3∠E 时，∠BEC=22.5°，再推理出1
2
BEC BAC ∠=∠，即可求出BAC ∠的度数． 【详解】
（1）∵点I 是两角∠ABC 、∠ACB 平分线的交点， ∴()180BIC IBC ICB ∠=︒-∠+∠
()1
1802
ABC ACB =-∠+∠︒ ()1
1801802
A =-
︒︒-∠ 1
901152
BAC =+∠=︒；
故答案为：115.
（2）当∠ACB 等于（180-2x ）°时，CE ∥AB ．理由如下： ∵CE ∥AB ， ∴∠ACE=∠A=x °，
∵∠ACE=∠A=x °，CE 是∠ACG 的角平分线， ∴∠ACG=2∠ACE=2x °，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=2x °-x °=x °， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=（180-2x ）°； （3）由题意知：△BDE 是直角三角形∠D+∠E=90° 若∠D=3∠E 时∠BEC=22.5°， ∵90BEC BDC ∠=︒-∠
190902BAC ⎛⎫
=︒-︒-∠ ⎪⎝⎭
1
2
BAC =∠， ∴45BAC ∠=︒. 【点睛】
本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．
8．（1）4；（2）46
2x y -；（3）-4ab+9b 2；（4）m 2-4n 2+12n-9．
【分析】
（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式=-1+1+4=4；
（2）原式=464646242x y x y x y -=-；
（3）原式=4a 2-12ab+9b 2-4a 2+8ab=-4ab+9b 2；
（4）原式=m 2-（2n-3）2=m 2-4n 2+12n-9．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
②利用两次外角定理得出结论；
（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒，
∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°；
（2）①122A ∠+∠=∠,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ；
②221A ∠=∠+∠，理由如下：
∵2∠是ADF 的一个外角
∴2A AFD ∠=∠+∠.
∵AFD ∠是A EF '△的一个外角
∴1AFD A '∠=∠+∠
又∵A A '∠=∠
∴221A ∠=∠+∠
（3）如图
由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-
（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
【点睛】
题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
10．（1）135APB ∠=︒，135PDA ∠=︒；（2）正确，理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的三条角平分线交于一点可知CP 平分∠BCA ，可得∠PCD =45°，从而由三角形外角性质可求∠ADP =135°，再∠BAC ＝40°，可求∠BAC 度数，根据角平分线的定义求出PBA PAB ∠+∠，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（2）同理（1）直接可得135PDA ∠=︒．由角平分线可求
()1452
PBA PAB ABC BAC ∴∠+∠=∠+∠=︒，进而可得135APB ∠=︒，由此得出结论． 【详解】
解：（1）180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，∠BAC ＝40°，
50ABC =∴∠︒．
ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点P ，
1252PBA ABC ∴∠=∠=︒，1202
PAB BAC ∠=∠=︒． 114522
PBA PAB ABC BAC ∴∠+∠=∠+∠=︒ 180PBA PAB APB ∠+∠+∠=︒，
18045135APB ∴∠=︒-︒=︒．
ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点P ，
∴CP 是∠ACB 的角平分线，
∴∠PCD =1452
∠=︒ACB ， ∵DE ⊥CP ，
∴45PDC ∠=︒，
∴135PDA ∠=︒．
终上所述：135APB ∠=︒，135PDA ∠=︒．
∴PCD+ADP ∠=∠∠ ∠ADP =
（2）小明猜测是正确的，理由如下：
ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点P ，
∴CP 是∠ACB 的角平分线，
∴∠PCD =1452
∠=︒ACB ， ∵DE ⊥CP ，
∴45PDC ∠=︒，
∴135PDA ∠=︒．
ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点P ，
12PBA ABC ∴∠=∠，12
PAB BAC ∠=∠． ∵90ACB ∠=︒，
∴90ABC BAC ∠+∠=︒
()1452
PBA PAB ABC BAC ∴∠+∠=∠+∠=︒ 180PBA PAB APB ∠+∠+∠=︒，
18045135APB ∴∠=︒-︒=︒．
故∠APB ＝∠ADP ．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，整体思想的利用和有效的进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（1）M AEM CFM ∠=∠+∠；（2）115ENF ∠=︒；（3）1603
H α∠=︒-．
【分析】
（1）过点M 作//ML AB ，利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠，2CFM ∠=∠，由12EMF ∠=∠+∠，经过等量代换可得结论； （2）过M 作//ME AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．证明H x y ∠=-，求出x y -即可解决问题．
【详解】
（1）如图1，过点M 作//ML AB ，
//AB CD ，
////ML AB CD ∴，
1AEM ∴∠=∠，2CFM ∠=∠，
12EMF ∠=∠+∠，
M AEM CFM ∴∠=∠+∠；
（2）过M 作//ME AB ，
//AB CD ，
//ME CD ∴，
24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，
1802BEM ∴∠=︒-∠，1804DFM ∠=︒-∠， EN ，FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠， 112BEM ∴∠=∠，132DFM ∠=∠， 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=
︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒， 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒；
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．
//AB CD ，
BEH DKH x ∴∠=∠=，
PFG HFK y ∠=∠=，DKH H HFK ∠=∠+∠，
H x y ∴∠=-，
EMF MGF α∠=∠=，180BQG MGF ∠+∠=︒，
180BQG α∴∠=︒-，
QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠，
3QME MFG y ∴∠=∠=，
BEM QME MQE ∠=∠+∠，
33180x y α∴-=︒-，
1603
x y α∴-=︒-， 1603
H α∴∠=︒-． 【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，作出平行线，利用参数解决问题是解题的关键．
12．（1）﹣2；（2）7a 4+4a 6+a 2．
【分析】
（1）由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义进行判断，即可得到答案；
（2）由积的乘方，同底数幂相乘进行计算，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】
解：（1）201()
2016|5|2---- ＝4﹣1﹣5
＝﹣2；
（2）（3a 2）2﹣a 2•2a 2+（﹣2a 3）2+a 2
＝9a 4﹣2a 4+4a 6+a 2
＝7a 4+4a 6+a 2．
【点睛】
本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，负整数指数幂，零指数幂，以及绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
13．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出
m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限；
（3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值．
【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，
2
2
n+
＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
得：
2
x q
y q
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：
﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得
﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使
p﹣6q结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23
． 【点睛】 本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
14．（1）11x y =⎧⎨
=-⎩；（2）13x ≤< 【分析】
（1）根据代入消元法解答即可；
（2）先解不等式组中的每个不等式，再取其解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）3423x y x y -=⎧⎨-=⎩①②
， 由①，得34y x =-③，
把③代入②，得()2343x x --=，
解得：x =1，
把x =1代入③，得y =3－4=﹣1，
所以方程组的解为11x y =⎧⎨=-⎩
； （2）29421333x x x x <-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩
①②， 解不等式①，得3x <，
解不等式②，得1x ≥，
所以不等式组的解集为13x ≤<．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
15．（1）130°；（2）①90︒-α；②不变，90︒-α；③∠NDC+∠MDB=90︒-
1α2
． 【分析】
（1）根据已知，以及三角形内角和等于180︒，即可求解；
（2）①根据平行线的性质可以证得∠ABD=∠BDM=∠MBD ，∠CND=∠A=α，再利用含有α的式子分别表示出∠NDC 、∠MDB ，进行作差，即可求解代数式；
②延长BD 交AC 于点E ，则∠NDE=∠MDB ，因此∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC ，再
利用三角形内角和为180︒，即可求解；
③如图可知，∠NDC+∠MDB=180︒-∠BDC，利用平角的定义，即可求解代数式．【详解】
解：（1）∵∠A=80︒
∴∠ABC+∠ACB=180︒-80︒=100︒
又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=1
2
⨯100︒=50︒．
∴∠BDC=180︒-50︒=130︒．
（2）①∵MN//AB，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=α，
∴∠NDC=180︒-α-1
2
∠ACB，∠MDB=
1
2
∠ABC，
∴∠NDC-∠MDB=180︒-α-1
2
∠ACB-
1
2
∠ABC=180︒-α-
1
2
（∠ACB+∠ABC）=180︒-α-
1
2
（180︒-α）=90︒-α．
②不变；延长BD交AC于点E，如图：
∴∠NDE=∠MDB，
∵∠BDC=180︒-1
2
（∠ACB+∠ABC）=180︒-
1
2
（180︒-α）=90︒+
1
α
2
，
∴∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC=180︒-∠BDC=180︒-（90︒+1
α
2
）=90︒-α，
同①，说明MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数只与∠A有关系，而∠A始终不变，故：MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数不会发生改变．
③如图可知，∠NDC+∠MDB=180︒-∠BDC，
由②知∠BDC=90︒+1
α2
，
∴∠NDC+∠MDB=180︒-（90︒+1
α
2
）=90︒-
1
α
2
．
故∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90︒-1
α
2
．
【点睛】
本题目考查平行线与三角形的综合，涉及知识点有平行线的性质，三角形内角和等于180°等，是中考的常考知识点，难度一般，熟练掌握以上知识点的综合运用是顺利解题的关
键．
16．（1）2()b a -；（2）22
()()4a b a b ab +=-+；（3）±5；（4）详见解析 【分析】
（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可； （3）将（x -y ）2变形为（x +y ）2—4xy ，再代入求值即可；
（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
【详解】
解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b -a ，
∴其面积为：2()b a -，
故答案为：2()b a -；
（2）大正方形面积为：()2
a b +
小正方形面积为：2()b a -=2()a b -， 四周四个长方形的面积为：4ab ，
∴22
()()4a b a b ab +=-+，
故答案为：22()()4a b a b ab +=-+；
（3）由（2）知，22()()4x y x y xy +=-+， ∴22()()4x y x y xy -=+-， ∴2()4x y x y xy -=±+-=2116454
±-⨯
=±， 故答案为：±5；
（4）符合等式()()2222252a b a b a ab b ++=++的图形如图所示，
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
17．（1）m =1，n =5；（2）（a +2b ）2=a 2+4ab +4b 2；（3）2a 2+5ab +3b 2=(a +b )(2a +3b )，详见解析
【分析】
（1）结合图形和条件分析可以得出按裁法二裁剪时，可以裁出B 型板1块，按裁法三裁剪时，可以裁出5块B 型板；
（2）看图即可得出所求的式子；
（3）通过画图能更好的理解题意，从而得出结果．由于构成的是长方形，它的面积等于所给图片的面积之和，从而因式分解．
【详解】
（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150-120=30，所以可裁出B型板1块，按裁法三裁剪时，全部裁出B型板，150÷30=5，所以可裁出5块B型板；
∴m=1，n=5．
故答案为：1，5；
（2）如下图：
发现的等式为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2.
（3）按题意画图如下：
∵构成的长方形面积等于所给图片的面积之和，
∴2a2+5ab+3b2=(a+b)(2a+3b).
【点睛】
本题考查了完全平方公式和几何图形的应用及一元一次方程的应用，关键是根据学生的画图能力，计算能力来解答．
18．（1）a（a+1）（a﹣1）；（2）﹣b（2a﹣b）2；（3）（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；（4）（y+2）2（y﹣2）2
【分析】
（1）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣b，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）a3﹣a
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b （﹣4ab+4a 2+b 2）
＝﹣b （2a ﹣b ）2；
（3）a 2（x ﹣y ）﹣9b 2（x ﹣y ）
＝（x ﹣y ）（a 2﹣9b 2）
＝（x ﹣y ）（a+3b ）（a ﹣3b ）；
（4）（y 2﹣1）2+6（1﹣y 2）+9
＝（y 2﹣1）2﹣6 （y 2﹣1）+9
＝（y 2﹣1﹣3）2
＝（y+2）2（y ﹣2）2．
【点睛】
此题主要考查因式分解的几种方法：提公因式法，公式法等，能熟练运用是解题关键．
19．（1）y 3；（2）12．
【分析】
（1）先计算幂的乘方，然后计算同底数幂除法；
（2）分别利用负整数指数幂、零次幂、乘方计算，然后合并．
【详解】
解：（1）原式＝y 9÷y 6＝y 3；
（2）原式＝4﹣1+9＝12．
【点睛】
本题考查了整式的运算与实数的运算，熟练运用公式是解题的关键．
20．（1）23x y +=；（2）21a b ==，；（3）21m t n -=．
【分析】
（1）首先把第3项22y 裂项，拆成22y y +，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的
性质求得x y 、代入求得数值；
（2）首先把第2项25b 裂项，拆成224b b +，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a b 、代入求得数值；
（3）先把4m n =+代入28200mn t t +-+=，得到关于n 和 t 的式子，再仿照（1）
（2）题．
【详解】
解：（1）2222210x xy y y -+-+=
2222210x xy y y y ∴-++-+=
22()(1)0x y y ∴-+-=
010x y y ∴-=-=，，
11x y ∴==，，
23x y ∴+=；
（2）2254210a b ab b +--+=
22244210a b ab b b ∴+-+-+=
22(2)(1)0a b b ∴-+-=
2010a b b ∴-=-=，
21a b ∴==，；
（3）4m n =+，
2(4)8200n n t t ∴++-+=
22448160n n t t ∴+++-+=
22(2)(4)0n t ∴++-=
2040n t ∴+=-=，
24n t ∴=-=，
42m n ∴=+=
20(2)1m t n -∴=-=
【点睛】
本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.。