福建省龙岩市2013届高三1月教学质量检查数学文试题Word版含答案

龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.
2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”. 参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差 锥体体积公式
2()n s x x =
++- 13
V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh = 23
44,3
S R V R ππ==
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 复数(3)z i i =⋅+在复平面内的对应点位于 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 双曲线2
294
1y x -
=的一条渐近线方程是 A. 94
y x =
B. 49
y x =
C. 3
2
y x =
D.
2
3y x =
3. 若0a b >>，则下列不等式成立的是
A. 2
2
a b <
B. 22log log a b <
C.
>
D. 0.20.2a b
>
4. 已知向量1
2
(1,cos ),(sin ,)m n αα==，且//m n ，则sin cos αα等于
A.
12
B.
14
C. 1
D. 1
4
- 5.“1a =-”是“直线10ax y ++=与10ax y --=互相垂直”的 A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数3
()3f x x x =-，当x a =时取得极小值b ，则a b +等于
A. 3±
B. 0
C. 3
D. 3-
7. 对于不重合的直线,m n 和不重合的平面,αβ，下列命题错误．．的是 A. 若,,//m n m n αα⊄⊂，则//m α B. 若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥ C. 若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n
D. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβ
8. 已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足()()0f x f x +-=，当0x >时，
()ln 1
f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象是 A. B. C. D.
9. 已知函数3
()sin(2)f x x π
=+
，若存在),0(π∈a ，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a
的值是
A.
6
π
B.
4π C. 3π D. 2
π
10. 已知正ABC ∆的顶点(0,1),(0,3)A B ，顶点C 在第一象限，若点(,)P x y 是ABC ∆内部
或其边界上一点，则1
y
x +的最小值为
A. 1-
B. 1
C. 2
D. 1
11. 已知(,)P x y 是圆22
(3)1x y +-=上的动点，定点(2, 0), (2, 0)A B -，则PA PB ⋅的
最大值为 A. 12
B. 0
C. 12-
D. 4
12. 若11011020145555k k k k a a a a --=⋅+⋅+
+⋅+⋅，其中k a ，1k a -，
，0a N ∈，
05k a <<，10k a -≤，2k a -，，1a ，05a <. 现从01,,
,k a a a 中随机取两个数分
别作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在椭圆
22
1169
x y +=内的概率是 A. 1125 B. 1325 C. 17
25
D. 1116
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的相应位置上） 13. 已知集合{}
21M x x =-<<，R 为实数集，则C M =R . 14. 如图，输入x ＝5，运行下面的程序之后得到y ，则y =_________.
（第14题图）
俯视图侧视图
正视图
（第15题图）
15. 如图是一个几何体的三视图，正视图、侧视图是半径为R 的半圆，俯视图是半径为R 的
圆，若该几何体的表面积为6π，则R = .
16. 若不等式2
2
sin cos 1cos x a x a x -+≥+对一切x R ∈成立，则实数a 的取值范围为 .
三. 解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中,,,a b c 分别是,,A B C 的对边，45sin A =
，2
(,)A π
π∈
，a =，4ABC S ∆=.
（Ⅰ）求4
cos()A π
-
的值；
（Ⅱ）求b c +的值.
18.（本小题满分12分）
某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图.
（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？
（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，点1(,)n n a a +(*)n N ∈在直线10x y -+=上，且22a =. （Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列，并求n a ；
（Ⅱ）设2n a
n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，*n N ∀∈，2n
n S λ≥⋅成立，求实数λ
的取值范围.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ，//AD BC
，AB AC ==24BC AD ==.
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求棱锥D PAC -的高.
1
521386400
△78
22814
13
12
11乙
甲（第18题图）
（第20题图）
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率1
2
e =
，它的一个顶点恰好是抛物线212x y =-的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 与曲线(0)y k x k =⋅>的交点为B 、C ，求OBC ∆面积的最大值.
22.（本小题满分14分）
已知函数3
21()3
f x x x cx d =
-++(,)c d R ∈，其图象为曲线C ,点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l .
（Ⅰ）当3c =-时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当点(1,4)A -时，1l 的方程为2y x m =+，求实数c 和d 的值；
（Ⅲ）设切线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，试问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查
数学（文）试题参考答案
一、选择题
二、填空题
13. {|2x x ≤-或1}x ≥； 14. 16；
；
16. 1a ≤-
或2a ≥
三、解答题
17.（命题意图：本题考查同角三角函数的关系、三角形面积公式、余弦定理、两角差的余弦公式等解三角形的基础知识，考查了配方法、运算求解能力、化归与转化思想） 解：（Ⅰ）
()4
5
2sin ,,A A ππ=∈
，235
cos A ∴===- ……2分
34)4
5
5
cos()sin )A A A π-+=
∴-=+= 即(
)
4
cos A π
-
(6)
分
（Ⅱ）由已知得1sin 42
bc A =8
45
810sin bc A ∴=
== (8)
分
35
41,10,cos a bc A ===-
由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-得2235
41210()b c =+-⨯⨯- (9)
分
2229b c ∴+= (10)
分
222()2292049b c b c bc ∴+=++=+=7b c ∴+=，即b c +的值是7. (12)
分
18.（命题意图：本题考查茎叶图，平均数等统计图表、特征数的求解以及古典概型的概率计算，考查了学生数据处理能力）
解：（Ⅰ）设污损的数据为x ，则甲班抽出来的同学的平均成绩为
1
8
[(110312031302)2280713]122x ⨯+⨯+⨯++++++++= 解得3x = 所以这个污损的数据是3 (6)
分
（Ⅱ）依据题意，甲班130分以上的有2人，编号为A ，B ，乙班130分以上的有3人，编
号为c 、d 、
e ，从5位同学中任选2人，所有的情况列举如下：AB ,Ac ,Ad ,Ae ,Bc , Bd ,Be ,cd ,ce ,de 共10种结果 (9)
分
其中两位同学不在同一班的有Ac ,Ad ,Ae ,Bc ,Bd ,Be 共6种
所以所求概率为
63
105= ……………………………………………12分
19.（命题意图：本题考查数列与函数、方程、不等式交汇，考查等差、等比数列的定义和通项公式，等比数列的前n 项和等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想） （Ⅰ）证明：由已知得110n n a a +-+=，即11n n a a +-=(*)n N ∈
∴数列{}n a 是等差数列，公差为1. ………………………………………3分
又22a =，∴11a =，∴ 1(1)1n a n n =+-⨯= ……………………………6分 （Ⅱ）法一：
2n n b =，∴数列{}n b 是等比数列，且首项为2，公比为2 ∴12(12)
2212
n n n S +-==-- (9)
分
由2n n S λ≥⋅得1222n n
λ+-≥⋅，所以112
2()n λ-≤-(*)n N ∈
∴0
12
2()1λ≤-= (12)
分
法二：1n =时，122S λ=≥⋅，所以1λ≤ ……………………………9分
又若1λ≤，则2n ≥时，1222n n n
n n S S λ-=+>>⋅
综上，得1λ≤. ……………………………12分
20.（命题意图：本题考查线线、线面、面面关系，主要考查线面垂直的判定、面面垂直的性质及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及综合分析问题和解决问题的能力.） （Ⅰ）证明：
PA ⊥平面ABCD
PA AB ∴⊥ ……………………………………1分
在ABC ∆中，
AB AC ==4BC =22216AB AC BC ∴+==
AB AC ∴⊥ ……………………………………4分
又PA AC A =
(5)
分
∴ AB ⊥平面PAC ……………………………………6分
（Ⅱ）法一：
PA ⊥平面ABCD ，
∴平面PAC ⊥平面ABCD ……………………………………6分
∴ 在ACD ∆中，过D 作DE AC ⊥于E ，则DE ⊥平面PAC
DE ∴为三棱锥D PAC -的高 ……………………………………9分
又 在ABC ∆中，过A 作AF BC ⊥于F ,则2AF = ∴在ACD ∆中, AD AF AC DE ⋅=⋅ ……11分
即2⨯， DE ∴=
∴三棱锥D PAC -…………………12分
法二：在ACD ∆中，过D 作DE AC ⊥于E ，
在ABC ∆中， 过A 作AF BC ⊥于F ,则2AF =
ACD AD AF AC DE ∴∆⋅=⋅在中，
即2⨯， DE ∴=
又设三棱锥D PAC -的高为h ，
D PAC P ACD V V --=，PA ⊥平面ABCD ……9分
113
3
PAC
ACD
S
h S
PA ∴⋅⋅=⋅⋅ 即11
22
PA AC h AC DE PA ⨯⨯=
⨯⨯
h DE ∴== ∴三棱锥D PAC - (12)
分
21.（命题意图：本题考查曲线与方程、椭圆与抛物线的方程及简单的几何性质、三角形面积、均值不等式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.）
解：（Ⅰ）抛物线2
12x y =-的焦点为(0,3)-，∴3b = ……………………………1分
又椭圆C 离心率12c e a =
=，∴22221
394
a c a =+=+，212a ∴=……………2分
所以椭圆C 的方程为
22
1129
x y += ……………………………4分
（Ⅱ）设点00(,)B x y 00(0,0)x y >>，则00y kx =，连BC 交x 轴于点A ，
由对称性知：20001
222
OBC OAB S S x y kx ∆∆==⨯= ………………………6分
由00
2200112
9y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩ 得：2
023634x k =+ …………………8分
23636
3344OBC S k k k
k
∆∴=⋅
=
++， …………………9分
34k k +≥
=34k k
=即2
k =时取等号） …………10分
363
4OBC S
k k
∆∴=
≤+∴OBC ∆面积的最大值为 (12)
分
22.（命题意图：本题考查函数、导数等基础知识，利用导数求单调区间的方法，韦达定理，探究性问题的解法，考查运算能力，综合分析和解决问题的能力，考查函数与方程思想、转化思想.）
解：（Ⅰ）当3c =-时，32
1()33
f x x x x d =
--+ 则2
'()23(1)(3)0f x x x x x =--=+->，解得1x <-或3x >； (1)
分
'()0f x <，解得13x -<< (2)
分
∴函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(3,)+∞；单调递减区间是(1,3)- (4)
分
（Ⅱ）由题意得(1)4'(1)2f f -=⎧⎨-=⎩，即163
32
c d c ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， (6)
分
解得1331c d =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
(8)
分
∴实数c 和d 的值分别是1-和13
3
. …………………………………………………9分
（Ⅲ）设00(,())A x f x ，则3
200001()3
f x x x cx d =
-++，2000'()2f x x x c =-+ 联立方程组000()'()()()
y f x f x x x y f x -=-⎧⎨=⎩①
②
由②代入①整理得22
000(3)230x x x x x +--+= (10)
分
设(,())B B B x f x ，则由韦达定理得003B x x x +=-+，∴023B x x =-+………11分 由
题
意
得
21000'()2k f x x x c
==-+；
22200'()2483B B B k f x x x c x x c ==-+=-++
假设存在常数λ使得21k k λ=，则22
0000483(2)x x c x x c λ-++=-+， 即2
00(4)(2)30x x c c λλ--++-=,∴4030c c λλ-=⎧⎨
+-=⎩，解得4
1c λ=⎧⎨=⎩
………13分
所以当1c =时，存在常数4λ=使得214k k =；
当1c ≠时，不存在λ，使得21k k λ= ………………………………14分。