2021-2022年高二上学期12月第二次月考 数学理试题 含答案

2021年高二上学期12月第二次月考 数学理试题 含答案
说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A ．若,,,则
B ．若,,,则
C ．若,,,则
D ．若,,,则
2、若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3、已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则双曲线的 方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．
5、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是
（ ） A ． B ． C ． D ． 8、设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程是（ ）
A ．或
B ．或
C ．或
D ．或 9、已知圆,圆()()2
2
2:349C x y -+-=,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ） A ． B ． C ．
D ．
10、已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为（ ）
A
D 1
A 1D C B
A
B 1
C 1
E P
A ．
B ．
C ．
D ．
11、已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线
的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．3
12、在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一
点,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有,则（ ） A ．平面与平面垂直 B ．平面与平面所成的(锐)二面角为 C ．平面与平面平行
D ．平面与平面所成的(锐)二面角为
卷Ⅱ（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为, 三棱柱的体积为,则____________.
14、设是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点,
P 是C 上一点,若且的最小内角为,则C 的离心率为_____ 15、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点
P 在
线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.
16、如图,正方体的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).
①当时,S 为四边形;②当时,S 为等腰梯形;③当时,S 与的交点R 满足;④当时,S 为六边形;⑤当时,S 的面积为.
三．解答题：(17题10分，其它题目每小题12分) 17.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1, (1)证明:直线BC 1平行于平面D 1AC, (2)求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.
18、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点.
(I)求证:
(II)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB －Ａ的 余弦值。

19、如图,圆锥顶点为P.底面圆心为,其母线与底面所成的角为
22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面所成的角
为60°.
(Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面; (Ⅱ)求.
A
B
C
D P
Q
M
（第20题图）
20、如图,在四面体中,平面,22,2,==⊥BD AD CD BC .是的中点, 是的中点,点在线段
上,且.
(1)证明:平面;
(2)若二面角的大小为,求的大小.
21、已知椭圆
，经过点（3，—2）与向量（—1，1）平行的直线l
交椭圆C 于A ，B 两点，交x 轴于M 点，又
(I ）求椭圆C 长轴长的取值范围；(II ）若，求椭圆C 的方程.
22、设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.(1）求点的轨迹方程；(2）设
圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？
理科数学答案
1~12 DCBC BCBC AACA
13.1：24; 14.; 15. 16.①②③⑤ 17.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故,
故ABC 1D 1为平行四边形,故,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为 考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得 而中,115,2AC DC AD ===,故 所以,1312
3233
V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为.
18.
19. (Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面; (Ⅱ)求. 【答案】解
:
(Ⅰ)
PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面
ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ .
所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面
与面面C . (Ⅱ)
r
PO
OPF F CD r =
︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒
-︒
=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2
COD r OF PO OF . )
223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.
法二:
20.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因
为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;
方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以
cos ,sin 22,22sin ,22,CD CG CB
CD CG BC BD CD BD
αααααα===⇒===, 在
中
,
2sin 22BG
BCG BG BC
ααα∠=∴=
∴=,所以在中,
22
1223322sin HG α
α=∴=,所以在中
2
22cos sin tan tan 60322sin CG CHG HG αα
α
∠===
= tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=;
21.【答案】（I ）设直线l 与椭圆C 交于点.
由
将 ①
由韦达定理，知
得 ④ 对方程①由 ⑤
将④代入⑤，得意
又由及④，得
因此所求椭圆长轴长的取值范围是 (II ）由（I ）中②③得，
⑥
联立④⑥，解得∴椭圆C 的方程为
22.【答案】（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点
的抛物线∵∴∴曲线方程是 (2）设圆的圆心为，∵圆过，
∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- 令得：
设圆与轴的两交点分别为， 方法1：不妨设，由求根公式得
122a x +=，222
a x =∴
又∵点在抛物线上，∴，∴ ，即＝4 ∴当运动时，弦长为定值4〔方法2：∵，
∴2
2
121212()()4x x x x x x -=+-⋅22
(2)4(44)41616a b a b =--=-+ 又∵点在抛物线上，∴， ∴ ∴当运动时，弦长为定值4。