2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2第一章1.3.3 习题课

本
课 由(1)知当a>ln 2－1时，
时
栏 g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
目
开 关
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
课
时 获得．
栏
目 (3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数
开 关
的最值点．
(4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
跟踪训练2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
A．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
本 C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
课
时 D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
栏 目 开
±12时f′(x)＝0)．
因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是
A．(0,1]
本
B．[1，＋∞)
课 C．(－∞，－1]，(0,1)
时
D．[－1,0)，(0,1]
栏 目 开
解析 f′(x)＝2x－2x＝2x＋1xx－1，
目 开
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
关
x
0
0，
3 3
3 3

33，1
1
g′(x)
－
0
＋
g(x) 0
极小值
0
()
试一试·双基题目、基础栏
g(x)有最小值g
33＝－2
9
3 .
目
开 关
答案 C
习题课
课 的取值范围为多少？
时
栏 解 (1)f′(x)＝12x2－a，
目 开 关
∵f(x)的单调递减区间为－12，12，
∴x＝±12为f′(x)＝0的两个根， ∴a＝3.
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
(2)若f(x)在－12，12上为单调增函数，
则f′(x)≥0在－12，12上恒成立，
解析 若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需
关 y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，
即Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象
画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
()
本 课 时 栏 目 开 关
(1)求g(x)的单调区间和最小值．
本 课 时 栏 目
(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系． 解 (1)由题设易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln
x＋1x，
开 关
∴g(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝x－x2 1.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，
本 解析 对于导数存在的函数f(x)，
课
时 栏
若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，
目 开
反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，
关
不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，
但f′(x)≤0.
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
题型一 函数与其导函数之间的关系
试一试·双基题目、基础更牢固
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图
象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可
能为
(D )
本 课 时 栏 目 开 关
习题课
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断 导函数的图象．
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a， b)内单调递减”的__充__分__不__必__要___条件．
∴函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
本 课
当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数．
时
栏 当x>2时，f′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
目
开 关
由图象知应选D.
答案 D
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例2 设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝ 1x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
则f′(x)≤0在－12，12上恒成立，
即12x2－a≤0在－12，12上恒成立，
本 课 时
∴a≥12x2在－12，12上恒成立，
栏 目
∴a≥(12x2)max＝3.
开 关
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝
关
由f′(x)≤0结合x>0得0<x≤1.
(A)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的
取值范围是
(C)
本 课 时
A.13，＋∞ C.13，＋∞
B.－∞，13 D.－∞，13
栏
目 开
关 则h′(x)＝－x－x212.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g1x，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
研一研·问题探究、课堂更高效
∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
本 ∴当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g1x；
开 关
内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
跟踪训练1 设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如
图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是
()
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
解析 当x<0时，f′(x)>0，
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
解析 若函数在给定区间上是增函数，
本 则y＝f′(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，
课 时
则y＝f′(x)<0.
栏
目 答案 D
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
4．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有 ( C )
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
题型三 导数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，
本 课
求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
时 栏
解 (1)f′(x)＝3x2－a，
解析 因为f(x)在(a，b)上为增函数，
开
关 所以f(x)>f(a)≥0.
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为
A．－1
B．0
C．－2 9 3
D.
3 3
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
本
课 时 栏
解得x1＝ 33，x2＝－ 33(舍去)．
栏 目
解析 因为f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，
开 关
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(A )
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有
(A )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
本 课
C．f(x)＝0
D．不能确定
时
栏 目
习题课
习题课
本 【学习要求】
课 时
1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.
栏 目
2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数
开 关
不超过三次)．
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上
本 A．单调递增
B．单调递减
课 时
C．有最大值
D．有最小值
课 时 栏
当x＝1时，g(x)＝g(1x)；
目
开 关
当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g1x.
习题课
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是
本 极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可
是[3，＋∞)．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
小结 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围
时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范
本 课
围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能
时 栏
否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍
目 开
因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．
关 即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
本 课
即12x2－a≥0在－12，12上恒成立，
时 栏 目
∴a≤12x2在－12，12上恒成立，
开 关
∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意． 若f(x)在－12，12上为单调减函数，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
本
课 又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
时
栏 当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
目
开 关
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围
开 关
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.
答案 C
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
小结 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，
本 注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考察其图象
课 时
在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导
栏 目
函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增
区间，
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小 值点，
∴最小值为g(1)＝1.
本 课 时 栏 目 开
(2)g1x＝－ln x＋x， 设h(x)＝g(x)－g1x＝2ln x－x＋1x，
例1 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其
本 课
中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的
时 栏
图象大致是
()
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
解析 当0<x<1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
本 课
排除A、B选项．
时
栏 目
当1<x<2时，xf′(x)>0，
目 开
去；若f′(x)不能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成
关 立解出的参数的取值范围来确定．
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是
－12，12，则实数a的值是多少？
本 (2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在－12，12上是单调函数，则实数a
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
研一研·问题探究、课堂更高效
习题课
单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
本
课 时
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情
栏 况如下表：
目
开 关
x (－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x) 单调递减 2(1－ln 2＋a) 单调递增