人教版数学高二A版选修4-4素材 第二讲二圆锥曲线的参数方程

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1．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．规定参数φ的取值范围为[0,2π)．
温馨提示 (1)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转
角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ
(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，
它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，不是OM 的旋转角．
(2)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如(x －m )2
a 2
＋
(y －n )2
b 2＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．
2．双曲线的参数方程
中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a sec φ，y ＝b tan φ
(φ为参数)．规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π
2
.
3．抛物线的参数方程
(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数，t ∈(－∞，＋∞))．
(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 思考 把圆锥曲线的普通方程转化为参数方程时会不会有不同的结果呢？
提示：同一条圆锥曲线的参数方程形式不是唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的
参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)的形式，也可以是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a sin θ，
y ＝b cos θ(θ为参数)的形式，
二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．。