华中师大一附中2018届高三上学期期中考试数学(理)

华中师大一附中2017-2018上学期高三期中检测
数学（理）
一、选择题 1．已知复数2
z 1i
=
-，则下列命题中正确的个数为 ①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是
A ．20
()(cos )x
f x tdt =ò
B ．22
3()f x x x =+
C ．21
()2
f x x x =
+ D ．()()x x f x x e e -=- 3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩
⎭，集合{}
21B y y x ==-，
则集合{x x A B 稳且}
x A B 锨为
A ．[]()2,12,-+∞
B ．()()2,12,-+∞
C ．()[),21,2-∞-
D ．(](),21,2-∞- 4．下列说法正确的是
A ．“,x y R "?，若0x y +?，则1x ¹且1y ?
”是真命题
B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．
C ．命题“x R $?，使得2230x x ++<”的否定是“x R "?，都有2230x x ++>”
D ．a R Î，“
1
1a
< ”是“1a >”的充分不必要条件 5．如图，在ABC V 中，13
AN NC =uuu r uuu r
，P 是BN 上的一点，
若29
AP mAB AC =+uu u r uu u r uuu r
，则实数m 的值为
A ．
19 B ．1
3
C ．1
D ．3 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二
第5题图
天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则
132931
242830
a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为
A ．
2930 B ．1615 C ．1
3
D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-
=∈，则sin(2)4
π
α+的值为 A
． B
C
．10 D
．8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系b
kx e
y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．
A ．22
B ．23
C ．24
D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x =的
图像需将cos 2y x =的图像
A ．向右平移3
π
个单位长度
B ．向左平移3
π
个单位长度 C ．向右平移6
π
个单位长度
D ．向左平移
6
π
个单位长度
10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，
()sin 2sin f x x x
ππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是
A ．18
B ．19
C ．10
D ．9 11．在ABC V 和AEF V 中，B 是EF
的中点，16AB EF BC CA ====
，，2AB AE
AC AF ??uu u r uu u r uu u r uu u r ，则EF uu u r 与BC uu u
r 的夹角的余弦值为
A ．
12 B ．23 C ．34 D ．13
- 12．设函数
()()x x f x e x ae =-（其中e
为自然对数的底数）恰有两个极值点
第9题图
12,x x 12()x x <，则下列说法中正确的是
A ．103a <<
B ．201x <<
C ．1(0)02
f -<< D ．12()()0f x f x +>
第II 卷
二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．
14．已知向量(6,2)a =- ，(1,)b m =
，且a b ⊥ ，则2a b -= ．
15．已知数列{}n a 的通项公式为2
19
104
n a n n =-+-，当123234a a a a a a +345a a a + 12n n n a a a ++++L 取得最大值时，n 的值为_________．
16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中2
2
0a b +?），则称函数)
(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：
①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；
②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()()
,a f a ，则函数
()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；
③函数()3
2
362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；
④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2
π
π．
其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）
已知向量(,cos())a sinx x π=-
，(2cos ,2cos )b x x =r ，函数()1f x a b =?r r ．
（Ⅰ）求()f x 的对称中心； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．
18．（本小题满分12分)
已知函数()f x ＝4log (41)x +＋kx (k R ∈)． （Ⅰ）当1
2
k =-
时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．
19．(本小题满分12分)
已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）
． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试问{
}n
b n
能否为等差数列，请说明理由； （III ）若数列{}n c 的通项公式为,2
4
n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求
2n T ．
20．（本小题满分12分)
已知函数()-x
f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若1a =，函数()()()2
x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数
m 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km
=,OB =
90AOB
?o ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上
（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON
?o ．
（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；
（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使
OMN V 的面积最小，并求出最小面积．
22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1
n n
a t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数． （Ⅰ）设1
121111
n
n i i n
S a a a a ==
=+++
å
L ，*n N Î，证明：(1)ln(1)n S t n >++； （Ⅱ）证明：1n a n
a e -<（e 为自然对数底数）；
（Ⅲ）设1231
()=()()()()n
t t t t t
n k n k T a a a a a ==
+++∑ ，*n N Î，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．
第21题图
1． C 2． D 3． D 4． B
5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C
第II 卷
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]--或(3,1)--
14． 15． 9n = 16．①②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．
解：（I ）因为()1f x a b =?r r
=2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+
22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos 2x x -
)4
x p
- ………4分 所以()f x 的对称中心为(
,0)()28
k k Z ππ
+∈ ……………5分
（II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos 2x x -)4
x π-， …………7分
因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以当242x ππ-
=时，即8
x 3π=时，()f x
当244
x ππ
-
=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x
+－12x ，∴m ＝441log 2
x x
+＝41log (2)2x
x +． ∵1222x
x +
?，∴m ≥12
． ……………………………………6分 （Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称
∵()f x =4log (41)x +＋kx ，()f x -=4log (41)x -+－kx ，
令()()f x f x =-，得441
log 41
x x -++＝2kx -，即4log 4x ＝2kx -，
∴2x kx =-对一切k R ∈恒成立． ∴1
2
k =-
时()()f x f x =-，此时函数()f x 是偶函数……………………9分 ∵0
441
(0)log (41)0log 22
f k =+-⨯==
，∴函数()f x 不是奇函数， 综上，当1
2k =-
时，函数()f x 是偶函数；当1
2
k ?时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，
当2n ≥时，由1
122
22n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，
综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a =；………………3分 （Ⅱ）{
}n
b n
是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n n
b b n n
+-=+ 综上，{
}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n b
n b n n
=+-⇒=；…7分 （Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n n
n n n n n n ----⋅⋅=-
+=-⋅=-⋅
0121
2123123474114(41)4
43474114(45)4(41)4
n n n n
n T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①②
①-②，得：
0121
21644334444444
(41)43(41)414
n
n n
n n T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-
所以27127499
n n n T -=+⋅． ……………… ………12分
20．（本小题满分12分)
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()x
f x e a '=-．
当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，
当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分
（Ⅱ）当1a =时，()()()
2
x x g x x m e x e x x =---++，
∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x
x
g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，
即11
x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分
令()1
1
x
x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()
2
2
21x x x
x
e xe e h x e
--'=
=
-()
()
2
21x x x
e e x e
---，
令()2x
L x e x =--，()10x
L x e '=->在()2,+∞上恒成立，
即()2x
L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2
240L x L e >=->，
∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()2221
21e h x h e +>=-，
∴2221
1e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦
． ………………12分
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）在ABO V
中，因为390OA OB AOB
==?o ，，所以60OAB ?o ，
在OAM V 中，由余弦定理得：222
2cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，
所以OM =
所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-?=
× 在OAN V 中，
sin sin()sin(90)ONA A AON AOM
????
o cos 7
AOM
=? 在OMN V 中，由
sin 30sin MN OM ONA =Ðo
，得1
7
2
4
MN =；… ………6分 （Ⅱ）解法1：设,060AOM
q q ?<<o o ，
在OAM V 中，由
sin sin OM OA OAB OMA =行
，得2sin(60)
OM q =+o
， 在OAN V 中，由
sin sin ON OA OAB ONA =行
，得2sin(90)2cos ON θθ
==+
， 所以11sin 22OMN S OM ON MON =
仔=
V
12cos 2
θ⋅ ＝
2716sin(60)cos θθ+
60θ<<
． 当26090θ+=
，即15θ=
时，OMN
S V 的最小值为
27(24
-．
所以应设计15AOM
?o ，可使
△OMN km 2…12分
解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO·AM·cosA ＝x 2－3x ＋9，
所以OM ＝x 2
－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA·OM ＝6－x
2x 2－3x ＋9
，
在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON)＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x
2x 2－3x ＋9
，
由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝36－x
2x 2－3x ＋9
·32＝33x 2
－3x ＋96－x
， 所以S △OMN
＝12OM·ON·sin ∠MON ＝12·x 2
－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x
·12＝33(x 2－3x ＋9)
4(6－x)
，0＜x ＜3，
令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：
S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥33
4
·(2
t·27
t －9)＝27(2－3) 4
．当且仅当t ＝27
t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4
，
所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)
4 km 2． 22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）即证：
12111
ln(1)(1)(1)(1)n
n t a t a t a +++>++++ ，
即证：111
1ln(1)23n n
+
+++>+ ， 设()ln(1)g x x x =-+，1()111
x g x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立）， 即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴111341
1ln 2ln ln ln ln(1)2323n n n n
+++++>++++=+ ， ∴
12111
(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分
（用数学归纳法给分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，
即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->，
因为0111
n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->， 即1n a n
a e -< ………………………………………8分
（Ⅲ）1231
()=()()()()1n
t t t t t n k n k T a a a a a ==
++++<å
L ，理由如下：
解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t t t n a a a a ++++
3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e ----<++++L 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e ----=++++L
21
1
1
(1)
1t tn t t t t e e e
-+++-=
-2221
1
1
1
1
(1)
1
11t t t t t t t t t t e e e e e
--+++++--≤
=
--，
设 1
t t e
q +=，因为31
4
2t t q e
e +=≥>，
21
1
1
1t t t t e
e
-++-∴
=
-111
1111
t t q q q q q ----=<<---， 所以1
231
()=()
()()()1n
t
t
t t t n k
n k T a a a a a ==
++++<∑ ………………12分
解法二：因为,*n t N ∈， 且n t ≤，所以
1231231
()=()()()()()()()()n
t t t t t t t t t n k n t k T a a a a a a a a a ==
++++?+++å
L L
12()()()111t t t
t t t t
=++++++L 下面用数学归纳法证明：
*3,t t
N 澄时，12()()()1111t t t
t t t t
+++<+++L ，即12(1)t t t t t t +++<+L ， ①当3t =时，左边333312336(13)=++=<+，即当3t =时不等式成立；
②假设当(3)t k k =?时不等式成立，即12(1)k k k k
k k +++<+L ， 则当1t k =+时，11
1
1
12(1)
k k k k k
k +++++++++L 1
11
22(1)k
k
k k k k k +=??+?+L 1(1)(12)(1)
k
k k
k k k k +<++++++L
1
1(1)(1)(1)
2(1)k
k k k k k k ++<++++=+，
11111112111(
)(1)1()()1111
k k k k k k k C C k k k k +++++++=+=+++++++Q L 1
11
121
k C k +>+?+，
11(2)2(1)k k k k ++\+>+， 111
11
12(1)2(1)(2)
k k k k k k k
k
k k ++++++
\+++++<+<+L
， 所以当1t k =+时，不等式也成立； 综合①②*3,t t N 澄时，12(1)t t t t t t +++<+L ，
即12(
)()()1111t t t
t t t t
+++<+++L 成立， 所以1
231
()=()
()()()1n
t t
t t t n k
n k T a a a a a ==
++++<∑ ．。