2024年湖南省长沙市芙蓉区中考数学适应性试卷

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数278.94万人次，同比增长109.25%，其中数据278.94万用科学记数法表示为（）
A．2.7894×106B．0.27894×107
C．2.7894×107D．27.894×105
3．下列运算正确的是（）
A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6
C．a2÷a3＝D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．，，B．6，8，10C．7，24，25D．，3，5
5．3月28日，小米集团正式发布小米汽车SU7．小米SU7的正式发布上市，标志着小米“人车家生态”
实现完整闭环，助推了我国新能源汽车产业的发展．以下是小米SU7Max四种造型的轮毂（除去轮胎的部分），其中不能近似看成轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
7．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
8．下列命题是真命题的是（）
A．相等的角是对顶角
B．圆周角等于圆心角的一半
C．平分弦的直径垂直于弦
D．同角或等角的余角相等
9．王爷爷上午8：00从家出发，外出散步，到老年阅览室看了一会儿报纸，继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图描述了王爷爷在散步过程中离家的路程s（米）与所用时间t（分）之间的函数关系，则下列信息错误的是（）
A．王爷爷看报纸用了20分钟
B．王爷爷一共走了1600米
C．王爷爷回家的速度是80米/分
D．上午8：32王爷爷在离家800米处
10．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN 为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T 型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，则n的取值范围是（）
A．n≥﹣1B．n≤﹣1C．n≥﹣D．n≤﹣
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．的算术平方根是．
12．分解因式：3x2+6xy+3y2＝．
13．将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为．
14．甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为s甲2＝0.2，S 2＝0.08，成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．
乙
15．若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在AC、AB两边上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为．
三.解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）
17．计算：﹣2sin60°+（﹣1）0+（）﹣2．
18．先化简，再求值，再从0，1，2，3这4个数中选择一个恰当的x值代入求值．19．小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为30°，向楼房前行20m在B点处测得楼房顶端D点的仰角为60°，已知测角仪的高度是
1.6m（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数）
20．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了名学生，在扇形统计图中“QQ”的扇形圆心角的度数为；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
21．如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22．春夏来临之际，天气开始暖和．某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为6000元，乙款衬衣的销售总额为8100元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的1.5倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少5件．
（1）求三月份甲款衬衣的单价是多少元？
（2）四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共200件．为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了20%，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于18720元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？
23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦（不是直径），OD⊥AC垂足为G交⊙O于D，E为⊙O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME ＝MF．
（1）求证：PE是⊙O的切线．
（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．
（3）若PE＝6，sin∠P＝，求AE的长．
24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，过某一点分别向x、y轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则这个点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．例如，如图①，点P（﹣3，6），过点P分别作x、y垂线，与坐标轴围成的矩形周长和面积都是18，则点P为“和谐点”，矩形PBOA 为“和谐矩形”．
（1）若点P（4，m﹣8）是第四象限的“和谐点”，求点p的坐标．
（2）若反比例函数图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
（3）如图②，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是△AOB的外接圆上一点，且四边形P AOB为“和谐矩形”，点C为弧BP的中点，点D是△AOB的外接圆上任意一点（P 与C不重合），连接CD，过点C作CD的垂线交直线DA于点E，求CE的最大值．
25．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c 的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于
点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．。