武汉华一寄中学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(答案解析)

一、选择题
1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12
ρ=
B ．1
cos 2
ρθ=
C ．1
2cos ρθ
=-
D ．2
cos ρθ
=-
2．点P 的直角坐标为(2,2)-，那么它的极坐标可表示为（ ） A ．52,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．32,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 3．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．58,6
π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
C ．58,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．8,6π⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
4．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ） A ．[23,32]
B ．[]1,6
C ．[]2,9
D ．[]12,18
5．将点的直角坐标()
2,23-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ） A ．24,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．54,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．43,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．43,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
6．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 5 7．在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θπ
(ρ4
=≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )
A ．①③
B ．①
C ．②③
D ．③
8．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于( ) A ．直线23π
θ=对称 B ．直线56
π
θ=
对称 C ．点2,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称 D ．极点中心对称
9．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( ) A ．1ρ=
B ．ρθ=
C ．1()R θρ=∈
D ．()4
R π
θρ=
∈
10．在同一平面直角坐标系中，将曲线1
cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩
后为（ ）
A ．cos y x ''=
B ．13cos 2
y x '
'
= C ．12cos
3
y x '
'= D ．1
cos32
y x '
'=
11．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
12．曲线cos 104
π
ρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )
A ．sin 10ρθ+=
B ．sin 10ρθ-=
C ．cos 10ρθ-=
D ．cos 10ρθ+=
二、填空题
13．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线1ρ=截得的线段长为_____________.
14．点P 的极坐标为(2,)3
π
，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角
坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，则P 点的直角坐标为_______________.
15．球坐标2,,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
对应点的直角坐标为________.
16．在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 00θθθπ+=≤≤（）的交点的极坐标为__________．
17．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l ：{32
x y t ==-+（t 为
参数）的最短距离是__________．
18．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2
π
的射线的极坐标方程为_____________．
19．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,
)2
π
，半径为5，直线
(,)2
r π
θαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．
20．在极坐标系中，曲线
上的点到点
的最小距离等于________.
三、解答题
21．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1525x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ
为参数），直线l 的方
程为3y x ．
（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，直线m 的极坐标方程为()6
π
θρ=
∈R ，设曲线C 与直线l 的交
于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求OAB ∆的面积．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为727x y α
α
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），
曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （2）若射线θ=
6
π
（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|． 23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{
x tcos y tsin αα
=+=（t 为参数），以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos .
4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于
,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4
π
α=
时，PA PB +的值. 24．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数），曲线
2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.
（1）求1C 与2C 的极坐标方程；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点的
交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .
25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈.
（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；
（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积. 26．在直角坐标系xOy 中，曲线()2
21:24C x y -+=，曲线22cos :sin x C y φφ=⎧⎨=⎩
（ϕ
为参
数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线l 的极坐标方程为004π
θααρ⎛
⎫
=≤≤
> ⎪⎝
⎭
，，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的M ，N 两点．求OM ON ⋅的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】
1,2P π⎛⎫
⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12
x =-，
其极坐标方程为1cos 2
ρθ=-，即12cos ρθ=-．
故选：C ． 【点睛】
本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．
2．B
解析：B 【分析】
根据直角坐标化极坐标的方法求解即可.
【详解】
设它的极坐标为(,)ρθ
222(4,2ρρ=+==
tan 1
θ=
=- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈
34
πθ∴=
则它的极坐标可表示为32,4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.
3．A
解析：A 【分析】
由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】
点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈， 故点8,6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
关于极点对称的点的一个坐标为78,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】 如图：
由GE GF ⊥，可知EF 为直径 可设
()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--， ()13cos ,3sin G θθ+
所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，
()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--
则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=-- 所以()()
22
3cos 93sin 12QE QF QG θθ++=-+-化简可得
()23454cos 72sin QE QF QG θθ++=-+即
()323490sin ,tan 4
QE QF QG θϕϕ++=-+=
所以
当()sin 1θϕ+=时，min
12QE QF QG
++= 当()sin 1θϕ+=-时，max
18QE QF QG
++=
所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
5．A
解析：A 【分析】
由P 点的直角坐标(2,-，可得tan y
x
ρθ==
，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】
解：∵点P 的直角坐标(2,-，
∴
4ρ=
=
=，tan y x θ=
==， 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23
π
θ=．
∴满足条件的点P 的极坐标为24,3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
． 故选：A ． 【点睛】
考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.
6．D
解析：D 【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=，则点A 的极坐标
,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭
，将函数1y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 22ρθ=，
将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤
⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2cos24ρθ=，于是有2
2sin 22
cos 24
ρθρθ⎧=⎨=⎩，
()()2
4
2
222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得2ρ=，
因此，OAB ∆的面积为
111
sin 2424OAB S OA OB πρ∆=
⋅=⨯=⨯ 故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
7．D
解析：D 【解析】
分析：利用曲线的极坐标方程的知识逐一判断得解.
详解：在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程,故①错误;tanθ=1不仅表示θπ4=
这条射线,还表示θ5π4
=这条射线,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查曲线的极坐标方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程。

8．C
解析：C 【解析】
分析：先化极坐标为直角坐标，根据直角坐标方程判断曲线形状极其性质.
详解：因为46sin πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以22
2cos 2,x y x ρθθ=+∴+=+
所以22(1)(2x y -+=
因此关于圆心即2,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
中心对称，选C. 点睛：研究极坐标方程的性质，往往先化直角坐标方程，再根据直角坐标方程研究对应曲
线性质.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
直角坐标方程y x =转化为极坐标方程即：sin cos r r θθ=，据此化简可得极坐标方程. 【详解】
直角坐标方程y x =转化为极坐标方程即：sin cos r r θθ=， 即()tan 1,4
R π
θθρ==
∈.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】
因为伸缩变换'2'3x x
y y =⎧⎨=⎩
，
所以11','23x x y y =
=，代入1cos23y x =，可得111'cos 2332y x ⎛⎫=⨯ ⎝'⎪⎭
，
化简可得'cos 'y x =， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于简单题目.
11．B
解析：B 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
先把两曲线极坐标方程化为普通方程，求得对称曲线，再转化为极坐标方程。

【详解】
化为标准方程可知曲线cos 10ρθ+=为10x +=，曲线4
π
θ=
为y x =，所以对称直线为
10y +=，化为极坐标方程为sin 10ρθ+=，选A.
【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标
的相互转化。

二、填空题
13．【解析】【分析】首先将极坐标化为直角坐标然后利用弦长公式求弦长即可【详解】直线的极坐标方程化为直角坐标方程即：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程即：则圆心到直线的距离：由弦长公式可得弦长为：【点睛】本
【解析】 【分析】
首先将极坐标化为直角坐标，然后利用弦长公式求弦长即可. 【详解】
直线sin cos 1ρθρθ-=的极坐标方程化为直角坐标方程即：10x y -+=， 曲线1ρ=的极坐标方程化为直角坐标方程即：221x y +=，
则圆心到直线的距离：d =
=
== 【点睛】
本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，圆想弦长公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．【解析】【分析】设点的直角坐标为由公式和条件可得答案【详解】设点的直角坐标是由题意得所以点的直角坐标是故答案为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化掌握相关转化公式是解题的关键属于基础题
解析：. 【解析】 【分析】
设P 点的直角坐标为P x y （，），由公式x cos y sin ρθρθ==、 和条件可得答案．
【详解】 设点2,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标是P
x y （，），
由题意得，2123
3
x cos y sin
，π
π
====
所以点2,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标是(.．
故答案为：(.． 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，掌握相关转化公式是解题的关键，属于基础题．
15．【解析】分析：根据转化公式得直角坐标详解：因为所以所以直角坐标为点睛：本题考查球坐标转化公式考查基本求解能力
解析：1,22⎛ ⎝
【解析】
分析：根据转化公式得直角坐标.
详解：因为sin cos {sin sin cos x r y r z r ϕθ
ϕθϕ
===
，所以1
2sin
cos
632
{2sin sin 632cos 6
x y z ππ
πππ
==
====
所以直角坐标为12⎛ ⎝. 点睛：本题考查球坐标转化公式，考查基本求解能力.
16．【解析】由题意得因为又所以所以交点的极坐标为考点：简单的极坐标的应用
解析：3(2)4
π
，
【解析】
由题意得，因为cos sin 0tan 1θθθ+=⇒=-，又0θπ≤≤，所以3
4
θπ=
，
所以交点的极坐标为3(2,)4
π. 考点：简单的极坐标的应用.
17．1【解析】把化为把直线圆心到直线的距离为曲线上的点到直线的最短距离为1【点睛】本题为选修内容先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程再把直线的参数方程化为普通方程求圆上一点到一条直线的距离的最小值转化为圆
解析：1 【解析】
把2sin ρθ=化为22(1)1y x +-=，把直线350x y +-=，圆心到直线的距离为
4
22
d =
=，曲线C 上的点到直线l 的最短距离为1. 【点睛】本题为选修内容，先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程化为普通方程，求圆上一点到一条直线的距离的最小值，转化为圆心到直线的距离减去半径,要熟练使用点到直线的距离公式.
18．【解析】如图由题意知过点倾斜角为的射线的极坐标方程为
解析：1(0)2
cos π
ρθθ=≤<.
【解析】
如图，由题意知，过点()1,0倾斜角为
2π的射线的极坐标方程为1(0)2
cos πρθθ=≤<．
19．【解析】设圆C 上任一点坐标为P （ρθ）圆心C （6）圆的半径r=5所以|PC|==5化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0即为圆C 的极坐标方程把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11= 解析：
23
π
【解析】
设圆C 上任一点坐标为P （ρ，θ），圆心C （6，
2
π
），圆的半径r=5， 所以2262cos()2
π
ρρθ+--，
化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0，即为圆C 的极坐标方程， 把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11=0， 设直线与圆交于（ρ1，α1）（ρ2，α2）， 根据韦达定理得：ρ1+ρ2=12sinα，ρ1ρ2=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ1﹣ρ221212()4ρρρρ+-
=2(12sin )44α-=8，即（12sinα）2=64+44， 化简得：sin 2α=34
， 解得sinα=3
2
，又α∈（,2ππ），
则α=
23
π
． 故答案为
23
π． 20．【解析】∵对应的直角坐标方程为即圆心为（01）半径为1即点对应的直角坐标系中的点在圆外所以最小距离等于与圆心距离减去半径即为考点：极坐标与直角坐标的互化 解析：
【解析】 ∵
，对应的直角坐标方程为
即
圆心为（0，1），半径为1.
即点
对应的直角
坐标系中的点，
在圆外，所以最小距离等于
与圆心距离减去半径，即
为
．
考点：极坐标与直角坐标的互化．
三、解答题
21．（1）极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=+.直线l 的极坐标方程为：
()3
θρπ=
∈R ．（2）853S +=【分析】
（1）消去参数φ可得曲线C 的直角坐标方程，再根据互化公式可得曲线C 的极坐标方程；根据互化公式可得直线l 的极坐标方程；（2）根据极径的几何意义和面积公式可得． 【详解】
（1）由2222(1)(2)(5)(5sin )5x y ϕϕ-+-=+=， 得曲线C 的普通方程为22(1)(2)5x y -+-=，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入该式化简得曲线C 的极坐标方程为：
2cos 4sin ρθθ=+.
因为直线l ：3y x 是过原点且倾斜角为
3
π
的直线，
所以直线l 的极坐标方程为：()3
θρπ
=∈R ． （2）把3
π
θ=代入2cos 4sin ρθθ=+得123ρ=+，故||123OA =+，
把6
π
θ=
代入2cos 4sin ρθθ=+得23ρ=+，故||23OB =+，
因为3
6
6
AOB π
π
π
∠=
-
=
,
所以OAB ∆的面积为1853
||||sin 264
S OA OB π+=⋅⋅=
. 【点睛】
本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，属中档题． 22．（1）()2
227x y +-=；ρ=2cosθ．（2）33- 【分析】
（1）先根据平方关系消参数得曲线C 1的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C 2的极坐标方程；（2）先求曲线C 1极坐标方程，再令θ=6
π
，解得A ，B 两点对应的极径，最后根据|AB|=|ρ1﹣ρ2|求结果. 【详解】
（1）∵曲线C 1的参数方程为
（其中α为参数），
∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7． ∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x ﹣1）2+y 2=1，
得到曲线C 2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1， 化简，得ρ=2cosθ． （2）依题意设A （
），B （
），
∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0， 将
（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
解得ρ1=3， 同理，将
（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得
，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．
【点睛】
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方
法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
23．（1）曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=它表示以()1,1-
半径的圆．（2
【解析】
试题分析：（1）利用参普互化公式将曲线C 的方程化为一般方程，进而得到圆心半径；（2）联立直线和园的方程，得到关于t 的二次，12PA PB t t +=-，由韦达定理得到结果. 详解：
（Ⅰ）曲线2C
：4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，可以化为2
cos 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
22cos 2sin ρρθρθ=-，
因此，曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= 它表示以()1,1-
（Ⅱ）当4πα=
时，直线的参数方程为12
2x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(为参数) 点P ()1,0在直线上，且在圆C
内，把12
2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22220x y x y +-+=
中得210t -=
设两个实数根为12,t t ，则,A B 两点所对应的参数为12,t t ，
则12t t +=121t t =-，
12PA PB t t ∴+=-=
=点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.
24．（1）1C ：4sin ρθ=，2C ：8sin ρθ=.
（2）【分析】
（1）将1C 的参数方程化为直角方程，在根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C 极坐标方程，将2C 的直角方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得2C 极坐标方程，即可求得答案； （2）射线3
π
θ=
与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，由（1）
得：1C 的极坐标方程：4sin ρθ=，2C 极坐标方程为：8sin ρθ=，求得OA 和OB ，即可求得AB 的值. 【详解】 （1）
1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数），
可得：2cos 22sin x y αα=⎧⎨-=⎩
，
故：()()()22
22
24cos 4sin 4x y αα-=++=
即：1C 直角方程为()2
2
24x y +-=，
整理可得：2240x y y +-=
根据极坐标与直角坐标的互化公式：222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
∴1C 的极坐标方程：4sin ρθ=
又
2C 的直角坐标方程为：22(4)16x y +-=
根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得2C 极坐标方程为：8sin ρθ= （2）
射线3
π
θ=
与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B
由（1）得：1C 的极坐标方程：4sin ρθ=，2C 极坐标方程为：8sin ρθ=
∴4sin
3
OA π
ρ===
8sin
3
OB π
ρ===
∴||AB OB OA =-=【点睛】
本题主要考查了直角坐标方程化为极坐标方程和根据极坐标求弦长，解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的几何意义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 25．（1）1C ：4y =；2C ：()()2
2
124x y -+-=（2
）2
【分析】
（1）由曲线1C 的极坐标方程能求出曲线1C 的普通方程，由曲线2C 的极坐标方程能求出曲线2C 的普通方程.
（2）由曲线3C 的极坐标方程求出曲线3C 的普通方程，联立1C 与2C 得2210x x -+=，解得点P 坐标（1，4），从而点P 到3C
的距离2
d =
设()11,A ρθ，(),B ρθ22.将4πθ=
代入2C
，得210ρ-+=，求出12AB ρρ=-，由此能求出PAB △的面积.
【详解】
解：（1）∵曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=， ∴根据题意，曲线1C 的普通方程为4y =.
∵曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=， ∴曲线2C 的普通方程为222410x y x y +--+=， 即()()2
2
124x y -+-=； （2）∵曲线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，
∴曲线3C 的普通方程为y x =，
联立1C 与()()22
24
:114
y C x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得2210x x -+=， 解得1x =， ∴点P 的坐标()1,4， 点P 到3C
的距离d =
=
. 设()11,A ρθ，(),B ρθ22将4
π
θ=代入2C
，得210ρ-+=，
则12ρρ+=121ρρ=，
12AB ρρ=-=
=
∴1122PAB S AB d ∆===
. 【点睛】
本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.
26．（Ⅰ）4cos ρθ=，2
2
4
13sin ρθ=
+；（
Ⅱ）8⎤⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据互化公式可得1C 的极坐标方程，消去参数ϕ得曲线2C 的直角坐标方程，再根据互化公式可得2C 的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线l 与1C ，2C 的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得． 【详解】
（Ⅰ）由曲线()2
2
1:24C x y -+=得2240x y x +-=，得24cos ρρθ=，得
4cos ρθ=；
由曲线22:x cos C y sin φφ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）消去参数ϕ可得2
214x
y +=，
得
2222
cos sin 14
ρθ
ρθ+=，即2
24
13sin ρθ
=
+； （Ⅱ）联立4cos θα
ρθ=⎧⎨=⎩
解得4cos OM α=，
联立22413sin θαρθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩
，解得ON =，
4cos OM ON α∴==
88 04
π
α≤≤
，2
10sin 2
α∴≤≤
，
设21
sin =t,())2
f t t α∴==≤≤， 由于函数f(t)是减函数，
1t 2∴=
时，OM ON
取得最小值5
，t 0=时，OM ON 取得最大值8， 所以OM ON
的取值范围是85⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数的最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．。