正弦函数的图象和性质

正弦函数的图象和性质（一）
一、 本节的重点与难点
重点：正弦函数x y sin =的图象；
难点：理解弧度制到x 轴上点的对应以及正弦函数的图象及其应用；
二、预习达标：
正弦函数x y sin =的图象的画法:
1. 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）
2. 用五点法做正弦函数的简图（描点法）
在要求不太高的情况下可采用五点法作图，五点是 , , , , 3. 正弦曲线：正弦函数 的图象叫做正弦曲线.
三、典例解析
例1（用五点法作与正弦函数有关的函数的图象） 用“五点法”作函数,sin 1x y +=在[]π2,0上的简图.
变训1：用五点法分别作出下列函数在[]ππ2,2-上的简图，并指出各图象与x y sin =，∈x []ππ2,2-的图象的位置关系：
（1）x y sin -=； （2）)sin(x y -=.
例2 (正弦函数的简单应用) 利用正弦函数的图象，求满足2
3sin ≥x 的x 的集合.
变训2：利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：2
1sin ≤
x .
四、当堂小结： 五、当堂达标：
1.在[0，2π]上，满足sinx ≥21的x 取值范围是（
） A.]6,
0[π
B.[
6
5,
6
π
π
]
C.[
3
2,
6ππ
]
D.[
ππ,65]
2.从函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象来看，对应2
1sin =
x 的x 有（ ）
A ．1个值 B.2个值 C ．3个值 D.4个值 3.x y sin -=的图象可由x y sin =的图象作如下对称得到（ ） A ．x 轴对称 B.y 轴对称 C ．原点对称 D.直线x y =对称
4.在同一坐标系中，函数x y sin =，[]π2,0∈x 与x y sin =，[]ππ4,2∈x 的图象（ ） A ．重合 B.形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D.形状不同，位置不同
5.用五点法作x y 2sin =的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．ππππ
2,2
3,
,2,
0 B ．ππ
ππ,43,2,4,
0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．3
2,
2,
3,
6,
0ππ
ππ
正弦函数的图象和性质（二）
一、本节的重点与难点
重点：正弦函数x y sin =的图象和性质； 难点：正弦函数图象与性质的应用；
二、预习达标：
1. 正弦函数x y sin =的图象：
2. 正弦函数x y sin =的性质： （1）定义域： （2）值域
正弦函数x y sin =，R x ∈，当且仅当Z k k x ∈+=,22
ππ
时，正弦函数取得最大值 ；当
且仅当Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时，正弦函数取得最小值
（3）周期性：x y sin =的周期是 （0,≠∈k Z k ），最小正周期为
（4）奇偶性：R x x y ∈=,sin 是 函数，图象关于 对称.正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 也是轴对称图形，对称轴方程是
（5）单调性：单调增区间 ；单调减区间
三、典例解析
例1(正弦函数值域和最值的应用)设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围.
变训1：设m x -=4sin 2，R x ∈，求m 的取值范围
例2 求使下列函数取得最大值和最小值的x 地取值范围，并说出最大值和最小值是什么： （1）x y 2sin =； （2）2sin +=x y ； （3）2)1(sin 2
+-=x y
变训2：（1）x y 2sin -=，R x ∈
（2）2)2
3(sin 2
--=x y ；
（3）4
5sin 3sin
2
+
+-=x x y
例3（正弦函数周期性的应用）求下列函数的周期： (1) x y 2sin =; (2))6
21sin(π
+
=x y
变训3：（1）x y 3sin =； （2）4
sin
3x y =； （3）)6
2sin(2π
-
=x y
例4（正弦函数单调性的应用）求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈-=,sin 1； （2）R x x y ∈-
=),4
2sin(2π
变训4： 求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈=,2
sin ； （2） )3
2sin(π
+
-=x y
四、当堂小结 五、当堂达标：
1. 下列函数最小正周期为π4的是（ ） A ．x y 4sin = B.x y 2si n = C.x y 2
1sin
= D.x y 4
1si n =
2.比较大小：︒
︒165sin __105sin ； )10
sin(__)18
sin(π
π
-
-
； )417sin(__)5
23sin(ππ-
-
3.已知函数R x x y ∈-
=,2sin 2
11 .
（1） 求值域； （2）求最小正周期； （3）判断奇偶性；
（4）求单调增区间； （5）求使函数取得最小值时x 的取值范围.
正弦函数的图象和性质（三）
一、 本节的重点与难点
重点：正弦型函数的图象特征和性质；
难点：)sin(ϕω+=x A y 与x y sin =之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质
二、预习达标
1. 正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的主要性质：
)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的周期T = ，频率f = ，初相 ，相
位 ，振幅 ，值域 2. 三角函数的图象变换
（1）振幅变换：)0(sin >=A x A y 的图象可由x y sin =图象上各点的横坐标不变，纵坐 标 （1>A ）或 （10<<A ）到原来的 倍而得到.
（2）相位变换：)sin(ϕ+=x y 的图象可由x y sin =图象上各点向 （0>ϕ）或 向 （0<ϕ）平行移动ϕ个单位长度而得到.
（3）周期变换：)0(sin >=ωωx y 的图象可由x y sin =图象上各点的纵坐标不变，横坐标 （10<<ω）或 （1>ω）到原来的 倍而得到.
三、典例解析
例1（用五点法画出)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的图象，并研究与x y sin =图象间的关系）用五点法在同一坐标系中画出函数x y sin =，x y sin 3=，)3
sin(3π
+
=x y ，
)3
2sin(3π
+
=x y 在一个周期内的图象，并根据所画图象说明)3
2sin(3π
+
=x y 的图象可由
x y sin =的图象经过怎样的变换而得.
变训 1 用五点法作图：)4
2
1sin(
2
1π
-
=x y ，并说明所画图象可由x y sin =的图象经过怎样的变
换而得
例2（求函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的解析式）
右图是y ＝Asin(ϕω+x )（πϕω<>>,0,0A ）
图象的一段，求其解析式
变训2已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ） 在一个周期内的图象如图所示，求解析式.
四、当堂小结
五、当堂达标
1.函数)3
3sin(5
1π
-
=
x y 的振幅是 ，频率是 初相是
2．要得到y ＝3sin(2x+4
π
)的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ） A ．左移
4
π
B ．右移4
π
C ．左移
8
π
D ．右移
8
π
3.已知y ＝Asin(ωx+φ)在一个周期内，当x=12
π
时取得最大值2，当π12
7=x 时取得最小值－2，
则（ ） A.)3
sin(21π
+
=
x y B.)3
2sin(2π
+
=x y C.)6
2sin(2π
+
=x y D.)6
2sin(
2π
+
=x y
4.把函数x y 3sin =的图象进行怎样的变换，就能得到下列函数的图象： （1）)3
3sin(π
-
=x y ； （2）)3
3sin(π
+
=x y ； （3）x y sin -=； （4）x y 3sin -=。