高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 含解析

1.2.3同角三角函数的基本关系式
课时过关·能力提升1.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于()
A.B.C.D.
解析:(1+sin α)(1-sin α)=1-sin2α=cos2α=.
答案:B
2.化简的值为()
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:原式==-1.
答案:B
3.若角x的终边位于第二象限,则函数y=的值可化简为()
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析:原式==1-1=0.
答案:C
4.设sin,且α是第二象限的角,则tan等于()
A.B.C.±D.±
解析:∵α是第二象限的角,
∴是第一、三象限的角.
∵sin>0,
∴是第一象限的角.
∴cos,
∴tan.
答案:A
5.如果tan θ=2,那么sin2θ+sin θcos θ+cos2θ的值是()
A. B. C. D.
解析:sin2θ+sin θcos θ+cos2θ=1+sin θcos θ=1+=1+=1+.
答案:B
6.已知α∈,且sin αcos α=-,则sin α+cos α的值是()
A.B.-C.±D.±
解析:由于α∈,所以sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,从而sin α+cos α<0.又(sin α+cos
α)2=1+2sin αcos α=1+2×,从而sin α+cos α=-.
答案:B
7.化简的结果是.
解析:原式==-cos.
答案:-cos
8.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则cot θ的值是.
解析:因为sin θ+cos θ=,①两边平方,得1+2sin θcos θ=,
所以2sin θcos θ=-.
因为θ∈(0,π),所以cos θ<0<sin θ.
由于(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=.②联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,
所以cot θ==-.
答案:-
9.已知sin α-cos α=,则tan α的值为.
解析:∵sin α-cos α=,
∴(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=,
于是,即,
∴tan α=或tan α=3.
答案:3或
10.若sin α,cos α是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.
解析:由一元二次方程根与系数的关系得且Δ=(2m)2-16m≥0,即m≤0或
m≥4.
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,
∴=1+2×,∴m=1±.
又m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案:1-
11.化简:
.
解:原式=
=
=.
因此当α是第一、三象限的角时,原式=4;当α是第二、四象限的角时,原式=-4.
★12.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tan θ+的值.
解:依题意,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,
且
由①2-②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍).
∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan θ+
==--1.
★13.求证:.
证明左边=
=
=
==右边.
故原等式成立.。