立体的投影

为斜面体，如棱锥、棱台等。建筑工程中把有坡屋顶的房子、有斜面的构件均看作是斜面体的
组合体、
各棱线和各顶点的投影，由
于点、直线和平面是构成平
面立体表面的几何元素，因
此绘制平面立体的投影，归
根结底是绘制点、直线和平
面的投影。在平面立体中，
可见棱线用实线表示，不可
见棱线用虚线表示，以区分
可见表面和不可见表面。
01 第一节 平面立体的投影
1.棱柱体
（1）形体特征 棱柱的各棱线互相平行，底面、顶面为多 边形。棱线垂直顶面时称为直棱柱，棱线倾斜 顶面时称为斜棱柱。图4-3a给出一个直三棱柱。 它是由上、下两个底面（三角形）和三个棱面 （长方形）组成的。
（2）安放位置 安放形体时要考虑两个因素：一要使形体
处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为 了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直 于投影面。
对于图4-3a中的直三棱柱，选上下底面平 行于H面，棱面AA1C1C平行于V面。
01 第一节 平面立体的投影
（3）投影分析 图4-3b是它的两面投影图。因为上、下两
底面是水 平面，棱面AA1C1C为正平面，其 余两个棱面是铅垂面，所以它的水平投影是一 个三角形，这个三角形是上、下底面的投影， 反映了实形，三角形的三个边即为三个棱面的 积聚投影，三角形的三个顶点分别是三条棱线 的水平积聚投影。三棱柱的后棱面是正平面， 它的正面投影反映实形，成为棱柱的外形轮廓 线，此外形轮廓线的上、下两边即为上、下两 底面的积聚投影，左、右两边是左、右两条棱 线的投影。b′b1′是棱线BB1的V面投影，它 把三棱柱的正面投影分为左、右两个线框，这 两个线框就是左、右两个棱面的投影 （ 不反映 实形）。
第二节 曲面立体的投影
02 第二节 曲面立体的投影
一、基本概念
1.曲线
曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 曲线上各点都是在同一个平面内的称为平面曲线 （ 如圆、椭圆、双曲线、抛物线 等）；曲线上各点不在同一个平面内的称为空间曲线（如圆柱螺旋线等）。
2.曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。 由直线运动而形成的曲面称为直线曲面。
01 第一节 平面立体的投影
二、平面立体表面上点和直线的投影
平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、取线的作图问题，实质上就是平面上 取点、取线作图的应用。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现表面投影 的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题，因此对于表面上的点和线，还应考虑 它们的可见性，判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投影可见， 那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。
01 第一节 平面立体的投影
立体表面取点、取线的求解问题一般是指已知立体的三面投影和它表面上某一点（线） 的一面投影，求该点（线）的另两面投影，这类问题的求解方法有：
1.从属性法
当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，即可利用线 上点的“从属性”求解。
01 第一节 平面立体的投影
01 第一节 平面立体的投影
【例4-1】 作四棱台的正投影图，如图4-5所示。
解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平 行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两 棱面为正垂面。
2）上、下两底面与H面平行，其水 平投影反映实形；其正面、侧面投影积 聚为直线。
3）前、后两棱面与W面垂直，其侧 面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。
我们把确定曲面范围的外形线称为 轮廓线 （ 或转向轮廓线 ） ，轮廓线也是 可见与不可见的分界线。轮廓线的确定 与投影体系及物体的摆放位置有关，当 回转体的旋转轴在投影体系中摆放位置 合理时，轮廓线与素线重合，这种素线 称为轮廓素线。在三面投影体系中，常 用的四条轮廓素线分别为：形体最前边 素线、最后边素线、最左边素线和最右 边素线。
01 第一节 平面立体的投影
【例4-3】
如图4-9所示，已知三棱锥的三面投 影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线 段的其他投影。
解：
（1）分析 从已知投影可知，线段EF的水平投影ef为可
见，所以EF必在左棱面△SAB上，△SAB为一般位 置平面，故可以过EF作一辅助直线Ⅲ,根据从属关 系求出E、F点的投影。
W面投影亦为一矩形。该矩形上下两条边为圆柱 体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱 面的前后两条轮廓素线EF、GH的投影。该矩形线框表 示圆柱体左半圆柱面与右半圆柱面的重合投影。
02 第二节 曲面立体的投影
（4）作图步骤 1）用单点长画线画出圆柱体各投影的轴线、中心线。 2）由直径画水平投影圆。 3）由“长对正”和高度作正面投影矩形。 4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。 注意：圆柱面上的AB、CD两条素线的侧面投影与轴线的侧面投影重合，它们在侧面 投影中不能画出；EF和GH两条素线的正面投影与轴线的正面投影重合，他们在正面投 影中不能画出。也就是说非轮廓线的素线投影不必画出。
02 第二节 曲面立体的投影
如圆柱曲面是一条直线围绕一 条轴线始终保持平行和等距旋转而 成（图4-10a）。
圆锥面是一条直线与轴线交于 一点始终保持一定夹角旋转而成的 （图4-10b）。
02 第二节 曲面立体的投影
由曲线运动而形成的曲面称为曲线曲面。 如球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而 成（图4-10c）。
工程中常见的曲面立体多为回转体。回转 体是由一母线 （ 直线或曲线 ） 绕一固定轴线作 回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体 和环体都是回转体。
02 第二节 曲面立体的投影
3.素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任意位置称为素线。如圆柱体的素线是互相平行 的直线；圆锥体的素线是汇集于锥顶S点的倾斜线；圆球体的素线是通过球体上下顶点 的半圆弧线（图4-10）。
01 第一节 平面立体的投影
2.棱锥体
（1）形体特征 底面是多边形，棱线交于一点，侧 棱面均为三角形。如图4-4a所示，三棱 锥S-ABC由一个底面和三个棱面组成。 （2）安放位置 底面△ABC平行于H面。
01 第一节 平面立体的投影
（3）投影分析 图4-4b是三棱锥S-ABC的两面投影图。因
为底面是水平面，所以它的水平投影是一个三 角形（反映实形），正面投影是一条直线（有 积聚性）。连锥顶S和底面△ABC各顶点的同面 投影，即为三棱锥的两面投影。其中，水平投 影为三个三角形的线框，它们分别表示三个棱 面的投影。正面投影的外轮廓线s′a′b′是三棱锥 前面棱面SAB的投影，是看得见的。其他两棱 面的正面投影是看不见的，所以它们的交线 （即SC棱线）的正面投影s′c′也是看不见的，将 它们画成虚线。
能力要求
通过本章的学习，学生应了解立体三面投影图的形成特点，掌握各种常见立 体的投影规律，掌握线与立体相交、面与立体相交、立体与立体相交的投影规律 和作图步骤，掌握组合体的投影规律和尺寸标注，掌握常用工程曲面的投影规律， 能够读懂立体的投影图，能够读懂组合体的三视图，会进行必要的立体投影作图， 会绘制组合体的三视图，会绘制螺旋楼梯等工程曲面。
01 第一节 平面立体的投影
（2）作图 1）过ef作一辅助直线12。 2）求1′2′、1″2″:从Ⅰ点的水平投影1
向上作铅直线，与s′a′交于1′；从2点向右作 水平线至45°线，转向上得出2″，再向左得出 2′，连接1′2′、1″2″，两投影均为可见。
3）求e′f′、e″f″:从水平投影ef向上作 铅直线，得出e′f′，再向右作水平线得出 e″f″，两投影均为可见。
4）左、右两棱面与V面垂直，其正 面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。
5）四根斜棱线都是一般位置直线， 其投影都不反映实长。
01 第一节 平面立体的投影
（2）作图 1）先作出正立面投影，向下“长对正”引铅垂线，向右“高平齐”引水平线。 2）按物体宽度作出水平投影，并向右“宽相等”引水平线至45°线。 3）加深图形线。 注意作图时一定要遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
第四章
立体的投影
学习目标
立体的投影内容包括平面立体的投影、曲面立体的投影、立体的截断与相贯、 组合体的投影、工程常用曲面五部分。本章主要讲述了棱柱体、棱锥体、圆柱体、 圆锥体、圆球体的投影特征和形体上点、线、面的投影特征，进而阐述了线与立 体、面与立体、立体与立体的相交规律，并与工程案例结合介绍了工程常用曲面 的投影规律。
目录 CONTENTS
01 第一节 平面立体的投影 02 第二节 曲面立体的投影 03 第三节 立体表面交线的投影 04 第四节 组合体的三面正投影 05 第五节 建筑工程常用的曲面
第一节 平面立体的投影
01 第一节 平面立体的投影
一、平面立体的投影
平面立体的表面都是平面多边形，其基本形体如图4-2所示。凡是带有斜面的平面体统称
02 第二节 曲面立体的投影
4.纬圆
由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴 线，此圆即为纬圆。
02 第二节 曲面立体的投影
二、曲面立体的投影
1.圆柱体的投影
（1）形体分析：圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底 面围成的。 （2）安放位置：当圆柱体在投影面体系中的位置一 经确定，它对各投影面的投影轮廓也随之确定。我 们只研究圆柱轴线垂直于某一投影面，底面、顶面 为投影面平行面的情况。
如图4-8a所示，在三棱锥的SAB棱面上给出了点M的 正面投影m′，又在SBC棱面上给出了点N的水平投影n。 为了作出M点的水平投影m和N点的正面投影n′，可以运 用前面讲过的在平面上定点的方法，即首先在平面上画 一条辅助线，然后在此辅助线上定点。
01 第一节 平面立体的投影
图4-8b说明了这两个投影的画法，图中过M点作一条平行于底边的辅助线，而过N点作一条 通过锥顶的辅助线。所求的投影m是可见的，投影n′是不可见的。
【例4-2】如图4-7所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M、N的正面投影，求出另
外两面投影。
解：（1）分析
从已知投影可知，M点的正面投影m′为可见，所以M在前棱面AA1B1B上。N点的正面投影 n′不可见，所以必在AA1D1D平面上，其侧投影n″为可见。
01 第一节 平面立体的投影
（2）作图 1 ） 求点m、m″:点M在棱面AA1B1B上，该平面为铅垂面。其水平投影积聚成一条直线，
02 第二节 曲面立体的投影
2.圆锥体的投影
（1）形体分析：圆锥体是由圆锥面和底平面围成的。 （2）安放位置：当圆锥体在投影面体系中的位置一经 确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定。如图 4-12所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面。 （ 3 ） 投影分析 ： H面投影为一圆形，圆形线框是圆锥 底面和圆锥面的重合投影。
点m也积聚在该直线上，由m′点按投影关系直接求得。再由m′、m可求得m″。 2）求点n、n″:点N在棱面AA1D1D上，该棱面水平投影积聚成一条直线，点n也积聚在该
直线上，可求得n、n″。
01 第一节 平面立体的投影
3.辅助线法
当点所在的立体表面无积聚性投影时，必须利用作辅助线的方法来帮助求解。这种方 法是 先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出辅助直线的另两面投影，再依据点的“ 从属性”，求出点的各面投影。
图4-11a所示为一直圆柱体，其轴线垂直于水平 投影面，因而两底面互相平行且平行于水平面，圆 柱面垂直于水平面。
02 第二节 曲面立体的投影
（ 3 ） 投影分析 ： H面投影为一圆形。它所围成的圆形 线框是两底面的重合投影 （ 真形 ） ，圆周是圆柱面的 积聚投影。
V面投影为一矩形。该矩形的上下两条边为圆柱 体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱 面的左右两条轮廓素线AB、CD的投影。该矩形线框表 示圆柱体前半圆柱面与后半圆柱面的重合投影。
2.积聚性法
当点所在的立体表面对某投影面的投 影具有积聚性时，那么点的投影必定在该 表面对这个投影面的积聚投影上。 如图4-6a所示，在三棱柱后棱面上给出了M 点的正面投影m′。可以利用棱面和底面投 影的积聚性直接作出M点的水平投影m点、N 点的正面投影n′，如图4-6b所示。
01 第一节 平面立体的投影