山西省晋中市上梁中学2020年高三数学文月考试题含解析

山西省晋中市上梁中学2020年高三数学文月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在区间
内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间
内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
考点：几何
概型概率
【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
2. 已知幂函数的图象过点，则＝ 参考答案： 2
3. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）
A ． 3
B ． 4 C. 5 D ．6
参考答案：
C
4. 若i 为虚数单位，复数z 满足
，则z 的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
D
故的虚部为
故选D
5. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有（ ）
A.15种
B.18种
C.19种
D.21种
参考答案： B
分配问题有三种情况，分别为432，531，621；
6. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（）
A．πB．2πC．4πD．8π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，
其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2，
高为h=2cm，
故柱体的体积V=Sh=πcm3，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7. 已知函数
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
8. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象可能是参考答案：
B
略
9. 函数的图象大致是（）
参考答案：
C
10. 已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）
A．B． C． D．
参考答案：
D
方程①至多有一个零点，
∴方程至少有两个零点．
令，．
若，则为上的增函数，
故至多有一个零点，舍去；
若，则，
令，则，
为上的减函数，故，
若，则，为上的减函数，
故至多有一个零点，舍去；
若，则在有解，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在单调递减，
∴在上只能有两个零点，
故，解得．
又方程有一个零点，故，故，
综上，，故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.
参考答案：
【分析】
根据BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.
【详解】因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面ABD，
∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，
所以BA⊥AC，
所以△BCD和△ABC都是直角三角形，
由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，
所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：
所以球的表面积为：3π.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
12. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则
参考答案：
13. 下列命题中：
（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．
（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；
（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；
（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．
（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB 的中点．正确的是（填序号）
参考答案：
（2），（5）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由正弦定理求得sinB ，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k 的不等式，求得k 值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l的方程说明（5）正确．
【解答】解：对于（1），由，得sinB=．
当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；
对于（2），点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正确；
对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，
即k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；
对于（4），将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，
得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）错误；
对于（5），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：
，∴，∴k AB=2，此时直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，联立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．
∴正确命题的序号是（2），（5）．
故答案为：（2），（5）．
14. 设，则二项式的展开式中的常数项等于.
参考答案：
-160
略
15. 等差数列的前项和为，若，则_______.
参考答案：
16. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是．
参考答案：
y2=9x或x2=y
【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3），当抛物线焦点在y轴上时，设
x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程．【解答】解：圆方程x2+y2﹣2x+6y+9=0化为（x﹣1）2+（y+3）2=1，
可得圆心坐标为（1，﹣3），
（1）当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，p=﹣，∴x2=﹣y；
（2）当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，p=，∴y2=9x．
故答案为：y2=9x或x2=y．
【点评】本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题．
17. 极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为____________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A 到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．
参考答案：
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；导数的综合应用．
【分析】（1）由题意得y=1?x+1?sin（﹣x）×2，化简并写出定义域（0＜x＜）；
（2）求导y′=1﹣2cos（﹣x）以确定函数的单调性，从而求最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
y=1?x+1?sin（﹣x）×2
=x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；
函数的定义域为{x|0＜x＜}；
（2）y′=1﹣2cos（﹣x），
令y′=0解得，x=，
故当x=时，观光路线总长最大，最大值为+2×=+（km）．
【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．
19. （本题满分10分）如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点
，点是边的中点，连接交圆于点.
（1）求证：、、、四点共圆；
（2）求证：
参考答案：
（1）连接、，则
又是BC的中点，所以
又，
所以.。

3分
所以
所以、、、四点共圆。

5分
（2）延长交圆于点
因为
.。

7分
所以
所以。

10分
20. (本小题满分14分)已知函数，若曲线在点处的切线平行于
轴．
(Ⅰ) 求实数的值；
（Ⅱ）函数恰有两个零点．
（i）求函数的单调区间及实数的取值范围；
（ii）求证：．
参考答案：
解法一：（Ⅰ）由，且，………………………………2分解得．…………………………………………3分
（Ⅱ）（i），.
令,…………………………………………4分
当即时，，
所以在上单调递减，
此时只存在一个零点，不合题意；………………………………………5分
当时，令，解得.
当变化时，和变化情况如下表：
(6)
由题意可知，.
设，
当时，即，此时恰有一个零点，不合题意；…………… 7分当且时，，………………………………8分
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时恰有两个零点．
综上，的取值范围是.…………………………………………9分（ii）证明：函数有两个零点，
，
两式相减得，
．…………………………………………10分
要证，
只要证，只要证，
只要证，……………………………11分
只要证．…………………………………………12分ks5u
设，则，
在（1，+∞）上单调递增，………………………………13分
，
．…………………………………………14分
解法二：（I），（II）（i）同解法一．
（ii）显然，故是函数的一个零点，不妨设．…………………10分由是函数的另一个零点，
所以，即.……………………………11分
又，…………………12分设，且，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，…………………………………………13分所以的单调递增区间为和．
又，
当时，，当时，,
所以，即.…………………14分
21. （本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形
为直角梯形，，，，．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的余弦值．
参考答案：
（法一）（1）取中点为，连接、，
且，
，则且．…………2分
四边形为矩形，且，
且，
，则．
平面，平面，
平面．……………………………………………………4分
（2）过点作的平行线交的延长线
于，连接，，，
，
，，，四点共面．
四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，又，
平面，，
又平面平面，
为平面与平面所成锐二面角的平面角．……………………7分，．
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为
．……………………9分
（3）过点作于，连接，
根据（2）知，，，四点共面，，
，，
又，平面，
，则．
又，平面．
直线与平面所成角为．……………………………11分，，
，，，
．
即直线与平面所成角的余弦值为．……………………………14分
（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且
平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，则，．………………2分
，，为平面的一个法向量．
又，
平面．…………………………………………………………4分（2）设平面的一个法向量为，则
，，
，取，得．……………………………6分平面，
平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，
，，………12分设直线与平面所成角为，则．
因此，直线与平面所成角的余弦值为．………………………14分22. 已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当函数有两个零点时，证明：．
参考答案：
（1）解：因为，（1分）
当时，令，所以当时，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增；（3分）
当时，恒成立，故此时函数在R上单调递增.（5分）（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，设函数的两个零点为，
则，
设，
解得，所以，（8分）
欲证，只需证明，
设
设单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，
所以，故成立．（12分）。