6-前束范式推理

§2.5 推理理论(1)
约定: A(x)表示x是A中的自由变元,
»例题1-2 »例题2 »例题3
A(y)表示用y取代A中自由变元x所有出现所得的结果. 例:设A(x)：xP(x)Q(x)R(x,y),则A(y)为xP(x)Q(y)R(y,y)
与量词有关的规则:
这些规则只能对前束范式使用！ 全称指定规则US： xA( x ) , 个体词y不在A(x)约束出现(pp.50例)
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
-吴扬扬-
(对∧可分配）
(对∨可分配）
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§2.5 推理理论(2)
例1: 证明苏格拉底论证：x(M(x)→D(x)), M(a)D(a) 证明: (1) M(a) (2) x(M(x)→D(x)) (3) M(a)→D(a) 前提 前提 (2)US
»
(4) D(a) (1)(3)假言推论 例2: 证明 x(P(x)Q(x))xP(x)→xQ(x). x P(x) 附加前提 证明: (1) (2) P(c) (1)ES (3) x(P(x)Q(x)) 前提 (4) P(c)Q(c) (3)US (5) Q(c) (2)(4)析取三段论 (6) xQ(x) (5)EG (7) xP(x)→xQ(x) CP
主要内容：
范式
前束范式 Skolem范式
推理理论
与量词有关的规则
-吴扬扬-
1
§2.4 范式(1)
前束范式： 前束词 母式 形为Q1x1…QrxrB(r≥0)的公式,其中:Qi为量词,B不含量词的公式 * 所有量词均非否定地出现在公式开头且量词的辖域均延伸到 整个公式的末尾。 例1: xyz(P(x,y)Q(y,z))
R(x,y)?
(x)P(x)(y)Q(y) ?
前束析取范式 前束合取范式
设A为合式公式,B为前束范式,若AB,则称B为A的前束范式
.
-吴扬扬 存在定理：任何合式公式A都有与之等价的前束范式. 2
§2.4 范式(2)
解：x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))
A ( y)
存在指定规则ES：xA( x ) , c不在A(x)或其前推导中出现的个 A (c) 体符号,且A(x)中无其他自由变元 全称推广规则UG： A( y) 存在推广规则EG：
xA( x ) , 若A(y)对任意的y均成立(例2.5.5)
A(c) , x不在A(c)中出现 xA( x ) -吴扬扬-
所以， xyP(x,y) yxP(x,y) 设：个体域实数集，P(x,y): x+y=1 则 xyP(x,y)为T，而yxP(x,y)为F。 错在哪里？为什么？
-吴扬扬-
其他例题pp.52
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§2.5 推理理论(5)
在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式， 可以引用命题演算中的基本等价式和基本蕴涵式。 推导过程中，如既要使用US又要使用ES消去公式中的量词， 而且需选用同一个个体词，则必须先使用ES，后使用US。如例2. 如一个变量是用ES消去量词，对该变量添加量词时，只能使用 规则EG，不能使用UG；如使用US消去量词，对该变量添加量词, 则可使用EG和UG。 如有两个含有存在量词的公式，用规则ES消去量词时，不能选用 相同的个体常元来取代两个公式中的变元，应用不同的常元。 用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公式的 最前端，并且其辖域延伸到公式的末端。 添加量词时，所选用的x不能在公式A(c)或A(y)中约束出现。 10
公式 标准化
合取、析取范式 主合取、主析取范式
推理规则：P, T, CP 规则:P,T,CP,US,ES,UG,EG 形式推理 直接证法、附加前提法 直接证法、附加前提法 反证法 反证法 11 -吴扬扬-
作业:习题2.4 1(2),习题2.5 2(1),4(2)
-吴扬扬-
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含量词的基本恒等式和蕴涵式
附加前提
(1)ES (2)(4)析取三段论 (5)EG CP
-吴扬扬8
§2.5 推理理论(4)
例3: 下列推导结论是错误的： (1) xyP(x,y) (2) (3) yP(z,y) P(z,d) 前提 (1)US (2)ES
(4)
(5)
xP(x,d)
yxP(x,y)
(3)UG
(4)EG
C’为x1,…,xtB(x1,…,xt,f(x1,…,xt)),那么 C是永假式 iff C’是永假式。 证明：必要性 若C是永假式，但C’不是永假式， 则有解释I，使C’在I下为1， 即a1,…,atDI,有B(a1,…,at,f(a1,…,at))为1, ∵ f(a1,…,at)DI， ∴ a1,…,atDI,有a=f(a1,…,at)，使B(a1,…,at,a)为1, 与C是永假式矛盾。 充分性证明见pp.48 -吴扬扬5
-吴扬扬或 y(F(a)∨G(a)∨┐F(y))。 4
例3：例2的Skolem范式为： y((F(a)∧┐G(a))∨┐F(y)∨G(f(y)))
§2.4 范式(4)
定理2.4.1: 设A为合式公式,那么A是永假式 iff A的Skolem
范式是永假式。
引理2.4.1: 设C为x1,…,xtyB(x1,…,xt,y),
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§2.5 推理理论(3)
»
例2的证明x(P(x)Q(x))xP(x)→xQ(x)采用下列推导过 程行吗？为什么？ (1) x(P(x)Q(x)) (2) P(c)Q(c) 前提 (3)US
(3)
(4) (5) (6) (7)
xP(x)
P(c) Q(c) xQ(x) xP(x)→xQ(x)
skolem»
例2：求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式. 蕴涵等值式 ┐x(┐F(x)∨G(x))∨(┐xF(x)∨xG(x)) 量词转换德摩根 x(F(x)∧┐G(x))∨(x┐F(x)∨xG(x))-① 换名 x(F(x)∧┐G(x))∨y┐F(y)∨zG(z) ①(x(F(x)∧┐G(x))∨xG(x))∨x┐F(x) x((F(x)∧┐G(x))∨G(x))∨x┐F(x)
(1)量词转换律： ┐x P(x)x┐P(x) (2)量词辖域的扩张与收缩律： ┐x P(x)x┐P(x)
«
x(A(x)∨B)xA(x)∨B
x(A(x)∨B)xA(x)∨B (3) 量词与∧∨的关系：
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
量词扩张收缩律 分配律
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§2.4 范式(3)
Skolem范式 不是等价变换
定义：设G是一个前束范式，对G作Skolem变换，消去G中所有
存在量词，所得到的公式称为Skolem范式。
Skolem变换：设Q1x1…QrxrB中,Qixi是存在量词(1≤i≤r)
⑴ 如果Qi的左边无全称量词，则用一个个体常元a来取代xi 在B中一切出现处，且该a不同于B中的任何其他常元符号。 ⑵ 如果Qi的左边有全称量词xj,…,xk，则直接用一个函数 f(xj,…,xk）来取代xi在B中一切出现处，该函数符号f 不同于B中的任何其他函数符号。
第一篇小结
知识点 命题逻辑 谓词பைடு நூலகம்辑
命题常元、命题变元 个体常元变元、个体域、函数 命题符号化 联接词 谓词符号、量词、联接词 公式的真值 公式间的关系 合式公式、公式的解 释、公式分类 (永真永假可满足) 等价、永真蕴含 对偶原理 项、原子公式、合式公式 约束变元、自由变元、 公式的解释、公式的分类 等价、永真蕴含 含量词基本恒等蕴含式 前束范式、斯柯莱范式
量词扩张收缩律 对∨可分配
换名
xyz((F(x)∧┐G(x))∨┐F(y)∨G(z)) --- 前束范式
x((F(x)∧┐G(x))∨G(x))∨y┐F(y)
xy((F(x)∧┐G(x))∨G(x))∨┐F(y)) xy(F(x)∨G(x)∨┐F(y)) ---------------- 前束范式