黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三(理)数学第一学期期中试题【含答案】

黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三（理）数学第一学期
期中试题（含答案）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合A ＝{x|x 2
−2x −3<0}，集合B ＝{x|log 2(x −1)≥0}，则A∩B＝（ ）
A. {x|2≤x<3}
B. {x|2<x ≤3}
C. {x|1≤x<3}
D. {x|−1≤x<2} 2. 已知()():280,:340x
p q x x ->--≥，则（ ）
A ．p 是q 的充分不必要条件
B ．p 是q ⌝的充分不必要条件
C ．p 是q 的必要不充分条件
D ．p 是q ⌝的必要不充分条件
3．已知向量,不共线，+=3，m m )2(++=，若//，则m =（ ） A ． -12 B ． -9 C ．-6
D ．-3
4．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ） A ．7
B ．8
C 34153．341535. 已知函数⎩⎨⎧>≤=1log 12)(2
x x x x f x ，则())2(f f =（ ）
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．2
6.某化工厂生产一种溶液，按要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
1
4
，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.301，lg3=0.477）（ ） A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点
(,)P a b ，若3cos 25θ=-，则b
a
=（ ）
A ．
1
2
B ．2
C ．12
-
D ．2-
8． 函数3()2x
y x x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
10．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫
=+≤
⎪⎝
⎭
部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则该函数的图象（ ）
A ．关于直线4
π
=
x 对称 B ．关于直线3
π
=
x 对称
C ． 关于点⎪⎭⎫
⎝⎛0,3π对称 D ．. 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,4π对称 11.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有
2()
()
x f x e f x -=，
当0x <时()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3
B ．2
[,0]3
-
C ．[0，)+∞
D ．(-∞，0]
12.设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是( )
A ．3[2e -
，1) B ．3[2e -，3)4
C ．3[2e ，1)
D ．3[2e ，3)4 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
(2
22
sin 4x x dx --=⎰
______.
14．已知6sin cos 1cos2ααα=+，则tan 4πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
______. 15．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，
()3log f x x =，则()57f =______．
16．已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e ⎧<⎪=⎨-<<⎪⎩
，若方程F （x ）＝f （x ）﹣ax 有4个零点，
则a 的范围为______.
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. （本题满分10分）在①AD 是BC 边上的高，且=63AD BC ⋅
②AD 平分BAC ∠，且，7
312=
AD ，③AD 是BC 边上的中线，且37
AD 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC 的长． 问题：在锐角ABC ∆中，已知4,3AB AC
，D 是边BC 上一点，________，求边BC 的
长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. （本题满分12分） 已知函数()2
3sin 22sin f x x x =+
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）将函数()f x 的图象向左平移12
π
个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图
象，当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()g x 的值域． 19. （本题满分12分） 已知函数2
2()()x f x e x ax b -=++，若()f x 的图象在点(2,(2))
f 处的切线方程为47y x =-． （1）求a ，b 的值；
（2）求()f x 在[3,2]-上的最值．
20. （本题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
334sin s sin sin in C B b c a B C +=．
（1）求角A 的大小；
（2）若2sin 2sin 3b B c C bc a +=，求ABC 面积的取值范围． 21．（本题满分12分）已知函数211
()ln (1)22
f x x x m x m =+
-+++． （1）设2x =是函数()f x 的极值点，求m 的值，并求()f x 的单调区间；
（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求m 的取值范围． 22．（本题满分12分） 已知函数()()2
113
ln ,ln 424
f x x a
g x x x x =+
++-=． （1）求证：()2
1114f x a x ⎛⎫
≥-+ ⎪⎝⎭
；
（2）用{}max ,p q 表示,p q 中的最大值，记()()(){}
max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数．
答案
一．选择题（60分）
二．填空题（20分）
13. 2π 14. 2或-1 15. 2 16. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 10， 三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. （本题满分10分） 方案一：选条件①： 由面积关系得：
113AB AC sin BAC BC sin 2223AD BAC BAC π⨯⨯⨯∠=⨯⨯⇒∠=⇒∠= 在ABC ∆中，由余弦定理得2916243cos60=13BC =+-⨯⨯⨯︒， 所以=13BC ．
方案二：选条件②：
设=BAC α∠，则=2
BAD DAC
α
∠∠=
，由面积关系得：
111231123334sin 3sin 4sin cos 2272272223
αααπαα⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⇒=⇒=
在ABC ∆中，由余弦定理得2
916243cos =133
BC π
=+-⨯⨯⨯， 所以=13BC ．
方案三：选条件③：
设=2BC a ，分别在ABC ∆与ADC ∆中由余弦定理得：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
D
D
A
D
B
B
B
D
C
B
C
2237
994164cos =cos 23232a a DCA BCA a a
+-
+-∠=∠=⨯⨯⨯⨯， 132a ∴=，∴=13BC ． 18. ()2
3sin 22sin f x x x
=+321cos 2x x =+-
3122cos 2122x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 216x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）T =2
2π
=π, 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，k Z ∈，
解得6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k Z ∈．
∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；
（2）将函数()f x 的图象向左平移12
π
个单位，
得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=+
-+=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，再向下平移1个单位后得到函数2sin 2g x x ，
由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，∴3sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 则函数()g x 的值域为3,2⎡⎤⎣⎦
19.（1）由题意知，2
2
()(2)x f x e
x a x a b -'⎡⎤=++++⎣⎦，
则(2)38f a b '=++，(2)42f a b =++，又已知()f x 的图像在点(2,(2))f 处的切线方程为47y x =-，
因而⎩⎨
⎧=++=++124483b a b a ，得1
1
a b =-⎧⎨=-⎩
（2）()2
2
()1x f x e
x
x -=--．由()22()20x f x e x x -'=+-=得2x =-或1x =．
所以()'
f x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示：
x 3-
(3,2)--
2-
(2,1)-
1
(1,2)
2
()'f x
+
-
0 +
()f x
511e -
45e -
1e --
1
因而函数()f x 在[3,2]-上的最大值为1，最小值为1e --．
20. （1334sin s sin sin in C B b c a B C +=及正弦定理得：
3sin sin 3sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，
因为0B <，2
C π
<
，所以sin 0B ≠，sin 0C ≠，
所以3
sin A =
，又02A π<<，所以3A π=；
（2）由正弦定理
2sin s 3in si 3
n B C b a A c a ===， 3sin b B =
，3sin c C =， 由2sin 2sin 3b B c C bc a +=得：
3322322b c b
c bc a a a
+=+， 即2223
b c a +-=
①，由余弦定理得，bc a c b =-+222解得3a = S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝)3
2sin(
sin 3sin sin 3B B C B -=π
=32sin (2B －π6)＋34，
∵△ABC 为锐角三角形，∴0<B <π2且B ＋π3>π2，即π6<B <π2，∴π6<2B －π6<5π
6
，
∴12<sin (2B －π6)≤1，∴32<S △ABC ≤334
.ABC
面积的取值范围为⎥⎦
⎤ ⎝⎛43323， 21. （1）由题意，函数()()211
ln 1(0)22
f x x x m x m x =+
-+++>，
则()1
1f x x m x
'=+
--， 因为2x =是函数()f x 的极值点，所以()122102
f m +
'=--=，故3
2m =，即
()152f x x x =+-'，令()215252
022x x f x x x x -+'=+-=>，解得102x <<或2x >.
令()2252
02x x f x x
'-+=<，解得122x <<,
所以()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. （2）由()1
1f x x m x
'=+
--， 当1m ≤时，()0f x '>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，
又()10f =，所以()211
ln 1022
x x m x m +
-+++>恒成立； 当1m >时，易知()1
1f x x m x
'=+--在()1,+∞上单调递增，
故存在()01,x ∈+∞，使得()00f x '=，
所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()10f =，则()00f x <，这与()0f x >恒成立矛盾.
综上，m 取值范围是(]1-，
∞ 22．（1）证明：设()()2111
1ln 14x f x a x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，定义域为()0,+∞，
则()22111
x x x x x
ϕ'-=
-=. 当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>， 故()x ϕ在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数， 所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点， 所以()
()()min
10x x ϕϕϕ==，所以()2
1114f x a x ⎛⎫
≥-+ ⎪⎝⎭
（2）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()23233
211111212222x x x x f x x x x x x '+---=--==， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数， 所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点， 即()()min 1f x f a == ① 若0a =，则()()()()22
131113
4244x x f x g x x x x -+-=
+-=-， 当01x <<时，()()f x g x >；当1x =时，()()f x g x =； 当1x >时，()()f x g x <.
所以()()(),01
,1f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
，于是()h x 只有一个零点1x =.
② 当0a >，则当01x <时，()()f x g x >，此时()()0h x f x a =>， 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，此时()0h x > 所以()h x 没有零点.
③ 当0a ＜，则当01x <<时，根据（1）可知，()2
1114f x a x ⎛⎫
≥-+ ⎪⎝⎭
而0121
a <
<-+，所以()
21
2110421f a a a >--+=-+ 又因为()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上有一个零点0x ， 从而一定存在()0,1c x ∈，使得()()f c g c =，
即
21130424a c c +-+=，所以2311442a c c -=+ 当x c >时，
()()22211311112042442424c x c x g x f x a x x x x c c cx cx -+⎛⎫-=-
-+-=--++=-+> ⎪⎝⎭
，
所以()()g x f x >，从而()()(),0,f x x c h x g x x c ⎧<⎪=⎨>⎪⎩
，
于是()h x 有两个零点0x 和1. 故当0a ＜时，()h x 有两个零点.
综上，当0a =时，()h x 有一个零点，当0a ＞时，()h x 没有零点，当0a ＜时，()h x 有两个零点.。