夯基提能练2 自由落体与竖直上抛运动

夯基提能训练2 自由落体与竖直上抛运动
【方法点拨】(1)自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动．(2)竖直上抛运动是初速度竖直向上，加速度大小为g的匀变速直线运动，可全过程应用匀变速直线运动v－t关系公式、x－t关系公式等，但要注意v0、a、x等物理量的正负号．(3)竖直上抛运动也可分成上升、下降阶段分段处理，注意应用两段的对称性．
【基础过关】
一、自由落体运动
1.在现实生活中，雨滴大约在1.5km左右的高空中形成并开始下落。

计算一下，若该雨滴
做自由落体运动，到达地面时的速度是多少？你遇到过这样快速的雨滴吗？据资料显示，落到地面的雨滴速度一般不超过8m/s，为什么它们之间有这么大的差别呢？
2.一物体作自由落体运动，落地时的速度为30m/s，则它下落高度是多少？它在最后1s
内下落的高度是多少？（g=10m/s2）
3.一小球从楼顶边沿处自由下落，在到达地面前最后一秒内通过的位移是楼高的9/25，求
楼高．
4.一矿井深为125 m ，在井口每隔一定时间自由下落一个小球。

当第11个小球刚从井口
开始下落时，第1个小球恰好到达井底，求：
（1）相邻两个小球开始下落的时间间隔；
（2）这时第3个小球和第5个小球相隔的距离。

（g=10 m/s2 ）
5.一物体自空中O点开始作自由落体运动，途经A点后到达地面上B点。

已知物体在B
点处的速度是A点处速度的4/3，AB间距为7m，求O点离地面多高。

6.长为5m的竖直杆下端在一窗沿上方5m处，让这根杆自由下落，它全部通过窗沿的时
间为多少？（g取10 m/s2）
7.一只球自屋檐自由下落，通过窗口所用时间 t=0.2s，窗高2米，问窗顶距屋檐多少米？
(g=10m/s2)
8.如图所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻
力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？
9.跳伞运动员作低空跳伞表演，当飞机离地面224 m时，运动员离开飞机在竖直方向做自
由落体运动.运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降.为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s.取g=10 m/s2.
求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少?着地时相当于从多高处自由落下?
（2）运动员在空中的最短时间为多少?
二、竖直上抛运动
10.竖直上抛的物体，在上升阶段的平均速度是20 m/s，则从抛出到落回抛出点所需时间为-
______s，上升的最大高度为_______m．（g=10m/s2）
11.从地面竖直上抛一物体，它两次经过A点的时间间隔为t A，两次经过B点的时间间隔
为t B，则AB相距________．
12.气球以10 m/s的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物
从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g 取10 m/s2)
13.如图所示，运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双
臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起
后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在
此过程中运动员水平方向的运动忽略不计，计算时可以把运动
员看成全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)，求：
(1)运动员起跳时的速度v0.
(2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t(结果保留
3位有效数字)．
14.以v0=20m/s的速度竖直上抛一小球，2s后以同一初速度在同一位置上抛另一小球，则
两球相遇处离抛出点的高度是多少？
15.小球A从地面以初速度v01 = 10m/s竖直上抛，同时小球B从一高为h = 4m的平台上以
初速v02= 6m/s竖直上抛．忽略空气阻力，两球同时到达同一高度的时间、地点和速度分别为多少？（g=10m/s2）
【能力提升】
一、自由落体运动
1.一条铁链长5 m，铁链上端悬挂在某一点，放开后让它自由落下，铁链经过悬点正下方
25 m处某一点所用的时间是_______s.(取g=10 m/s2
2.同学们利用如图所示方法估测反应时间．
首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间．当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为________(重力加速度为g)．
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为__________cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是________的(选填“相等”或“不相等”)．
3.一物体自空中O点开始作自由落体运动，途经A点后到达地面上B点。

已知物体在B
点处的速度是A点处速度的4/3，AB间距为7m，求O点离地面多高。

4.长为5m的竖直杆下端在一窗沿上方5m处，让这根杆自由下落，它全部通过窗沿的时
间为多少？（g取10 m/s2）
5.如图所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻
力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？
6.跳伞运动员作低空跳伞表演，当飞机离地面224 m时，运动员离开飞机在竖直方向做自
由落体运动.运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降.为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s.取g=10 m/s2.
求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少?着地时相当于从多高处自由落下?
（2）运动员在空中的最短时间为多少?
二、竖直上抛运动
7. 从同一地点以30 m/s 的速度竖直向上抛出两个物体，相隔时间为2 s ，不计空气阻力，
第二个物体抛出后经过_______s 时间跟第一个物体在空中相遇，相遇处离抛出点的高度为
8. 一跳水运动员从离水面10 m 高的平台上向上跃起，举双臂直体离开平台，此时其重心
位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水.(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是_______ s.(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点.g 取10 m/s 2,结果保留二位数字）
9. 杂技演员把3个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环.在循环中，他每抛出一球后，
再过一段与刚抛出的球与刚才在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有2个球，而演员手中则有一半时间内有1个球，有一半时间内没有球.设每个球上升的高度为1.25 m ，取g=10 m/s 2，
则每个球每次在手中停留的时间是
10. 跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面 125 m 时
打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3 m/s 2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为5 m/s ，问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少
(2)离开飞机后，经过多少时间才能到达地面?(g =10 m/s 2)
11. 屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好到达地面，
而第3滴与第2滴分别位于高为1 m 的窗户的上、下沿，如图所示，问：
（1）此屋檐离地面多高？ （2）滴水的时间间隔是多少？（g 取10 m/s 2）
12.一弹性小球自4.9 m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的
7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间
13.在某处以速度2 v0竖直上抛出A球后，又以速度v0竖直向上抛出B球，要使两球能在
空中相遇，两球抛出的时间间隔应满足什么条件？（空气阻力不计）
14.小球A从地面以初速度v01 = 10m/s竖直上抛，同时小球B从一高为h = 4m的平台上以
初速v02= 6m/s竖直上抛．忽略空气阻力，两球同时到达同一高度的时间、地点和速度分别为多少？（g=10m/s2）
15.如图所示，A、B两棒各长1m，A吊于高处，B竖直置于地面上，A的
下端距地面21m，现让两棒同时开始运动，A自由下落，B以20 m/s的初速度竖直上抛，若不计空气阻力，求：（g=10 m/s2）
⑴两棒的一端开始相遇的高度；
⑵两棒的一端相遇到另一端分离所经过的时间．
21m
专题2 自由落体与竖直上抛运动
1. 分析：根据：2
2
1gt s =
gt v t = 可推出
s m s m gs v t /10732.1/105.110222
3⨯=⨯⨯⨯== 可见速度太大，不可能出现这种现象。

[点评]实际上雨滴在下落过程所受空气阻力和其速度是有关的,速度越大所受阻力也越大,落到地面之前已做匀速运动.,
2. 解答 自由落体的下落高度为：
10
23022
2⨯==g v h t m=45m ，
自由下落的总时间为：
10
45
22⨯==
g h t s=3s ， 前2s 内下落的高度为：
222102
1
21⨯⨯='=
't g h m=20m ， 最后1s 内下落的高度是 h h '-＝（45－20）m=25m 。

3. 解答 ： 如图所示，设整个下落过程用时为t ，楼高为h ，由题意知h h 25
9
2=
，则有 h h h h 25
16
21=
-=， 22
1
gt h =， ①
2)1(21
2516-=t g h ， ② ①、②两式相除后解得 t ＝5s ，h ＝125m 。

所以楼高为125m 。

4. 解法一：（1）设相邻两球的时间间隔为t 0，那么第一个小球的运动时间为10t 0，由h=
20)10(21t g 得s s g h t 5.010
125
210110020=⨯==。

（2）第3个和第5个小球的间距为m t g t g x x x 35)6(2
1
)8(21202053=-=-=∆。

答案：0.5 35
解法二:把11个小球看做是1个小球的自由落体运动，则从第十一个小球刚离开井口的时刻算起，通过相等的时间间隔内各相邻小球的间距之比为
Δs Ⅰ：Δs Ⅱ：Δs Ⅲ：…：ΔsN=1：3：5：…：(2n-1) n=10,
则Δs 1=
=
=1.25m
Δs Ⅱ=
×3=3.75m
根据Δs=gT 2
所以，相邻两个小球下落时间间隔为
此时第三个小球与第五个小球相距 s=
×(13+15)=35m.
5. 解析：物体做自由落体运动，利用初速度为零的匀加速直线运动的规律，可以用不同的方法求解。

解法I ：物体的运动简图如图所示。

利用公式ax v 22=求解。

OA A gx v 22= ① OB B gx v 22= ②
()
125
1352n 1+++⋯+-125
13519
+++⋯+125
13519
++
+⋯+T 0.5s ∆=
==125
13519
++
+⋯+
又因为A B v v 3
4
=
③ m x x OA OB 7=- ④
联立①②③④可解得O 点距地面的高度为m x OB 16=。

解法II ：利用公式求解和2
2
1gt x gt v =
=。

1gt v A =
① 2gt v B =
② 2
12
1gt x OA =
③ 222
1gt x OB =
④ 又因为A B v v 3
4
=
⑤ m x x OA OB 7=-
⑥
联立①②③④⑤⑥式，可解得h OB =16m 。

解法III ：利用位移的比例关系求解。

因为A B v v 3
4
=
，又因为v=gt ，所以我们把下落时间分成四份，从A 到B 是最后一段。

因为初速度为零，所以有x 1:x 2:x 3:x 4=1:3:5:7。

又因为x 4=7m ，所以总高度为
m m x x x x x x 1677
16
71644321=⨯==
+++=。

答案：16m
6. 解答 设竖直杆上端通过窗沿的时间为t 1，下端通过窗沿的时间为t 2，则
2
1121gt s =
， ① 2
2
221gt s =， ② 其中m s m s 5,1021==，代入①、②两式得：
1t ＝2s ，t 2＝1s,
所以这根杆全部通过窗沿的时间为 =-=21t t t s )12(-。

7. 解答 设小球自由下落到窗顶的位移为h ，所用时间为t ，窗高为h ∆，则
2
21gt h =
， ① 2)(21
t t g h h ∆+=∆+， ②
其中h ∆＝2m ，∆t ＝0.2s 代入数据，解①、②两式得h ＝4.05m ，
故窗顶距屋檐的距离为4.05m 。

8. 解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A 用时t 下
A ＝
2h 下A
g
＝ 2×15
10
s ＝ 3 s 木杆的上端到达圆筒上端A 用时 t 上A ＝
2h 上A
g
＝ 2×20
10
s ＝2 s 则通过圆筒上端A 所用的时间 t 1＝t 上A －t 下A ＝(2－3) s
(2)木杆的上端离开圆筒下端B 用时 t 上B ＝
2h 上B
g
＝2×25
10
s ＝ 5 s 则木杆通过圆筒所用的时间t 2＝t 上B －t 下A ＝(5－3) s.
9. 分析：运动员跳伞表演的过程可分为两个阶段，即降落伞打开前和打开后.由于降落伞的作用，在满足最小高度且安全着地的条件下，可认为v m =5 m/s 的着地速度方向是竖直向下的，因此求解过程中只考虑其竖直方向的运动情况即可.在竖直方向上的
运动情况如图所示.
（1）由公式v T 2－v 02＝2as 可得 第一阶段：v 2＝2gh 1
①
第二阶段：v 2－v m 2＝2ah 2
② 又h 1＋h 2＝H
③
解①②③式可得展伞时离地面的高度至少为h 2＝99 m.
设以5 m/s 的速度着地相当于从高h '处自由下落.则h '＝g v 22
'=10252⨯ m ＝1.25 m.
（2）由公式s =v 0t ＋2
1at 2
可得： 第一阶段：h 1＝
2
1gt 12
④ 第二阶段：h 2＝vt 2－2
1at 22
⑤ 又t =t 1＋t 2
⑥
解④⑤⑥式可得运动员在空中的最短时间为
t =8.6 s.
说明：简要地画出运动过程示意图，并且在图上标出相对应的过程量和状态量，不仅能使较复杂的物理过程直观化，长期坚持下去，更能较快地提高分析和解决较复杂物理问题的能力. 10. 解答 竖直上抛的物体，在上升阶段的平均速度2
v v =
，即 20220⨯==v v m/s=40m/s ，
从抛出到最高点的时间为：
10
40
0=
=
g v t s=4s ， 从抛出到落回抛出点所需时间为2t =8s ， 上升的最大高度为：
10
2402220⨯==g v h m=80m ，
本题的正确答案为“8 ；80”。

11. 解答 根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A 点的时间为
2
A
t ，物体从最高点自由下落到B 点的时间为
2
B
t ，所以最高点到A 点的距离为： 2
28
1)2(21A A A gt t g h ==
， ① 最高点到B 点的距离为：
2
28
1)2(21B B B gt t g h ==
， ② 由①、②两式得A 、B 两点相距为：
2
28
1B A t t g h -=
∆， 本题的正确答案为“
2
28
1B A t t g -”。

12. [审题指导] 重物从气球上掉落时仍具有向上的速度．
[解析] 法一：全程法
取全过程为一整体进行研究，从重物自气球上掉落计时，经时间t 落地，
规定初速度方向为正方向，画出运动草图，如图所示．
重物在时间t 内的位移h ＝－175 m 将h ＝－175 m ，v 0＝10 m/s 代入位移公式 h ＝v 0t －1
2
gt 2
解得t ＝7 s 或t ＝－5 s(舍去)， 所以重物落地速度为
v ＝v 0－gt ＝10 m/s －10×7 m/s ＝－60 m/s
其中负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反． 法二：分段法
设重物离开气球后，经过t 1时间上升到最高点，则 t 1＝v 0g ＝10
10
s ＝1 s
上升的最大高度h 1＝v 20
2g ＝1022×10 m ＝5 m
故重物离地面的最大高度为 H ＝h 1＋h ＝5 m ＋175 m ＝180 m
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为 t 2＝
2H
g
＝ 2×180
10
s ＝6 s ， v ＝gt 2＝10×6 m/s ＝60 m/s ，方向竖直向下 所以重物从气球上掉落至落地共历时 t ＝t 1＋t 2＝7 s. [答案] 7 s 60 m/s 13. 答案 (1)3 m/s (2)1.75 s 解析 (1)上升阶段：－v 02＝－2gh 解得v 0＝2gh ＝3 m/s (2)上升阶段：0＝v 0－gt 1 解得：t 1＝v 0g ＝3
10 s ＝0.3 s
自由落体过程：H ＝1
2gt 22
解得t 2＝
2H g
＝ 2×10.45
10
s≈1.45 s 故t ＝t 1＋t 2＝0.3 s ＋1.45 s ＝1.75 s
14. 解法一：根据速度对称性
-［v 0-g （t+2）］=v 0-gt ，解得t=1s ，代入位移公式h=v 0t-gt 2
得：h=15m. 解法二：根据位移相同 v 0（t+2）-
g(t+2)2=v 0t-gt 2,解得t=1s,代入位移公式得h=15m. 15. 解答 设两球同时到达同一高度的时间为t ，这时A 、B 两球的速度分别为A v 、B v ，这一过程A 球上升的高度为H ，则有
2
0121gt t v H -
=， ① 20221
4gt t v H -=-， ②
其中v 01 = 10m/s ，v 02= 6m/s 代入①、②解得： H ＝5m ，t ＝1s ，
又由于 gt v v A -=01 ③
gt v v B -=02 ④
其中v 01 = 10m/s ，v 02= 6m/s 代入③、④解得：
v A = 0 v B = －4m/s （负号表示B 球运动方向向下），
故两球同时到达同一高度的时间为t ＝1s ，地点为离地5m 高处，速度分别为v A = 0 ，B 球向下4m/s 。

【能力提升】 1. 0.236 2. 答案
2x
g
80 不相等 3. 解析：物体做自由落体运动，利用初速度为零的匀加速直线运动的规律，可以用不同的方法求解。

12
1
21
2
解法I ：物体的运动简图如图所示。

利用公式ax v 22=求解。

OA A gx v 22= ① OB B gx v 22= ②
又因为A B v v 3
4
=
③ m x x OA OB 7=- ④
联立①②③④可解得O 点距地面的高度为m x OB 16=。

解法II ：利用公式求解和2
2
1gt x gt v =
=。

1gt v A =
① 2gt v B =
② 2
12
1gt x OA =
③ 222
1gt x OB =
④ 又因为A B v v 3
4
=
⑤ m x x OA OB 7=-
⑥
联立①②③④⑤⑥式，可解得h OB =16m 。

解法III ：利用位移的比例关系求解。

因为A B v v 3
4
=
，又因为v=gt ，所以我们把下落时间分成四份，从A 到B 是最后一段。

因为初速度为零，所以有x 1:x 2:x 3:x 4=1:3:5:7。

又因为x 4=7m ，所以总高度为
m m x x x x x x 1677
16
71644321=⨯==
+++=。

答案：16m
4. 解答 设竖直杆上端通过窗沿的时间为t 1，下端通过窗沿的时间为t 2，则
2
1121gt s =
， ① 2
2
221gt s =， ② 其中m s m s 5,1021==，代入①、②两式得：
1t ＝2s ，t 2＝1s,
所以这根杆全部通过窗沿的时间为 =-=21t t t s )12(-。

5. 答案 (1)(2－3) s (2)(5－3) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A 用时t 下A ＝2h 下A
g
＝ 2×15
10
s ＝ 3 s 木杆的上端到达圆筒上端A 用时 t 上A ＝
2h 上A
g
＝ 2×20
10
s ＝2 s 则通过圆筒上端A 所用的时间 t 1＝t 上A －t 下A ＝(2－3) s
(2)木杆的上端离开圆筒下端B 用时 t 上B ＝
2h 上B
g
＝2×25
10
s ＝ 5 s 则木杆通过圆筒所用的时间t 2＝t 上B －t 下A ＝(5－3) s.
6. 分析：运动员跳伞表演的过程可分为两个阶段，即降落伞打开前和打开后.由于降落伞的作用，在满足最小高度且安全着地的条件下，可认为v m =5 m/s 的着地速度方向是竖直向下的，因此求解过程中只考虑其竖直方向的运动情况即可.在竖直方向上的
运动情况如图所示.
（1）由公式v T 2－v 02＝2as 可得 第一阶段：v 2＝2gh 1
①
第二阶段：v 2－v m 2＝2ah 2
② 又h 1＋h 2＝H
③
解①②③式可得展伞时离地面的高度至少为h 2＝99 m.
设以5 m/s 的速度着地相当于从高h '处自由下落.则h '＝g v 22
'=10
252⨯ m ＝1.25 m.
（2）由公式s =v 0t ＋2
1at 2
可得： 第一阶段：h 1＝
2
1gt 12
④ 第二阶段：h 2＝vt 2－2
1at 22
⑤ 又t =t 1＋t 2
⑥
解④⑤⑥式可得运动员在空中的最短时间为
t =8.6 s.
说明：简要地画出运动过程示意图，并且在图上标出相对应的过程量和状态量，不仅能使较复杂的物理过程直观化，长期坚持下去，更能较快地提高分析和解决较复杂物理问题的能力.
7. 2;40 8. 1.7 9. 0.2 s
10. （1）运动员打开伞后做匀减速运动，由v 22-v 12=2as 2可求得运动员打开伞时的速度为v 1=60 m/s ，运动员自由下落距离为s 1=v 12/2g=180 m ，运动员离开飞机时距地面高度为s =s 1+s 2= 305 m. (2)自由落体运动的时间为t 1=g v 1
=6 s ，打开伞后运动的时间为t 2=a
v v 12-=3.85 s ,离开飞机后运动的时间为t =t 1+t 2=9.85 s
11. 可以将这5滴水运动等效地视为一滴水下落，并对这一滴水的运动全过程分成4个相等的时间间隔，如图中相邻的两滴水间的距离分别对应着各个相等时间间隔内的位移，它们满足比例关系：1∶3∶5∶7.设相邻水滴之间的距离自上而下依次为：x 、3x 、5x 、7x ,则窗户高为5x ，依题意有：
5x =1 则x
屋檐高度 h =x +3x +5x +7x =16x =3.2 m 由 h =
21gt 2 得：t =10
2
.322⨯=g h
所以滴水的时间间隔为：Δt =
4
t
=0.2 s 12. 每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等
小球原来距桌面高度为4.9 m ，用h 0表示，下落至桌面时的速度v 0应为： v 0=9.48.9220⨯⨯=
gh =9.8 m/s.下落时间为：t 0=8
.9/9.42/20⨯=g h
首先用演绎法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度：v 1=v 0×7/9
第一次碰撞后上升、回落需用时间：2t 1=2v 1/g=(2×v 0
小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：
v 2=v 1×7/9=(v 0×7/9)×7/9=v 0×(7/9)2
第二次碰撞后上升、回落需用时间：2t 2=2v 2/g =2×(7/9)2
再用归纳法：依次类推可得：小球第n 次和桌面碰撞后上升，回落需用时间：2t n =2×(7/9) n (s)
所以小球从开始下落到经n 次碰撞后静止所用总时间为：
T =t 2+2t 1+2t 2+…+2t n =1+2×7/9+2×(7/9)2+…+2×(7/9)n =1+2×［7/9+(7/9)2+…+(7/9)n ］ 括号内为等比级数求和，首项a 1=7/9,公比q=7/9,因为|q |＜
所以无穷递减等比级数的和为：
2
7
9/719/711=-=-q a ,所以T
13. 解答 要使两球能在空中相遇，有两个临界位置，一是当B 球刚上抛就相遇，这时△t 1最大，△t 1即为A 球空中停留时间，
g
v g v t 0
01422
==∆， 二是当B 球刚落回地面时与A 球相遇，这时△t 2最小，△t 2即为B 球空中停留时间，
g
v g v t 0
0222
=
=∆， 所以要使两球能在空中相遇，两球抛出的时间间隔应满足g
v 0
2＜△t ＜g
v 0
4。

14. 解答 设两球同时到达同一高度的时间为t ，这时A 、B 两球的速度分别为A v 、B v ，这一过程A 球上升的高度为H ，则有
2
0121gt t v H -
=， ① 20221
4gt t v H -=-， ②
其中v 01 = 10m/s ，v 02= 6m/s 代入①、②解得： H ＝5m ，t ＝1s ，
又由于 gt v v A -=01 ③
gt v v B -=02 ④
其中v 01 = 10m/s ，v 02= 6m/s 代入③、④解得：
v A = 0 v B = －4m/s （负号表示B 球运动方向向下），
故两球同时到达同一高度的时间为t ＝1s ，地点为离地5m 高处，速度分别为v A = 0 ，B 球向下4m/s 。

15. 解答 ⑴以A 棒为参照物， B 相对 A 作向上匀速直线运动，相对速度为：
20=BA v m/s ，
由题意知，B 棒上端与A 棒的下端的距离为s 1＝（21－1）m=20m ，因此从开始运动到两棒的一端开始相遇的时间为：
20
2011==
BA v s t s=1s ， t 1时间内A 棒下落的高度为：
2211102
1
21⨯⨯==
∆gt h m=5m ， 所以两棒的一端开始相遇时，A 棒的下端离地的高度为h =（21－5）m=16m 。

⑵从两棒的一端开始相遇到另一端分离，B 相对 A 的位移大小为s 2=2m ，所以两棒的一端相遇到另一端分离所经过的时间为：
s s v s t BA 1.020
2
22===。