2021-2022学年山东省济南一中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线经过两点A （2，﹣m ），B （m ，m ﹣1）且倾斜角为135°，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3
2
C ．1
D ．−3
2
2．已知a →
=（1，5，﹣2），b →
=（m ，2，m +1），若a →
⊥b →
，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．﹣8 C ．6 D ．8
3．椭圆3x 2+4y 2＝12的焦点坐标为（ ） A ．（±1，0） B ．（0，±1） C ．（±√7，0） D ．（0，±√7）
4．已知m ∈R ，则“m ＞2”是“方程x 2
m−1
+y 2=1表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知空间向量a →
，b →
，c →两两夹角均为60°，其模均为1，则|a →
+b →
−2c →
|＝（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．√5
6．已知圆C 与直线x ﹣y ＝0及x ﹣y ﹣4＝0都相切，圆心在直线x +y ＝0上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2
C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2
D ．（x +1）2+（y +1）2＝2
7．在一个平面上，机器人从与点C （1，﹣4）的距离为5的地方绕点C 顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变．它在行进过程中到过点A （﹣6，0）与B （0，8）的直线的最近距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
8．已知直线l ：（m +3）x +（m ﹣2）y ﹣m ﹣2＝0，点A （﹣2，﹣1），B （2，﹣2），若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） B ．（2，4）
C ．[−3
2，8] D ．（4，+∞）
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分．
9．设有一组圆∁k ：（x ﹣2k +1）2+（y ﹣k ）2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．这组圆的半径均为1
B ．直线2x ﹣y +2＝0平分所有的圆∁k
C ．直线2x ﹣3y +1＝0被圆∁k 截得的弦长相等
D ．存在一个圆∁k 与x 轴和y 轴均相切
10．下列说法正确的是（ ）
A ．过点（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为
y−y 1y 2−y 1
=x−x 1x 2−x 1
B ．点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点是（1，1）
C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2
D ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0
11．圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为x ﹣y ＝0
B ．线段AB 中垂线方程为x +y ﹣1＝0
C ．公共弦AB 的长为
√2
2
D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为√2
2
+1
12．在四面体P ﹣ABC 中，以下说法正确的有（ ）
A ．若AD →
=13AC →+23
AB →
，则可知BC →=3BD →
B ．若Q 为△AB
C 的重心，则PQ →
=1
3PA →
+13PB →
+1
3PC →
C ．若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN →
|=1
D ．若PA →⋅BC →=0，PC →⋅AB →=0，则PB →⋅AC →
=0
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面α的一个法向量是n →
=（﹣2，﹣2，1），点A （﹣1，3，0）在平面α内，则点P （﹣2，1，4）到平面α的距离为 ．
14．过点（√3，−√5），且与椭圆y 225
+
x 29
=1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ．
15．已知直线x ﹣y +a ＝0与圆O ：x 2+y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数a ＝ ．
16．如图，已知P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，则线段PC 长为 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l ：3x ﹣2y ﹣6＝0．
（1）若直线l 1过点M （1，﹣2），且l 1⊥l ，求直线l 1的方程；
（2）若直线l 2∥l ，且直线l 2与直线l 之间的距离为√13，求直线l 2的方程．
18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；
19．（12分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．（1）若直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长；
（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．
20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ．P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝4，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点． （Ⅰ）求证：DM ∥平面P AB ．
（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为2
3？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说
明理由．
21．（12分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|=
5
，|F1F2|＝4．
3
（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
（2）如图，若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
22．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，SB ＝SC ＝AB ＝AC =√2，BC ＝2，若O 为BC 的中点．
（1）证明：SO ⊥平面ABC ；
（2）求异面直线AB 和SC 所成角的大小；
（3）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 所成角的正弦值为
√30
15
时，求OM 的长．
2021-2022学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线经过两点A （2，﹣m ），B （m ，m ﹣1）且倾斜角为135°，则m 的值为（ ） A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．−3
2
解：由题意可得：−m−(m−1)
2−m
=tan135°＝﹣1，
解得m ＝1， 故选：C ．
2．已知a →
=（1，5，﹣2），b →
=（m ，2，m +1），若a →
⊥b →
，则m 的值为（ ） A ．﹣6
B ．﹣8
C ．6
D ．8
解：a →=（1，5，﹣2），b →
=（m ，2，m +1），a →
⊥b →
， ∴a →
⋅b →
=m +10﹣2（m +1）＝0，解得m ＝8． 故选：D ．
3．椭圆3x 2+4y 2＝12的焦点坐标为（ ） A ．（±1，0）
B ．（0，±1）
C ．（±√7，0）
D ．（0，±√7）
解：椭圆3x 2
+4y 2
＝12的标准方程为：x 24
+
y 23
=1，
所以a ＝2，b =√3，c ＝1， 所以椭圆的焦点坐标（±1，0）． 故选：A ．
4．已知m ∈R ，则“m ＞2”是“方程x 2
m−1
+y 2=1表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：“方程
x 2m−1
+y 2=1表示椭圆，
∴m ﹣1＞0，且m ﹣1≠1， ∴m ＞1且m ≠2，
∴“m ＞2”⇒m ＞1且m ≠2，
∴“m ＞2”是“方程x 2
m−1
+y 2=1表示双椭圆”的充分不必要条件，
故选：A ．
5．已知空间向量a →
，b →
，c →两两夹角均为60°，其模均为1，则|a →
+b →
−2c →
|＝（ ） A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．√5
解：|a →
+b →
−2c →
|=√(a →
+b →
−2c →
)2
=√a →
2+b →
2+4c →
2+2a →
⋅b →
−4a →
⋅b →
−4a →
⋅c →
=√1+1+4+2×1×1×1
2−4×1×1×1
2−4×1×1×1
2 =√3． 故选：B ．
6．已知圆C 与直线x ﹣y ＝0及x ﹣y ﹣4＝0都相切，圆心在直线x +y ＝0上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2
C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2
D ．（x +1）2+（y +1）2＝2
解：圆心在x +y ＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ； 验证：A 中圆心（﹣1，1）到两直线x ﹣y ＝0的距离是√2
=
√2；
圆心（﹣1，1）到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离是√2
=3√2≠√2．故A 错误．
故选：B ．
7．在一个平面上，机器人从与点C （1，﹣4）的距离为5的地方绕点C 顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变．它在行进过程中到过点A （﹣6，0）与B （0，8）的直线的最近距离为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解：直线AB 的方程为x −6
+y 8
=1，即4x ﹣3y +24＝0．
机器人的运行轨迹为一个圆，以C （1，﹣4）为圆心，半径等于5，圆的方程为 （x ﹣1）2+（y +4）2＝5，
圆心C 到直线AB 的距离为d =
|4+12+24|
√16+9
=8，
故点C 到直线AB 的距离最小为8﹣5＝3， 故选：A ．
8．已知直线l ：（m +3）x +（m ﹣2）y ﹣m ﹣2＝0，点A （﹣2，﹣1），B （2，﹣2），若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）
C．[−3
2
，8]D．（4，+∞）
解：根据题意，若直线l与线段AB相交，则点A、B在直线l的两侧或直线l上，
则有[（m+3）×（﹣2）+（m﹣2）×（﹣1）﹣m﹣2][（m+3）×2+（m﹣2）×（﹣2）﹣m﹣2]≤0，变形可得：（4m+6）（m﹣8）≤0，
解可得：−3
2
≤m≤8，即m的取值范围为[−
3
2
，8]，
故选：C．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分．
9．设有一组圆∁k：（x﹣2k+1）2+（y﹣k）2＝1，下列说法正确的是（）
A．这组圆的半径均为1
B．直线2x﹣y+2＝0平分所有的圆∁k
C．直线2x﹣3y+1＝0被圆∁k截得的弦长相等
D．存在一个圆∁k与x轴和y轴均相切
解：圆∁k：（x﹣2k+1）2+（y﹣k）2＝1，可得圆心坐标为∁k：（2k﹣1，k），半径为1，故A正确；
把（2k﹣1，k）代入2x﹣y+2＝0，得2（2k﹣1）﹣k+2＝3k＝0不恒成立，即直线2x﹣y+2＝0不恒过圆心，故B错误；
圆心（2k﹣1，k）到直线2x﹣3y+1＝0的距离d=|2(2k−1)−3k+1|
13
=
|k−1|
13
不是定值，而圆的半径为定
值，
则直线2x﹣3y+1＝0被圆∁k截得的弦长不相等，故C错误；
若存在一个圆∁k与x轴和y轴均相切，则|2k﹣1|＝|k|＝1，解得k＝1，故D正确．故选：AD．
10．下列说法正确的是（）
A．过点（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为y−y1
y2−y1=
x−x1
x2−x1
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点是（1，1）
C．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
解：对于A，当x1≠x2时，过点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率为k=y2−y1
x2−x1
，
方程为y﹣y1=y2−y1
x2−x1
（x﹣x1），整理得（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）＝0，
当x1＝x2时，过点（x1，y1），（x2，y2）的直线方程是x＝x1，即x﹣x1＝0，
满足（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，
当y 1＝y 2时，过点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程是y ＝y 1，即y ﹣y 1＝0， 满足（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，
∴过（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，故A 错误； 对于B ，点（0，2）与（1，1）的中点坐标（12，3
2）满足直线方程y ＝x +1，并且两点连线的斜率为﹣1，
∴点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点为（1，1），故B 正确； 对于C ，直线x ﹣y ﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，
直线x ﹣y ﹣2＝0与坐标轴围成的三角形的面积是：1
2×2×2=2，故C 正确；
对于D ，当直线过原点时，直线方程为y ＝x ，
当直线不过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，代入（1，1），得a ＝2，直线方程为x +y ﹣2＝0， ∴经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0或y ＝x ，故D 错误． 故选：BC ．
11．圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为x ﹣y ＝0
B ．线段AB 中垂线方程为x +y ﹣1＝0
C ．公共弦AB 的长为
√2
2
D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为
√2
2
+1 解：∵圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ， ∴圆O 1与圆O 2公共弦AB 所在的直线方程为x ﹣y ＝0，故A 正确； ∵O 1（1，0），O 2（﹣1，2），O 1O 2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB 的中垂线的方程为y ﹣0＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣1＝0，故B 正确； 圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心为O 1（1，0），半径r 1＝1， 圆心O 1（1，0）到直线x ﹣y ＝0的距离d =2
=√22． ∴P 到直线AB 距离的最大值为
√2
2
+1， 圆O 1与圆O 2公共弦AB 的长为2√1−1
2=√2，故C 错误，D 正确．
故选：ABD ．
12．在四面体P ﹣ABC 中，以下说法正确的有（ ）
A ．若AD →
=13AC →+23AB →
，则可知BC →=3BD →
B ．若Q 为△AB
C 的重心，则PQ →
=1
3PA →
+1
3PB →
+1
3PC →
C ．若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN →
|=1
D ．若PA →
⋅BC →
=0，PC →
⋅AB →
=0，则PB →
⋅AC →
=0
解：对于A ：若AD →
=13AC →+23AB →，整理得：13
AD →
+23AD →=13AC →+23AB →
，则可知BC →=3BD →，故A 正确； 对于B ：若Q 为△ABC 的重心，则PQ →
=1
3PA →
+1
3PB →
+1
3PC →
，根据中线向量的应用，故B 正确； 对于C ：若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN|=√12+12=√2，故C 错误；
对于D ：如图所示：
作PO ⊥平面ABC ，
由于PA →
⋅BC →
=0，所以OC ⊥AB ， 同理PC →
⋅AB →=0，故AO ⊥BC ， 整理得：OP ⊥AC ，BO ⊥AC ， 所以AC ⊥平面BOP ，故AC ⊥PB ， 故PB →
⋅AC →=0，故D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面α的一个法向量是n →
=（﹣2，﹣2，1），点A （﹣1，3，0）在平面α内，则点P （﹣2，1，4）到平面α的距离为
103
．
解：根据题意，可得
∵A （﹣1，3，0），P （﹣2，1，4），∴AP →
=（﹣1，﹣2，4），
又∵平面α的一个法向量n →
=（﹣2，﹣2，1），点A 在α内， ∴P （﹣2，1，4）到α的距离等于向量PA →
在n →
上的投影的绝对值， ∴PA →
•n →
=−1×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）+4×1＝10，
即d =|PA →⋅n →
||n →|
=103，
故答案为：
10
3
．
14．过点（√3，−√5），且与椭圆y 225
+
x 29
=1有相同的焦点的椭圆的标准方程
y 220
+
x 24
=1 ．
解：椭圆
y 225
+
x 29
=1的焦点为（0，±4），
则所求椭圆的c ＝4， 可设椭圆方程为
y 2a 2
+
x 2b 2
=1（a ＞b ＞0），
则有a 2﹣b 2＝16，① 再代入点（√3，−√5），得，
5a 2
+
3b 2
=1，②
由①②解得，a 2＝20，b 2＝4． 则所求椭圆方程为y 220
+
x 24
=1．
故答案为：
y 220
+
x 24
=1．
15．已知直线x ﹣y +a ＝0与圆O ：x 2+y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数a ＝ ±√3 ．
解：圆O ：x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径r =√2，
若直线x ﹣y +a ＝0与圆O 交于A ，B 两点，且△AOB 为等边三角形， 则圆心O 到直线的距离d =√(√2)2−(2
2
)2=
√6
2
，
又由点到直线的距离公式可得，d =|a|
√2，可得√2
=√62， 解得a =±√3． 故答案为：±√3．
16．如图，已知P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，则线段PC 长为 12 ．
解：P A ⊥平面ABC ，可知P A ⊥AC ， P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，
可得AC =√AB 2+CB 2−2AB ⋅BCcos120°=√36+36+36=6√3， 则线段PC 长为：√62+(6√3)2=12． 故答案为：12．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l ：3x ﹣2y ﹣6＝0．
（1）若直线l 1过点M （1，﹣2），且l 1⊥l ，求直线l 1的方程；
（2）若直线l 2∥l ，且直线l 2与直线l 之间的距离为√13，求直线l 2的方程． 解：（1）因为直线l 的方程为3x ﹣2y ﹣6＝0，所以直线l 的斜率为3
2．
因为l 1⊥l ，所以直线l 1的斜率为−2
3．
因为直线l 1 过点M （1，﹣2），所以直线l 1的方程为y +2=−2
3（x ﹣1），即2x +3y +4＝0． （2）因为直线l 2与直线l 之间的距离为√13，所以可设直线l 2的方程为3x ﹣2y +m ＝0， 所以
22
=
√13，解得m ＝7或m ＝﹣19．
故直线l 2的方程为3x ﹣2y +7＝0或3x ﹣2y ﹣19＝0．
18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． （1）求BN 的长；
（2）求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；
解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
由题意可得B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴|BN →
|=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3， ∴线段BN 的长为√3．
（2）依题意得A 1（1，0，2），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， ∴BA 1→
=（1，﹣1，2），CB →
1=（0，1，2）， ∴BA 1→
•CB →1=1×0+（﹣1）×1+2×2＝3， 又∵|BA 1→
|=√6，|CB →
1|=√5， ∴cos ＜BA 1→
，CB →
1＞=
BA 1→⋅CB →
1|BA →
||CB →
|
=
√30
10
，
故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为
√30
10
．
19．（12分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0． （1）若直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦AB 的长； （2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．
解：（1）将圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0化成标准方程：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9， ∴圆C 的圆心C （1，﹣2），半径r ＝3．
∵圆心C （1，﹣2）到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离d =
|1+2+1|
2
=2√2，
∴|AB|=2√r 2−d 2=2√9−8=2；
（2）①当所要求切线的斜率不存在时，过点（4，﹣1）的直线为x ＝4，是圆C 的一条切线； ②当所要求切线的斜率存在时，设圆C 的切线方程为y +1＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0， ∵圆心C （1，﹣2）到直线kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0的距离为r ， 即
√k 2+1
=3，解得：k =−4
3，
∴此时切线方程为y +1=−4
3(x −4)，化简得4x +3y ﹣13＝0， 综上所述，所要求的切线方程为：x ＝4或4x +3y ﹣13＝0．
20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ．P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝4，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点． （Ⅰ）求证：DM ∥平面P AB ．
（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为2
3？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，
说明理由．
解：（Ⅰ）因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则P （0，0，2），B （2，0，0），D （0，2，0），C （2，4，0）
点M 为PC 中点，故M （1，2，1）故DM →
=(1，0，1)， 又AP →=(0，0，2)，AB →=(2，0，0)，所以DM →
=1
2AP →
+1
2AB →
所以DM →，AP →，AB →为共面向量，AP →，AB →在一个平面内，DM →，不在AP →，AB →
的平面内， 所以DM ∥平面P AB ．
（Ⅱ）设E （2，a ，0），0＜a ＜4
依题意可知平面BDE 的法向量为AP →
=(0，0，2)，DP →
=(0，−2，2)，DE →
=(2，a −2，0) 设平面PDE 的法向量为n →
=(x ，y ，z)，
{n →
⋅DP →
=−2y +2z =0n →⋅DE →
=2x +(a −2)y =0，令z ＝1，则n →=(2−a
2
，1，1)． 因为二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为2
3
，
所以|cos〈AP →
，n →
〉|=|
AP →⋅n
→
|AP →
|⋅|n →
||=23
，
即2×√(
2−a 2
)2
+1+1=23
，解得a ＝1或a ＝3．
所以存在点E 符合题意，
当BE ＝1或BE ＝3时，二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为2
3．
21．（12分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上．由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2．已知BF 1⊥F 1F 2，|F 1B |=5
3，|F 1F 2|＝4．
（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；
（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设截口BAC 所在椭圆方程为：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)，
因为BF 1⊥F 1F 2，|F 1B|=5
3，|F 1F 2|＝4，
所以在直角△BF 1F 2中，|BF 2|=√|BF 1|2+|F 1F 2|2=
133
， 故2a ＝|F 1B |+|F 2B |＝6，a ＝3，又2c ＝|F 1F 2|＝4，c ＝2， 所以b 2
＝a 2
﹣c 2
＝5，所求椭圆方程为
x 29
+
y 25
=1．
（2）因为点P 在椭圆上，|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，又∠F 1PF 2＝60°，
所以cos60°=|PF 1|2
+|PF 2|2
−|F 1F 2|2|PF 1||PF 2|=1
2
，①
因为|PF 1|2+|PF 2|2＝（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|＝36﹣2|PF 1||PF 2|， |F 1F 2|＝2c ＝4， 代入①式，
即可得：|PF 1|⋅|PF 2|=
20
3
， 故△F 1PF 2的面积为：12|PF 1|⋅|PF 2|×
12
=5
3
．
22．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，SB ＝SC ＝AB ＝AC =√2，BC ＝2，若O 为BC 的中点．
（1）证明：SO ⊥平面ABC ；
（2）求异面直线AB 和SC 所成角的大小；
（3）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 所成角的正弦值为
√30
15
时，求OM 的长．
解：（1）证明：∵SB ＝SC ，BO ＝OC ，∴SO ⊥BC ， ∵平面SBC ⊥平面ABC ，
平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，SO ⊂平面SBC ， ∴SO ⊥平面SBC ．
（2）解：∵SB =SC =AB =AC =√2，BC ＝2， ∴BS ⊥CS ，BA ⊥CA ，
如图，分别以OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，
∵A （0，1，0），B （1，0，0），S （0，0，1），C （﹣1，0，0）， ∴AB →
=(1，−1，0)，SC →
=(−1，0，−1)， ∵|cos〈AB →
，SC →
〉|=
|AB →⋅SC →
||AB →
|⋅|SC →
|
=
1√2⋅√2
=1
2， ∴异面直线AB 和SC 所成角为π
3
．
（3）设m →
=(a ，b ，c)为平面SBA 的法向量， ∵AB →
=(1，−1，0)，SB →
=(1，0，−1)，
∴{a −b =0
a −c =0，即m →=(1，1，1)， 设M （0，0，t ），（t ∈[0，1]）， ∴AM →
=(0，−1，t)， 设AM 与平面SAB 所成角为θ， ∵sinθ=|cos〈m →
，AM →
〉|=
|m →⋅AM →
|
|m →
|⋅|AM →
|
，
∴
√30
15=√3⋅√1+t
2，6+6t 2＝15（t 2﹣2t +1）， 3t 2﹣10t +3＝0，（t ﹣3）（3t ﹣1）＝0，t ＝3（舍），t =1
3
， ∴OM 的长为1
3．。