2020-2021上海民办协和双语学校高三数学上期末试题(附答案)

2020-2021上海民办协和双语学校高三数学上期末试题(附答案)
一、选择题
1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63
3S S =， 则9
6S S =（ ） A ．2
B ．
73
C ．8
3
D ．3
2．已知实数,x y 满足0
{20
x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
4．在△ABC 中，若1
tan 15013
A C BC ︒
===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A
．
38
- B
．
34
- C
．
38
+ D
5．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－
，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A
．1 B
．1 C ．
＋2
D ．
2
7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
8．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知数列{}n a 满足112,0,2
121,1,
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若135a =，则数列的第2018项为 （ ）
A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
10．已知01x <<，01y <<，则
()()
()
()2
2
2
2
22221111x y x y x y x y +++-+-++
-+-的最小值为（ ）
A ．5
B ．22
C ．10
D ．23
11．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则y
x
的最小值为
__________．
15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则
43
a b
+的最小值是_______. 17．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=，则首项1a 的取值范围是____________．
18．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则2lim n n a →∞= ． 19．已知
是数列
的前项和，若
，则
_____．
20．若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题
21．设函数()1
12
f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求
11
m n
+的最小值. 22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且满足
2sin 1cos A C B =-．
（1）若2a =
，c =b ； （2
）若sin 4
B =
，a =b ． 23．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：
已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
24．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；
（2）若c =3
cos 4
C =，求ABC ∆的周长．
25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 26．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n
n S .
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得3q，然后再次利用等比数列前n项和公式，则求得答案．
【详解】
设公比为q，则
6
1
6
3 6
33
1
3
(1)
1
1
13
(1)1
1
a q
S q
q
q
a q
S q
q
-
-
-
===+=
--
-
，
∴32
q=，
∴
93
9
62
6
1127
1123
S q
S q
--
===
--
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.
2．C
解析：C
【解析】
作出可行域，如图BAC
∠内部（含两边），作直线:20
l y x
-=，向上平移直线l，2
z y x
=-增加，当l过点(1,1)
A时，2111
z=⨯-=是最大值．故选C．
3．A
解析：A
【解析】
根据题意，作出可行域，分析
y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，由
10
2
x y
y
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，得点A的坐标为()
1,2，所以2
OA
k=，同理，2
OB
k=-，
所以
y
x
的取值范围是()[)
,22,
-∞-+∞
U.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
由正弦定理求出c，
【详解】
A是三角形内角，
1
tan
3
A=，∴10
sin
10
A=，
由正弦定理
sin sin
a c
A C
=得
sin10
sin2
10
a C
c
A
===
，
又2222cos
c a b ab C
=+-，即22
5
12cos15013
2
b b b b
=+-︒=+，2
3
30
2
b b
+-=，33
b
-+
=（
33
b
--
=
∴
113333
sin1
2238
ABC
S ab C
∆
--
==⨯⨯︒=．
故选：A．
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
7．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
8．C 解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】
1112,032
1521,1
2n n n n n a a a a a a +⎧
≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ，
211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221
5
a a a ⨯+===
. 故选A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
2
+≥
x y
，
边分别相加求解。

【详解】
因为22
2x y xy +≥
所以22222)2((2)≥++=++x y xy x y
x y 2
+≥
x y
所以两边分别相加得
当且仅当1
2
x y == 取等号 故选：B
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
作出不等式50
{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{
x x y =+=，解得3{
3
x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴
，
∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，
即
，
又数列{}n a 前三项的和，
∴
，即
，
即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．
二、填空题
13．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.
14．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关
系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
解析：【解析】 【分析】
根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2
y x x x
=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】
∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r
共线
∴()12y x x ⨯-=⋅，即2
2y x =+
∴222
y x x x x x
+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号
∴
y
x
的最小值为 【点睛】
该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
15．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8
解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
16．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25
【解析】 【分析】
利用1的代换，将求式子
43
a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b
++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】
因为
4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+， 等号成立当且仅当21
,55
a b ==. 故答案为：25. 【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
17．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【解析】 【分析】 由题得11
(1)2
a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】 由题意知，
1112a q =-，可得11
(1)2
a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .
故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：2
3
-
【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =
23(11)4n -，21n S -=1+13（11
14
n --），从而22n n a S =-21n S -=
21132n -n -23
，由此能求出2lim n n a →∞
【详解】
∵数列{}n a 满足：1 1a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12
a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=
11
124114
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=2
3(11)4n
-， ∴2n S =
23(1
1)4
n -； 又12345
a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭
+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2
1111241
14
n -⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭-=1+13（1114n --），
即21n S -=1+
13（11
14
n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -2
3
∴2211lim lim(
32n n n n a n -→∞
→∞
=-2)3=-2
3
，
故答案为：-2 3
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
19．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：
【解析】 【分析】
由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝
24950．
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8
【解析】
12124412(2)()4428b a b a a b a b a b a b a b a b
+=∴+=++=++≥+⋅=Q
，当且仅当2b a = 时取等号.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：
(1)f(x)＝
当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，
由于m>0，n>0， 则＋≥2
≥2
，当且仅当m ＝n ＝
时取等号.
∴＋的最小值为2.
22．（1）2b =2）6b =3【解析】 【分析】
（122ac b =，根据已知可求
b 的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，由余弦定理可得
222
224
ac a c ac =+-g
，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】 （1）Q
222sin 1cos sin A C B B =-=．
∴22ac b =，
2a =Q ，22c =22b ∴=
（2）14sin 4B =
Q ，2cos 4
B ∴=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-222224
ac a c ac =+-⋅，
又3a =
6c =62
6b ∴=3
经检验，6b 3 【点睛】
本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
23．当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元. 【解析】 【分析】
设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，根据题意列出关于x 、
y 的约束条件以及线性目标函数，利用平移直线法得出线性目标函数取得最大值的最优
解，并将最优解代入线性目标函数即可得出该企业所获利润的最大值. 【详解】
设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，目标函数为
712z x y =+.
则变量x 、y 所满足的约束条件为31030094360452000,0
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：
作出一组平行直线712z x y =+，当该直线经过点()20,24M 时，直线712z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 7201224428z =⨯+⨯=（万元）.
答：当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元. 【点睛】
本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
24．（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得
()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．
（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求6a b ==ABC ∆的周长．
【详解】
（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，
∴
sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A C
b B a A C C
-=-，
sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，
又A B C π++=Q ，
cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，
又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，
又c =
Q 3cos 4
C =
，
∴2222
2323422a a a a a a
+--==⋅， 226a b ∴==
，可得a b ==
ABC ∆∴
的周长a b c ++=
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围． 25．（1）12n n
a =；（2）1211112n n
S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】 【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为
1
2
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}
n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可. 【详解】
解:(1)由题意,设1
1(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q
⎧=⎪⎨
⎪-=+⎩
, 解得1
2
q =
或2q =-(舍), ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,即12n n a =.
(2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n
n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
. ∵8n b n =,∴2
44n T n n =+,
∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴
121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11
102
n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴
1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题. 26．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）1363
1243
n n n T +=-⨯. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】
（Ⅰ）因为233=+n
n S ，所以，1233a =+，故13,a =
当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即1
3,n n a -=
所以，13,1,
{3,1,
n n n a n -==>
（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113
b =， 当1n >时，()11133log 313n
n n n b n ---==-⋅
所以1113
T b ==， 当1n >时，
()()
1211231
1323133
n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，
所以()0
1
231132313
n
n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得
()
()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()111
21313313
n n
n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯
所以
1363
1243
n n
n
T
+
=-
⨯
，
经检验，1
n=时也适合，
综上可得：
1363
1243 n n
n
T
+
=-
⨯
.
【点睛】
本题考查数列前n项和n S与通项n a的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1
n=的情况，属于中档题.。