概率论与数理统计

A∪ B = A B
AB= A ∪B
∪ Ai = ∩ Ai
i =1 i =1
n
n
∩ Ai = ∪ Ai
i =1 i =1
n
n
运算顺序： 逆交并差，括号优先
例：设 A、B、C 为样本空间 S 中的三个随机
事件 , 试用 A、B、C 的运算表示下列随机事 件 :
(1) A 发生而 B 与 C 都不发生 ; (2) A、B、C 都不发生 ; (3) A、B、C 中恰好有一个发生 ; (4) A、B、C 中至少有两个发生 ; (5) A、B、C 中至少有一个发生 ;
概率论与数理统计
教材：《概率论与数理统计》(第二版)
上海交通大学数学系 科学出版社 编
辅导书：1.《概率论和数理统计习题与精解》 上海交通大学数学系 编 上海交通大学出版社 2.《工程数学试题解析》 上海交通大学工程数学教研室 编 科学出版社
国内有关经典著作 1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著
第一章 随机事件及其概率
概率论是研究随机现象的规律性的数学 分支，为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述，像其它数学学科一样，概率论 具有自己严格的体系和结构。本章重点介绍 概率论的两个基本概念：随机事件和概率。
§1.1 随机事件及其运算
确定性现象 —— 在一定的条件下必然出现的现象 随机现象 —— 每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
(6) A、B、C 中恰好有两个发生 .
解
(1) AB C (2 ) A B C ( 3 ) AB C ∪ A B C ∪ A B C
(4) AB ∪ AC ∪ BC
(5 ) A ∪ B ∪ C
(6) A BC + AB C + ABC
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
A1
A2 A3
若 A1 , A2 , , An 两两互斥，且 Ω = ∪ Ai
i =1
n
Hale Waihona Puke ΩAnAn 1
符号
集合论 全集 空集
概率论 样本空间：必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容（互斥）
陈希儒著 科学出版社 1976 年版 科学出版社 1981年版
概率统计专业 首位中科院院士
2.《数理统计引论》 国外有关经典著作 1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著
1812年版
概率论的最早著作 数理统计最早著作
2. 《统计学数学方法》
H. 克拉默著
1946年版
学科简介
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
, An 两两互斥
6. 对立事件(或互逆事件) A∪B＝ Ω, 且AB＝ φ
记作B = A ，称为A的对立事件
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
7. 完备事件组 则称 A , A2 , , An 为完备事件组 1 或称 A , A2 , , An 为 Ω 的一个划分 1
A∩ B ∩C
小结 样本空间和随机事件的定义 事件间的关系与事件的运算
作业: P33 习题一
2 (1) (2) (3) (6) (7) (8) 3 5 6
事件的关系和运算
1.包含关系 “A发生必导致B发生” 记为AB A＝B AB且BA.
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
i =1
∪ Ai
i =1
n
可列个事件A1, A2,…, An,…至少有一个发生，记作
∪ Ai
∞
3.积事件: A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为 样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(or基本事件) 常记为ω ， = {ω} 随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
Ω
Φ
ω∈Ω
Ω 中的点（或称元素）
单点集
{ω}
ΑΩ
Ω 的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差
ΑΒ
Α=Β
Α∪Β
Α∩Β
Α
_
ΑΒ
Α∩Β=Φ 集合A与B没有公共元素
运算律
事件 运算
对应
集合 运算
吸收律 A ∪ Ω = Ω
A∩Ω = A A∩ = A ∩ ( A ∪ B) = A
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
i =1
∩ Ai
i =1
n
可列个事件A1, A2,…, An,…同时发生，记作
∩ Ai
∞
4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B 不发生
思考：何时A-B = φ?
何时A-B =A ？
5.互斥的事件：AB＝ φ
A1 , A2 ,
Ai Aj = , i ≠ j, i, j = 1,2, , n A1 , A2 , , An , 两两互斥 Ai A j = , i ≠ j , i, j = 1,2,
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生 必然事件——全体样本点组成的事件,记为 , 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为Φ ,每次试验必定不发生的事件.
确定性现象 ⒈抛一石块,观察结局; ⒉导体通电,考察温度; ⒊异性电荷放置一起,观察其关系; …… 随机现象 ⒈掷一枚硬币,观察向上的面; ⒉下一个交易日观察股市的指数上升情况; ⒊某人射击一次,考察命中环数; ⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量; ……
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果
Ω1 = {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 : 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 Ω 2 = { 0,1,2,3, , N}
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
Ω 3 = {( x, y ) T1 ≤ x ≤ y ≤ T2 }
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
A∪ = A A ∪ ( AB) = A 重余律 A = A
幂等律
A∪ A = A A ∩ A = A 差化积 A B = AB = A (AB)
交换律 A ∪ B = B ∪ A AB = BA 结合律 ( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) ( AB )C = A ( BC ) 分配律 ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) A ∪ ( BC ) = ( A ∪ B)( A ∪ C ) 德摩根律
A∪ B ∪C : : A2 “恰有一人命中目标” ABC ∪ ABC ∪ ABC : : A3 “恰有两人命中目标” ABC ∪ ABC ∪ ABC : : A4 “最多有一人命中目标” BC ∪ AC ∪ AB : : A5 “三人均命中目标” ABC
: : A1 “至少有一人命中目标” : : A6 “三人均未命中目标”