(人教版)武汉市九年级数学上册第四单元《圆》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）
A ．25
B ．4
C ．213
D ．245
2．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =30°，则∠C 的度数是（ ）
A ．70°
B ．45°
C ．30°
D ．20°
3．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 4．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 5．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）
A ．103
B ．83
C ．3
D ．4
6．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．
A ．80°
B ．70°
C ．50°
D ．40° 7．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可
取的整数值有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，同勾中 容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是（ ）
A ．8.5
B ．17
C ．3
D ．6
9．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）
A ．12
B ．45
C ．1
D ．43
10．如图，C 、D 是以AB 为直径的O 上的两个动点（点C 、D 不与A 、B 重合），在运动过程中弦CD 始终保持长度不变，M 是弦CD 的中点，过点C 作CP AB ⊥于点P ．若3CD =，5AB =，PM x =，则x 的最大值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．2.5
D ．23 11．下列说法中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆
B ．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角
相等 C ．平分弦的直径垂直于弦
D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
12．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________．
14．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．
15．在直径为10cm 的⊙O 中，弦AB=5cm ，则∠AOB 的度数为_______．
16．如图所示，已知矩形ABCD 的边3AB cm =，4AD cm =．以点A 为圆心作圆，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R 的取值范围是______．
17．在矩形ABCD 中，43AB =，6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．
18．已知圆心O 到直线l 的距离为5，⊙O 半径为r ，若直线l 与⊙O 有两个交点，则r 的值可以是________．（写出一个即可）
19．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．
20．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则OC ＝_____．
三、解答题
21．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO BO ≥．以OF 为半径的O 与直线AB 交于点M 、N ．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在O上，求正方形BEFG的边长．（2）如图2，若点C在O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
⊥．
（3）如图3，若点D在O上，求证：DO FO
22．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图1，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF＝BE．
①求证：ADF≌ABE；
②求证：DE﹣BE＝2AE．
（2）如图2，若点E在AD上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．
=，以BC为直径的O交AB于点O，过点D作23．已知：如图，ABC中，BC AC
⊥于点E，交BC的延长线于点F．
DE AC
=，（2）DF是O的切线．
求证：（1）AD BD
24．在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为O外一点．
求作：经过点P的O的切线．
小敏的作法如下：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ；
②以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交O 于,A B 两点； ③作直线,PA PB ．所以直线,PA PB 就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点,A B 在以C 为圆心，CO 为半径的圆上， OAP OBP ∴∠=∠= ︒．（ ）（填推理的依据）
,PA OA PB OB ∴⊥⊥ ,OA OB 为O 的半径
∴直线,PA PB 是O 的切线，（ ）（填推理的依据）
25．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知：ABC ∆．
求作：BC 边上的高AD ．
作法：如图，
①分别以点A 和点C 为圆心，大于
12
AC 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点； ②作直线PQ ，交AC 于点O ，则直线PQ 是线段AC 的 线； ③以O 为圆心，OA 为半径作
O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ，线段AD 即为
所作的高．
（1）补全尺规作图并填空﹔
（2）判断AD 为高的依据是 ．
26．如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作CE AB ⊥于点D ，交⊙O 于点E ，过点B
作BF AC ⊥于点F ，交CE 于点G ，连接BE ．
（1）求证：BE BG =；
（2）过点B 作BH AB ⊥交⊙O 于点H ，若BE 的长等于半径，4BH =，43AC =求CD 的长．
参考答案
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12
AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°， ∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=
12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
2．C
解析：C
【分析】
由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠A=∠ABO=30°，由外角的性质得到∠BOC=60°，即可求得∠C=30°．
【详解】
∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠C=30°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．C
解析：C
【分析】
根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．
【详解】
∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；
∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；
∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；
∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；
综上，正确的是②⑤，共2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．
4．B
解析：B
【分析】
先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等
于圆锥的母线长和扇形面积公式得到1
2
•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定
理计算圆锥的高．
【详解】 解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13， 所以圆锥的高=2
213512．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．A
解析：A
【分析】
如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD 的长，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r
∵EM CD ⊥
∴MD=12
CD=2 在Rt △MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2 ∴222OM MD OD +=,即()22262r r -+=，解得r=
103
． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD 的长是解答本题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC 的度数．
【详解】
解：作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，
∵∠ABD=40°，
∴∠ABC=180°-40°=140°，
∵∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠E=40°，
∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．C
解析：C
【分析】
当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，
过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，
∵AB=8，OA=5，
∴AM′=1
×8=4，
2
∴在Rt△OAM′中，2222
OA AM=-
-'=3，
54
∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．
所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，
故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．
8．D
解析：D
【分析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形内切圆半径公式求出半径，从而得到直径．
【详解】
解：根据勾股定理，斜边是22
81517
+=，
直角三角形的内切圆半径
81517
3
2
+-
==，
∴直径是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．
9．C
解析：C
【分析】
连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD 的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．
【详解】
解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，
∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），
∴PC⊥y轴，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PD=OC=3，
∵A（1，0），B（7，0），
∴AB=7-1=6，
∴AD=1
2AB=
1
2
×6=3，
∴OD=AD+OA=3+1=4，
∴P （4，3），
∵直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，
∴3=4k-1，解得k=1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P 点坐标即可得出结论．
10．C
解析：C
【分析】
如图：延长CP 交O 于N ，连接DN ，易证12PM DN =，所以当DN 为直径时，PM 的值最大．
【详解】
解：如图：延长CP 交
O 于N ，连接DN ．
AB CN ⊥，
CP PN ∴=，
CM DM =，
12PM DN ∴=， ∴当DN 为直径时，PM 的值最大，最大值为
52
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
11．D
解析：D
【分析】
根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．
【详解】
解：A 、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；
B 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；
C 、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；
D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．C
解析：C
【分析】
过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．
【详解】
解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：
∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，
∴OM ＝4，ON ＝10，
∴MN ＝6，
∵PD ⊥MN ，
∴DM ＝DN ＝
12
MN ＝3， ∴OD ＝7，
∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，
∴PM 22PD DM +2243+5，
即⊙P 的半径为5，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 二、填空题
13．【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（
解析：()3,3【分析】
M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．
【详解】
解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC 的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB ，
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，
∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，
∴M 点的坐标为（3，3），
∵
MB ==
∴⊙M ．
故答案为（3，3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
14．【分析】由勾股定理可求BD=BF=由题意可得点F 在以点B 为圆心BF 为半径的圆上则当点F 在线段DB 上时DF 的值最小即可求解【详解】解：连接BDBF ∵矩形∴∠C=90°∴∵正方形∴∴点F 在以点B 为圆心B
【分析】
由勾股定理可求，由题意可得点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上，则当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，即可求解．
【详解】
解：连接BD 、BF
∵矩形ABCD ，2AB =，3AD =，
∴∠C=90°
∴
BD ==∵正方形BEFG ，1BE = ∴
==BF
∴点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上，
∴当点F在线段DB上时，DF的值最小，
∴DF的最小值=BD-BF=132
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，正确的判断出DF最小时F点的位置是解答此题的关键．
15．60°【分析】如图连接OAOB根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数【详解】解：如图在⊙O中直径为10cm弦
AB=5cm∴OA=OB=5cm∴OA=OB=AB∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°
解析：60°
【分析】
如图，连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数.
【详解】
解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm，
∴OA=OB=5cm，，
∴OA=OB=AB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握运算性质定理是解题的关键. 16．【分析】使BCD三点至少有一个在圆内且至少有一个在圆外也就是说圆的半径不能小于AB不能大于AC可求得AC=5所以3<r<5【详解】如图连接
AC ∵ 在矩形ABCD 中AB=3cmAD=4cm ∠ABC=9
解析：35R <<
【分析】
使B 、C 、D 三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC ，可求得AC=5，所以3<r<5.
【详解】
如图，连接AC ，
∵ 在矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，∠ABC=90°，BD=AC ，
∴AC=BD=2222345AB AD cm +=+=，
∴AB<AD<AC ，
∵B ，C ，D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点⊙A 在外，
∴点B 一定在⊙A 内，点C 一定在⊙A 外，
∴⊙A 半径R 的取值范围应大于AB 的长，小于对角线AC 的长，即3<R<5．
故答案为：3<R<5．
【点睛】
本题考查确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d ，圆的半径为r ，则d >r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．
17．或4或8【分析】取CD 中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B 是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A 点P1点B 作圆与ADBC 各有一个交点即这样的P 点一共3个再运用勾
解析：434或8．
【分析】
取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，由勾股定理可求AP 1＝BP 1＝3△AP 1B 是等边三角形，可得∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°
∵点P 1是CD 中点
∴CP ＝DP 1＝23
∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221
BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB
∴△APB 是等边三角形
∴∠AP 1B ＝60°，
过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，
∴这样的P 点一共有3个
当点P 2在AD 上时，如图2，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒
∵260,AP B ∠=︒
∴221,2
P A P B = 即222,P B P A =
在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=
∴222222(43),P A P A -=
∴24AP =；
当点P 3在BC 上时，如图3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°
∵∠360,AP B =︒
∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒
∴331,2
BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=
222331()(43),2
AP AP -= 23348,4
AP = ∴8,AP =
综上所述，AP 的长为：34或8．
故答案为：34或8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．答案不唯一如516等（满足即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系再取r 的值即可【详解】解：∵直线l 与⊙O 有两个交点圆心O 到直线l 的距离为5∴∴在此范围内取值即可如516
解析：答案不唯一，如5.1，6等（满足5r >即可）
【分析】
根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系，再取r 的值即可．
【详解】
解：∵直线l 与⊙O 有两个交点，
圆心O 到直线l 的距离为5，
∴5r >
∴在此范围内取值即可，如5.1，6等．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系---相交，熟知直线与圆相交满足的条件是解答此题的关键．
19．1【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式即可求解【详解】由得：扇形的弧长=（厘米）圆锥的底面半径=（厘米）故答案是：1【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长是解题的关键 解析：1
【分析】
根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解．
【详解】 由1=2
S lR 扇形得：扇形的弧长=215152ππ⨯÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=221ππ÷÷=（厘米）．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键． 20．【分析】连接OB 作OD ⊥BC 于D 由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°BC ＝8由⊙O 与等边三角形ABC 的两边ABBC 都相切得出OD 是⊙O 的半径∠OBC ＝∠OBA ＝30°应用三角函数求出BD ＝3CD ＝B
解析：【分析】
连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，BC ＝8，由⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，得出OD 是⊙O 的半径，∠OBC ＝∠OBA ＝30°，应用三角函数求出BD ＝3，CD ＝BC−BD ＝5，由勾股定理得出OC ，即可得出答案．
【详解】
连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，
∵△ABC 是边长为8的等边三角形，
∴∠ABC ＝60°，BC ＝8，
∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，
∴OD 是⊙O 的半径，∠OBC ＝∠OBA ＝
12∠ABC ＝30°， ∵tan ∠OBC ＝OD BD
，
∴BD
＝OD tan 30＝＝3，
∴CD＝BC−BD＝8−3＝5，
OC＝22
OD+CD＝()22
3+5＝27，
故填：27．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）1
2
；（2）见解析；
1
2
；（3）证明见解析
【分析】
（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，得出(x+
1
2
)2+x2＝(
1
2
)2+12，解得：x=
1
2
，则答
案求出；
（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+
（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=1
2
，则结论可得证；
（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）
2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．
【详解】
解：（1）连接OC
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，
∵点O为AB中点，
∴OB=1
2AB=
1
2
，
设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，
∴(x+1
2
)2+x2＝OF2，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，
∴(1
2
)2+12=OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴(x+1
2)2+x2＝(
1
2
)2+12，
解得：x=1
2
，
∴正方形BEFG的边长为1
2
；
（2）证明：如图2，连接OC，
设OB=y，BE=EF=x，
同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴x2+（x+y）2=y2+12，
∴2x2+2xy=1，
∴x2+xy=1
2
，
即x（x+y）=1
2
，
∴EF×OE=1
2
，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为1
2
．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，
∵∠DAO=∠OEF=90°，
∴DA 2+OA 2=OD 2，OE 2+EF 2=OF 2，
∴12+a 2=OD 2，（1-a+b ）2+b 2=OF 2，
∵OD=OF ，
∴12+a 2=（1-a+b ）2+b 2，
∴（b+1）（a-b ）=0，
∵b+1≠0，
∴a-b=0，
∴a=b ，
∴OA=EF ，
在Rt △AOD 和Rt △EFO 中，
OD OF OA EF ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），
∴∠FOE=∠ODA ，
∵∠DAO=90°，
∴∠ODA+∠AOD=90°，
∴∠FOE+∠AOD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DO ⊥FO ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
22．（1）①见解析；②见解析；（2）BE ﹣DE 2AE
【分析】
（1）①易证AD ＝AB ，EB ＝DF ，所以只需证明∠ADF ＝∠ABE ，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
②易证AEF 是等腰直角三角形，所以EF 2AE ，所以只需证明DE ﹣BE ＝EF 即可，由BE ＝DF 不难证明此问题；
（2）类比（1）不难得出（2）的结论．
【详解】
（1）①证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，
∵∠1和∠2都对AE ，
∴∠1＝∠2， 在ADF 和ABE 中，
12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ADF ≌ABE （SAS ）；
②由①有ADF ≌
ABE ， ∴AF ＝AE ，∠3＝∠4．
在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．
∴∠BAF +∠3＝90°．
∴∠BAF +∠4＝90°．
∴∠EAF ＝90°． ∴EAF 是等腰直角三角形．
∴EF 2＝AE 2+AF 2．
∴EF 2＝2AE 2．
∴EF ＝2AE
．
即DE ﹣DF ＝2AE ．
∴DE ﹣BE ＝2AE ．
（2）BE ﹣DE ＝2AE ．理由如下：
在BE 上取点F ，使BF ＝DE ，连接AF ．
∵AB ＝AD ，BF ＝DE ，∠ABE ＝∠EDA ，
∴ADE ≌ABF （SAS ），
∴AF ＝AE ，∠DAE ＝∠BAF ．
在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．
∴∠BAF +∠DAF ＝90°．
∴∠DAE +∠DAF ＝90°．
∴∠EAF ＝90°． ∴EAF 是等腰直角三角形．
∴EF 2＝AE 2+AF 2．
∴EF 2＝2AE 2．
∴EF
AE ．
即BE ﹣BF AE ．
∴BE ﹣DE
．
【点睛】
本题为圆的综合题，本题主要考查圆周角定理、全等三角形的判定及勾股定理的运用等，有一定的综合性，难度适中．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90BDC ∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得ACD BCD ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得ODC BCD ∠=∠，从而可得ACD ODC ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得OD DF ⊥，最后根据圆的切线的判定即可得证．
【详解】
（1）如图，连接CD ， BC 是O 的直径，
90BDC ∴∠=︒，即CD AB ⊥，
又BC AC =，
CD ∴是AB 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
AD BD ∴=；
（2）如图，连接OD ，
,BC AC CD AB =⊥，
ACD BCD ∴∠=∠，
OC OD =，
ODC BCD ∴∠=∠，
ACD ODC ∴=∠∠，
//OD AC ∴，
DE AC ⊥，即DF AC ⊥，
OD DF ∴⊥，
又OD是O的半径，
∴是O的切线．
DF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理、圆的切线的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
24．（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.
【详解】
（1）如图
（2）如图，连接OA，OB后，
由作图可知点,A B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠=∠=90︒．（直径所对的圆周角是直角）
OAP OBP
∴⊥⊥
,
PA OA PB OB
OA OB为O的半径
,
∴直线,
PA PB是O的切线，（经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线）
【点睛】
此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键. 25．（1）画图见解析，垂直平分；（2）直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）利用基本作图可判断PQ垂直平分AC；
（2）根据圆周角定理求解．
【详解】
解：②作直线PQ ，交AC 于点O ，则直线PQ 是线段AC 的垂直平分线；
（1）如图，AD 为所作；
（2）∵AC 为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD ⊥BC ．
故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．
26．（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到BAC BEC ∠=∠，根据直角三角形的性质、对顶角相等得到BEC BGE ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接OB 、OE 、AE 、CH ，根据平行四边形的判定和性质得到4CG BH ==，根据等边三角形的性质得到60BOE ∠=︒，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得，BAC BEC ∠=∠，
CE AB ⊥，BF AC ⊥，
90ADC GFC ∴∠=∠=︒，
CGF BAC ∴∠=∠，
BEC CGF ∴∠=∠，
BGE CGF ∠=∠，
BEC BGE ∴∠=∠，
BE BG ∴=；
（2）解：连接OB 、OE 、AE 、CH ，
BH AB ⊥，CE AB ⊥
//BH CE ∴，
四边形ABHC 是O 的内接四边形，
90ACH ABH ∴∠=∠=︒，
//BF CH ∴，
∴四边形CGBH 为平行四边形，
4CG BH ∴==，
OE OB BE ==，
BOE ∴∆为等边三角形，
60BOE ∴∠=︒，
1302
BAE BOE ∴∠=∠=︒， 12
DE AE ∴=， 设DE x =，则2AE x =， 由勾股定理得，223AD AE DE x =-=，
BE BG =，AB CD ⊥，
DG DE x ∴==，
4CD x ∴=+，
在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即)()(22
23434x x ++=， 化简得：2280x x +-=
解得，12x =，240x =-<（舍去）
则24=6CD =+．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质，灵活运用圆周角定理是解题的关键．。